关于广义相对论介绍

[拼音]：guangyi xiangduilun

[外文]：general theory of relativity

研究物质在空间和时间中如何进行引力相互作用的理论。这个理论的基础是由伟大的物理学家A.爱因斯坦在1915年完成的。60年代以来又取得了新的进展。

爱因斯坦于1905年提出狭义相对论之后，便试图在狭义相对论的基础上对I.牛顿的引力理论（见万有引力定律）进行改造。牛顿引力理论虽然在天文学上得到广泛的支持，但是，它不能说明水星近日点的剩余进动，也不能对宇宙大范围的性质给出完满的描述；而且，在理论的基本概念上同狭义相对论也是互相冲突的。

爱因斯坦在深入分析引力质量同惯性质量等价这一早已熟知的事实的基础上，提出了引力场同加速度场局域性等效的概念；他又把惯性运动的相对性的概念推广到加速运动；并在前人对牛顿时空观的批判中汲取了精华，提出了时间和空间的性质应当由物质运动决定这一革命性的思想。这些引导他采用黎曼几何来描述具有引力场的时间和空间，写出了正确的引力场方程;进而精确地解释了水星近日点的剩余进动，预言了光线偏折、引力红移、引力辐射等一系列新的效应。他还对宇宙的结构进行了开创性的研究。著名的1919年日全食观测，证实了爱因斯坦关于光线偏折的预言，一度轰动世界。随后，广义相对论便被物理学界普遍接受下来，并且被公认为经典理论物理学中最完美的理论。

几十年来，广义相对论又得到新的验证和发展，特别是60年代以来，在天文学中得到了广泛的应用。引力红移、雷达回波等实验进一步证实了这个理论的预言。脉冲星和微波背景辐射的发现，证实了以广义相对论为基础的中子星理论和大爆炸宇宙论的预言。近年来，对于脉冲双星的观测也提供了有关引力波存在的证据。

60年代以来，奇性理论和黑洞物理的研究取得很大进展。近来，关于正能定理的猜测得到了证明，有关引力的量子理论以及把引力同其他相互作用统一起来的研究也极为活跃。这些，不仅丰富了对广义相对论理论基础的认识，同时，也揭示了广义相对论本身所不能解决的一些重大的疑难问题，为进一步探索引力相互作用，以及时间、空间和宇宙的奥秘提出了新的课题。

广义相对论的理论基础

爱因斯坦提出等效原理、广义协变性原理和马赫原理作为广义相对论的基本原理。他采用弯曲时空的黎曼几何来描述引力场，给出引力场中的物理规律，进而提出引力场方程，奠定了广义相对论的理论基础。30年代，爱因斯坦等人又发展了运动理论。60年代以来，R.彭罗塞引入现代微分几何的方法，并和S.W.霍金等人发展了奇性理论。近年来，丘成桐等人又完成对著名的正能猜测的证明。这些都大大丰富了广义相对论的理论基础并提出新的课题。

等效原理是广义相对论最重要的基本原理。这个原理的实验依据是由厄缶实验等精确证明的引力质量和惯性质量的等价性。

爱因斯坦认为，这个等价性的重要推论是：在自由下落的升降机里，由于升降机以及其中所有的仪器都以同样的加速度下降，因而无法检验外引力场的效应。换句话说，自由下落升降机的惯性力和引力互相抵消了。爱因斯坦认为，这表明，引力和惯性力实际上是等效的。这就是爱因斯坦原来意义下的等效原理。

不过，在真实的引力场和惯性力场之间并不存在严格的相消。比如，真实的引力场会引起潮汐现象，而惯性力场却并不导致这种效应。但是，在自由下落的升降机里，除开引力以外，一切自然定律都保持着在狭义相对论中的形式。事实上，这正是真实引力场的重要本质。如果把自由下落的升降机称为局部惯性系，那么，等效原理就可以比较严格地叙述为：在真实引力场中的每一时空点，都存在着一类局部惯性系，其中除引力以外的自然定律和狭义相对论中的完全相同。

爱因斯坦把狭义相对论所考察的作匀速运动的参照系之间的相对性。推广到作任意运动的参照系之间的相对性。为此，他提出物理定律必须在任意坐标系中都具有相同的形式，即它们必须在任意坐标变换下是协变的。这就是广义协变性原理。

广义协变性对物理定律的内容并没有什么限制，只是对定律的数学表述提出了要求。爱因斯坦后来也是这样认为的：广义协变性只有通过等效原理才能获得物理内容。

爱因斯坦建立广义相对论的另一个重要思想是认为时间和空间的几何不能先验地给定，而应当由物质及其运动所决定。这个思想直接导致用黎曼几何来描述存在引力场的时间和空间，并成为写下引力场方程的依据。爱因斯坦的这一思想是从物理学家和哲学家E.马赫对牛顿的绝对空间观念以及牛顿的整个体系的批判中汲取而来的。为了纪念这位奥地利学者，爱因斯坦把他的这一思想称为马赫原理。

根据上述基本原理，广义相对论用存在局部惯性系的黎曼几何来描述引力场。

在这种黎曼几何中，四维时空的线元是时空点的任意函数

gμυ(x)称为在x点时空的度规张量。x0=ct，с是光速，t是时间坐标。x1、x2、x3 是空间坐标。重复指标表示求和。如果引入局部惯性系，线元可以表示为

，

ημυ就是狭义相对论中的闵可夫斯基度规，θ寶(x) 称为局部惯性标架。

相邻两时空点的局部惯性系之间的关系，可以由联络来表示。在黎曼几何中，联络完全由度规张量及其偏导数决定，称为克里斯多菲(Christoffel)记号

g是逆变度规张量。利用联络可以定义平行移动和协变导数。例如，对于一矢量Vλ的协变导数定义为

。

如果沿着一曲线， 矢量Vλ的协变导数为零，则称在此曲线上不同点的矢量是彼此平行的。

如果一条曲线上不同点的切线是平行的，那么该曲线就称为是测地线，满足方程

显然，测地线概念是闵可夫斯基时空中四维直线的推广。

在这种黎曼几何中，由克里斯多菲记号定义的平行移动保持线元ds2不变。这反映了在不同局部惯性系中，理想时钟的固有时应该相同这样一个物理要求。

时空的弯曲程度由黎曼曲率张量表示

它满足比安基恒等式

利用黎曼曲率可定义里奇张量Rρv和标量曲率R

利用比安基恒等式可以证明

其中Λ是任意常数。

在黎曼几何中，两条相邻测地线 xρ(s) 和 x寶(s)+ξ寶(s)的偏离程度ξ寶(s)同曲率张量有关

这个方程称为测地线偏离方程。

根据等效原理和广义协变原理，只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式，就可以得到除引力以外的在引力场中的物理定律。要作到这一点只需要把定律中的普通微分改写为协变微分就可以了。

无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程可以这样得到。在狭义相对论中，质量为m的自由粒子或光子，分别沿闵可夫斯基时空中的类时直线或类光直线运动。将这些运动方程写成协变形式，就分别得到黎曼时空中的类时或类光测地线方程，即无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程。

物质场的方程也可以这样得到。例如将狭义相对论中的克莱因－戈登方程（见场方程）写成广义协变形式，就得到在引力场中的标量场方程。

在狭义相对论中，存在一系列的守恒方程。将这些守恒方程中的普通散度改为协变散度，就得到在引力场中相应的守恒方程。例如，这样可以得到能量动量守恒在引力场中的形式为

这里Tμυ就是能量动量张量。

但是，这种方式不可能得到引力定律本身，也不可能得到同曲率有关的效应。例如，不可能得到测地线偏离方程中同曲率有关的项，也不可能得到在引力场中自旋粒子的自旋同曲率的耦合项等等。与曲率有关的物理效应何时出现，只能作具体的分析。

爱因斯坦和 D.希耳伯特几乎同时在1915年得到了完整的引力场方程

，

其中G 是牛顿引力常数G＝6.670×10-8cm3/(g·s2)。方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量。显然，这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。

爱因斯坦提出这个场方程的基本思路大致可以这样来概括：考察牛顿引力理论的泊松方程

它是引力势═ 的二阶偏微分方程，ρ是引力源的质量密度。在相对论中，ρ应该推广为引力源的能量动量张量，═ 则推广为度规张量gμυ。因此，引力场方程应该是度规的二阶偏微分方程。进而，爱因斯坦发现同Tμυ满足同样的守恒律。这便导致了他写下具有上述特点的正确的引力场方程。

在真空中，这个方程简化为

。

1917年，受因斯坦在对宇宙进行考察时，引进了宇宙常数Λ项，将方程修改为

不久之后，他本人放弃了这一项。但是近年来，不少物理学家认为Λ项的引进是有必要的。

1927年爱因斯坦等人提出，质点系统的运动方程应该包括在引力场方程之中。1938年，爱因斯坦及其合作者完成了这一理论。他们采用后来称为后牛顿近似的方法，在对质点系能量动量张量的简单假定下，从引力场方程中推导出了质点系的运动方程，这就是著名的广义相对论的运动理论。50年代以来，一些物理学家指出，质点运动方程也可以直接从能量动量张量的守恒定律推导出来。A.巴巴别特鲁由运动理论导出了自旋粒子会受到的自旋和曲率的耦合项。

引力场方程包含着粒子运动方程，这是广义相对论的一个重要特点。

60年代以来，彭罗塞等人系统地运用整体微分几何的方法来研究广义相对论。彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论，提示了广义相对论时空结构的重要性质和问题。

早已知道在广义相对论中存在奇性。例如，史瓦西度规（见下文）在r=2M G/с2以及r＝0处是奇异的。直到1959年才发现，只要引入两个坐标系来覆盖时空，就可以避免 r＝2M G/с2处的奇点。但是r＝0处的奇点却不是这种由于坐标选取不当而带来的虚假的奇异。又如，弗里德曼－罗伯孙-沃耳克宇宙度规(见下文)在宇宙时t=0处奇异，这也不是由于坐标选取不当带来的。

在广义相对论中是否一定存在这种同坐标选取无关的奇性，彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论回答了这个问题。他们证明，只要关于物质、能量、以及因果性等一些合理的物理条件成立，在广义相对论中就不可避免地存在着奇点。在这类奇点处，时空流形达到尽头。不仅在宇宙模型中起始的奇点是这样，在星体中引力坍缩终止的奇点也是这样。由于不知道奇性所遵循的规律，物理学、包括广义相对论，将随着奇点的出现而失效。

一般认为，出现这种运动起始或终止于奇性的现象反映了广义相对论理论上的某种不完善，并不一定是客观世界所固有的。当前，有关奇性的深入研究以及如何避免这类奇性的问题，是一个很活跃的领域，克服广义相对论的这个重大疑难，将会使物理学对于时间、空间和引力的认识达到更高的境地。

人们知道，由于引力的性质，引力势能总是负的。这样，在大质量坍缩系统中就会有极大的负的引力结合能。那么，这会不会导致这类引力束缚系统的总能量或者质量变为负值，长期以来，人们一直猜测，在广义相对论中引力束缚系统的总能量或质量总是正定的。然而，直到不久前丘成桐等人运用大范围微分几何的方法才证明了这个猜测。他们指出，只要在类空超曲面上进行测量，质量总是正的。这个定理充实了广义相对论的理论基础，是近年来得到的一个重要成果。

场方程的精确解和近似方法

爱因斯坦引力场方程是高度非线性的，一般很难严格求解。只在对时空度规附加一些对称性或其他要求下，使方程大大简化，才有可能求出一些严格解。

分析爱因斯坦场方程的另一条途径，是发展系统的近似方法。在历史上，有两种系统的近似方法起过重要的作用，这就是弱场近似和后牛顿近似。

以下介绍一下重要的精确解和两个近似方法：

在球对称的假定下，度规的一般表达式为

其中A(r，t)与B(r，t)是两个未知函数，确定它们的具体形式要求解引力场方程。

对于真空的情形，可以证明贝科夫定理：真空球对称引力场一定是静态的。

因此，球对称中心质量外面的引力场一定是静态的。求解真空爱因斯坦方程，并要求距中心很远处的引力场同牛顿定律一致，从而可以得到

这是广义相对论的第一个精确解。是由K.史瓦西于1916年求得，通称为史瓦西度规。

显然，度规在r＝2M G/с2和r＝0处奇异。但是，M.克鲁斯卡等人指出， r＝2M G/с2处的奇异是由于只引用一个坐标系带来的，可以引入在r＝2M G/с2处通过“咽喉”相连的两个坐标系来避免，而且，后者具有最大解析延拓的性质。但是，r＝0处的奇点是本质的。

对于球对称静态的星体，史瓦西在假定星体由密度为常数的不可压缩流体构成的前提下，求出了有源引力场方程的严格解，现在称为史瓦西内解。这个解给出来自星体表面的光谱线引力红移的上限。

静态轴对称引力场的度规具有重要的物理意义。一个质量为 M 、电荷为Q、内禀角动量为J的转动球体的外部引力场的度规为

其中

这个静态轴对称的度规是J.克尔和E.纽曼等人在60年代得到的，称为克尔－纽曼度规。当Q＝0时，称为克尔度规；J＝0时，称为雷斯纳－诺德斯特罗姆度规。Q＝J＝0时，还原为史瓦西度规。

这个度规具有视界，可以描写一个黑洞的充要条件为M 2≥Q2+a2。

1917年W.德西特得到了带有含Λ的宇宙学项的真空爱因斯坦方程的一个精确解

其中R为宇宙半径，。对于Λ﹤0的情形也有类似的解，称为反德西特度规。

这两种德西特度规分别描述两种四维常曲率时空，当Λ趋于零时，它们都退化为闵可夫斯基时空。近年来发现，在这两种常曲率时空中可以引进一类特殊的坐标系，使得测地线方程化为线性方程。因而可以把惯性运动和狭义相对论的概念推广到这类度规。

常曲率时空没有奇点，这也值得注意。

在空间均匀各向同性的假定下，可以将度规化为

k取值＋1、0或－1，分别对应均匀各向同性的三维子空间为正曲率的超球、零曲率的平坦空间或负曲率的双曲型空间。前者是封闭的；后两者是开放的。R(t)是标度因子。对物质分布作相应的假定，并给出物态方程，求解爱因斯坦方程，就可得出R(t)同密度和压强的关系。

这个度规可以用来描述引力坍缩。也可以为相对论宇宙学提供运动学框架。

A.A.弗里德曼于1922年最先研究了这类度规，在密度为常数、压力为零的情形下得到了R(t)的精确解，并为引入宇宙膨胀的概念打下了基础。随后，G.勒梅特系统地研究了作为宇宙模型的弗里德曼空间，引入了宇宙膨胀的概念。30年代，H.罗伯孙和A.G.沃耳克又分别系统地从对称性的角度研究了这类度规。

通常把这类度规称为弗里德曼－罗伯孙－沃耳克度规，而把包含宇宙常数项的模型称为勒梅特模型。

这是求解爱因斯坦场方程的一种系统的近似方法，适合于讨论低阶近似下的弱引力场，而不假定物质或场作非相对论运动，因而常用于处理引力辐射的课题。

假定弯曲时空度规gμυ 同平直时空度规ημυ的偏离hμυ是一阶小量，在 gμυ满足一定的坐标条件的要求下，可将场方程和坐标条件线性化为hμυ满足的方程和坐标条件，进而求解。

如果假定gμυ满足谐和坐标条件，则可以得到hμυ的方程和如下的坐标条件

显然，hμυ满足波动方程，坐标条件相当于电磁势的洛伦兹条件。它们具有推迟势的解，并可以解释为由源Sμυ产生的引力辐射。

对于真空的情形，方程的解可解释为来自无穷远处的引力辐射。

是爱因斯坦等人发展起来的一种求解场方程的系统近似方法，适用于由引力束缚在一起的缓慢运动的质点系统。此时，系统的特征速度v远小于光速с，特征引力势也远小于光速二次方с2，因而可按照等的幂次将场方程、坐标条件、运动方程等等逐级展开得到逐级近似的方程组。最低级近似就是牛顿引力理论，次一级近似就是所谓后牛顿近似。

后牛顿近似可以用来计算中心粒子的质量、自转、四极矩等因素对粒子运动轨道的影响，也可以计算自转同轨道运动的耦合等重要的广义相对论效应。

广义相对论的实验基础和经典检验

引力质量同惯性质量的等价，是爱因斯坦提出等效原理的实验基础，也是整个广义相对论最重要的实验依据。这个等价性早在牛顿的时代就有实验证明，19世纪末，R.von厄缶以10-9的精度证明了这一点。近年来，验证这个等价性的实验精度又有提高。

在建立广义相对论时，爱因斯坦曾提出三种检验:光谱线的引力红移;内行星轨道近日点的进动;以及太阳引起的光线偏折。引力红移事实上只检验了等效原理，光线偏折和近日点进动涉及的是球对称静态引力场，以及其中光线或行星的运动。

近年来，又进行了掠过太阳的雷达回波时间延迟的检验，并准备进行绕地轨道上陀螺仪进动的实验。

此外，广义相对论关于引力波的预言，相对论天体物理和宇宙学关于中子星的预言，关于宇宙膨胀导致红移的预言，以及关于微波背景辐射的预言等等都分别得到天文观测的支持或证实。这些将在下面相对论天体物理和宇宙学部分阐述。

在牛顿理论中，牛顿第二定律的惯性质量mi同引力定律的引力质量mg是否相等，并没有本质的意义。如果一物体的mi与mg不相等，那么在引力作用下，它的加速度g┡同当地引力常数g之间就有下面的关系

比值mg/mi不同的物体，将有不同的加速度g┡。

然而，自伽利略的时代起，人们就发现，对于不同的物体，这个比值都是一样的。C.惠更斯、牛顿等人都进行过这类实验。1889年，厄缶精确地证明了，对于各种物质，比值mg/mi的差别不大于10-9（见图）。

厄缶在一横杆的两端各挂木制的A和铂制的B两个重量相差不大的重物，杆的中点悬在一细金属丝上。如果g是地球引力常数，是地球自转引起的离心加速度的垂直分量，lA和lB是两个重物的有效杆臂长，那么当平衡时，由于A、B的重量相差不大，因而横杆略为倾斜以满足

同时，在厄缶进行实验的纬度上，地球自转引起的离心加速度有一可观的水平分量，会使得横杆受到一个水平转矩

消去lB，又由于远小于g可以略去，因而得到

这样，只要二者mi/mg的比值不同，就会扭转悬挂横杆的细金属丝。但是，厄缶在10-9的精度上没有测出这种扭转。

20世纪60年代，R.H.狄克等人改进了厄缶实验，把精度提高到10-11。70年代初，V.布拉金斯基等人又把精度提高到约0.9×10-12。

在广义相对论中，根据等效原理就可以推出，处于引力场中的时钟的频率或原子辐射的频率要受到引力势的影响而向红端移动。这就是引力红移。如果在远离引力源的x1处观测引力源附近x2处相应的频率，则红移量Δv和x1处的频率v之比应该同两处势嗞(x)的差有如下关系

利用史瓦西度规也可以得到同样的结果。

从天文观测来测定引力红移的一个主要困难，是如何把引力红移和由其他因素引起的多普勒红移区分开来。直到20世纪60年代初，对太阳引力红移最好的观测结果是预言值的1.05±0.05倍。

白矮星由于引力场很强，其引力红移大得多。但如何精确测定白矮星上的引力势又有困难。直到70年代初才得到较满意的结果。

60年代，R.V.庞德等人利用穆斯堡尔效应（见穆斯堡尔谱学）在地面进行实验，测量地球引力场中的引力红移，得到了满意的结果。1964年得到的结果是理论值的0.999 ±0.0076倍。在约 1％的精度上检验了等效原理关于引力红移的预言。

在史瓦西度规中，考虑绕中心质量M 公转的检验粒子的运动。中心质量使它周围的时空发生“弯曲”，检验粒子每公转一周，近心点的进动量为

a是轨道的半长轴，ε是偏心率。

用史瓦西度规来描述太阳引力场，把行星当作检验粒子，就可算出太阳系中行星轨道每百年进动的理论值。比较表的理论值和观测值，可以明确看到：广义相对论在解释牛顿理论所不能说明的剩余进动方面，是相当成功的。

在广义相对论中，光线经过质量为M 的引力中心附近时，将会由于空间弯曲而偏向引力中心。其偏转程度比仅考虑光的运动质量受万有引力而偏转的程度要大。光沿零测地线运动，因此具体计算时需要求解史瓦西度规中的零测地线方程。可以证明，远离中心质量M的观察者所测得的偏转角应为

其中r0是光线路径同质量中心的最短距离。

爱因斯坦预言，如果星光擦过太阳边缘到达地球，则太阳引力场所造成的星光偏转角为 1″.75。这个预言于1919年日全食时被A.S.爱丁顿率领的观测队所证实，因而轰动世界。以后，每逢日全食都进行了观测。但由于种种不确定的因素，光学测量精度的提高受到了限制。1973年，光学测量所得偏转角同理论值之比为0.95±0.11。

60年代末，由于射电天文学的发展，使人们有可能用高于光学观测的精度来测量太阳引起的射电信号的偏折。这类观测所得偏转角同理论值之比在1975年已达到约1±0.01。

I.夏皮洛于1964年建议测量雷达信号传播到内行星再反射回地球所需的时间，来检验广义相对论。他为此进行了长期的测量。到70年代末期，这类测量所得的数据同广义相对论理论值比较，相差约1％。

这类实验也可以在地球引力场中，通过测量人造卫星的雷达回波的时间延迟来进行。

相对论天体物理

广义相对论从诞生之日起，就被认为可用来解释牛顿引力理论所不能解释的天文现象。但是，一般的天体和天体系统的引力很弱，无需考虑其相对论效应，所以在广义相对论创立的初期，除了太阳系中有数的几个效应以及对宇宙膨胀的粗略考察之外，广义相对论对天体物理的影响并不显著。到了60年代，由于脉冲星、致密 X射线源、类星体等新奇天象以及微波背景辐射的发现，情况有了改变。这些发现一方面证实了相对论天体物理的预言，另一方面则大大刺激了相对论天体物理的发展。

相对论天体物理大体上包括后牛顿天体力学、引力波物理、致密天体物理、黑洞物理以及相对论宇宙学等内容。

后牛顿近似效应的天体力学，主要适用于缓慢运动的天体系统。行星轨道的进动、自转同轨道运动的耦合等重要的广义相对论效应，都属于后牛顿天体力学的范畴。

爱因斯坦引力场方程是双曲型偏微分方程，它意味着引力场的扰动将以一个有限速度传播，这种扰动就是以光速传播的引力波。

早在1916年爱因斯坦就根据弱场近似预言了弱引力波的存在。但最初关于引力波的理论是同坐标的选取有关的，以致引力波到底是引力场固有的性质，还是某种虚假的坐标效应，以及引力波是否从发射系统中带走能量等问题长时间没有澄清。直到50年代末，同坐标选取无关的引力辐射理论才开始形成。随后求出了爱因斯坦真空场方程的一种以光速传播的平面波前、平行射线的严格的波动解，并证明了检验粒子在引力波作?孟禄岵硕佣砻髁艘Σㄐ拍芰俊２还捎诎蛩固狗匠淌欠窍咝缘模泄匾Σǖ囊恍├砺畚侍馊杂写绦吻濉?

从物理图像上看，弱场近似下的辐射解毕竟是值得注意的。一方面，任何可观测到的引力辐射的强度多半都非常低；另一方面，弱场近似下的引力辐射理论有可能沟通广义相对论同微观物理学之间的鸿沟，赋予引力学概念以确切的含义。

广义相对论的弱场辐射解具有如下的特点：是在真空中以光速传播的横波，没有偶极辐射，只有四极或更高级的辐射，携带有能量然而穿透能力极强等等。

显然，由于引力波与物质作用极为微弱，对它的探测就极为困难。70年代初，有人宣称探测到了不能排除是来自太空的引力波信号。但是，以后没有人能够重复得到这一结果。70年代末，J.H.泰勒等人公布了对射电脉冲双星 PSR 1913+16公转周期变短的长期观测的结果。泰勒等人认为这种效应是由于引力辐射不断带走能量所引起的。他们的结果在20％的误差范围内同引力辐射的理论计算一致。

在恒星演化的晚期，核能消耗尽之后，如果仍有物理效应足以同自引力相抗衡，则会形成白矮星，或坍缩为中子星等致密天体。否则，引力坍缩将一直进行下去，形成黑洞，并终止于奇点。除了白矮星外，致密天体都具有极强的引力场，必须用广义相对论来描述。

30年代初，S.钱德拉塞卡和Л.Д.朗道分别研究了依靠简并电子气体的压强来抗衡引力以保持平衡，并形成白矮星的条件。可以证明存在一个临界质量，当星体质量低于临界值时，平衡是稳定的，否则不存在稳定的平衡，将发生引力坍缩。这个形成白矮星的质量上限称为钱德拉塞卡极限，约为太阳质量M 嫳的1.5倍。如果考虑到广义相对论的非线性效应，这个极限值还要降低。

在发生引力坍缩的天体中，由于星体密度不断增大，坍缩核会进入简并中子气状态。这时，简并中子气体的压强有可能同自引力达到平衡，就形成中子星。30年代初期中子被发现后不久，朗道就预言可能存在中子星。30年代末，J.R.奥本海默等人利用广义相对论讨论了形成球对称稳定中子星的质量上限，现在称为奥本海默极限，约为2～3M 嫳。奥本海默当时就指出，如果星体质量大于这个上限，引力坍缩将一直进行下去，直到收缩为一个体积为零、密度无穷大的奇点。

这一结论一直受到包括爱因斯坦在内的许多物理学家的怀疑。直到1963年M.施密特发现类星体，1967年A.休伊什等人发现脉冲星，脉冲星又被确认为是快速旋转，磁场极强的中子星之后，奥本海默的工作才受到重视，并推动了对强引力场和引力坍缩的深入研究。

70年代以来，有人根据粒子物理的一些理论，又提出可能存在反常中子星、夸克（层子）星等等，以及相应的新的平衡极限。这方面的研究也有待继续深入。

早在18世纪末，P.S.M.拉普拉斯根据牛顿引力理论就曾预言，只要天体质量足够大，其引力就有可能强到连自身发出的光都无法逃逸到远处的程度，以致成为看不见的天体。现在，称这类天体为黑洞。显然，由于黑洞的引力极强，只有用广义相对论才能确切地描述。

黑洞具有封闭的边界，光线和其他任何物质都不能越过这个边界跳到外面。这个边界就是黑洞的视界。根据广义相对论，在球对称的引力坍缩过程中，只要坍缩核的质量足够大，就一定坍缩为黑洞。而一旦形成黑洞，就会一直坍缩到奇点。

20世纪60年代以来，彭罗塞等人引入了整体微分几何的方法，在理论上大大推进了有关黑洞和引力坍缩的研究。60年代末，彭罗塞提出了“宇宙信息检查假设”，认为奇点只能出现在黑洞之内，或者说，引力坍缩不可能形成裸奇点，黑洞外面的人看不见。这个猜想虽然有充分的根据，然而，至今并没有得到严格的证明。

60年代末到70年代初，霍金等人证明了黑洞的经典理论的一系列重要定理，例如：

（1）坍缩核形成的黑洞稳态全部由克尔-纽曼度规描述，仅同质量M 、角动量J和电荷Q有关，而同坍缩核原来的其他性质无关。

（2）黑洞视界的面积A永不随时间的流逝而减小。

（3）稳态黑洞视界上的引力加速度k 处处相等。

（4）不能通过有限步骤把k 降到零。

（5）黑洞质量M 的变化，总伴随着黑洞面积A、角动量J 以及电磁能量的变化，并可表为守恒定律的形式。

上述第一个定理就是有名的“黑洞无毛发定理”。后面四个定理同热力学的定律非常相似。如果把k 定义为黑洞的温度，定义为黑洞的熵，那么它们就成为黑洞热力学的四条定律。

然而，根据热力学的一般原理，黑洞既然是有限的非零温度的热体，就应该向外辐射能量。但是，经典意义下的黑洞却只能吸收辐射，而不能向外发射任何东西。这对于从热力学角度来描述黑洞显然是一个原则上的困难。1974年，霍金引入了黑洞引力场中的量子效应，从而克服了这个困难。霍金指出，由于真空的量子涨落和物质的量子隧道效应，黑洞完全可以像一个黑体一样发射粒子和辐射，甚至可以导致激烈的爆炸。

考虑了黑洞的量子效应之后，经典黑洞的一些性质就要有相应的改变。例如，由于黑洞有热辐射，视界面积就会减少，因而经典的面积不减定理，即对黑洞热力学第二定律就不再成立。但是，在这里可以把宇宙中所有黑洞的熵和黑洞外所有物质熵的总和定义为宇宙的广义熵并建立包括黑洞在内的广义热力学第二定律，这就是说，宇宙的广义熵将永远不会随时间的流逝而减少。

黑洞理论虽然取得了不少进展，但是，仍然有很多问题有待进一步解决。例如，前面提到的“宇宙信息检查假设”的基础就有待于进一步的考查。除此之外，黑洞熵的本质是什么，如何引进黑洞引力场本身的量子效应等等都是必须进一步研究的。

寻找黑洞，是当前相对论天体物理的重要课题之一。目前，最有可能被证认为是黑洞的是天鹅座X-1。此外，在椭圆星系M87的核心部分可能存在108～109M 嫳的大质量黑洞。也有人用黑洞模型来解释类星体，或者太空中的一些爆发现象，但还没有定论。

相对论宇宙学

宇宙是一个演化着的整体，这是20世纪物理学和天文学的极为重大的发现。早在20年代初期发现的星系红移及其规律性，以后陆续发现的星系元素丰度、形状和年龄等一般特征，特别是60年代发现的很高程度各向同性的2.7K微波背景辐射都说明了这一点。广义相对论的宇宙理论，主要是大爆炸宇宙论，解释或预言了这些重要发现。这是相对论宇宙学，也是广义相对论的重要成就。

相对论宇宙学可以大致分为对宇宙的运动学描述和动力学模型两个部分。前者以宇宙学原理为基础，利用弗里德曼－罗伯孙－沃耳克度规来分析、概括宇宙学尺度上的运动学观察事实；后者则要根据宇宙演化各个不同阶段的物质状态，求解爱因斯坦场方程，并进一步说明各种有关宇宙演化的规律性。

从哥白尼时代开始到今天，认为宇宙没有特殊优越的中心的思想逐渐在现代科学中占据了主导地位。宇宙中任何一个部分在本质上是等价的，任何方向都是平权的，这个有关宇宙空间和物质分布均匀且各向同性的假设就是宇宙学原理的基本内容。为了纪念否定地球中心说的N.哥白尼，这个原理也称为哥白尼原理。

当然，这个原理并不适用于宇宙的细节。天文观测表明，天体或天体系统的成团结构大体在108～109光年的尺度上终止，而现在天文观测已达到3×1010光年。这样，我们就可以把宇宙学原理当作宇宙大尺度结构的平均效应，而把成团结构当作均匀背景上的涨落。

1917年爱因斯坦在他的静态宇宙模型中，首次提出宇宙空间均匀各向同性的假定。以后，由于弗里德曼、罗伯孙、沃耳克在20～30年代的工作进一步系统地了解了这个原理对宇宙度规的限制，即满足宇宙学原理的宇宙度规只能是弗里德曼－罗伯孙－沃耳克度规。它包含一个表示宇宙空间几何性质的参量k，还包含描述宇宙演化的标度因子R(t)。

宇宙学原理包含着假说，这是毫无疑义的。如果观测证明，这个原理必须修改甚至放弃，那将有极大的意义。这个原理对宇宙的叙述给出了一个简单的框架，大多数学者承认这个原理，并把它当作一种工作假说。

有人认为，宇宙不仅在空间上是均匀各向同性的，而且在任何时期也应该是一样的。他们称这个原理为完美的宇宙学原理。另一种观点认为，宇宙物质的阶层状成团结构并没有终止在某个尺度上，因而根本不存在物质分布的均匀各向同性。不过，从这些观点出发而建立的宇宙模型都存在着一些原则困难，并没有得到公认。

宇宙学原理和弗里德曼－罗伯孙－沃耳克度规为宇宙学提供了描述框架。利用这个度规，可以计算出红移同标度因子的关系、红移同距离的关系等等重要的运动学关系。但是，这些关系如何直接同观测进行比较，则涉及相当复杂的和不确定的因素。

E.P.哈勃于1929年据当时发现的为数不多的正常星系，提出了星系视向退行速度v同距离D大致成线性关系的经验规律

v＝H0D，

证实了德西特模型同弗里德曼模型关于宇宙膨胀的预言。现在，称这个定律为哈勃定律。H0为哈勃常数［单位为km/(s·Mpc)］。

然而，哈勃定律中的速度和距离都不是直接可观测量。更本质地说，哈勃定律描述的是红移Z(单位为km/s)同视星等m这两个可观测量之间的关系。利用宇宙学度规，对不太大的宇宙时间尺度，可验证如下公式

，

M是绝对星等，q0是减速因子。H0和q0依赖于观测时刻t0的标度因子及其变化

测定H0和q0是观测宇宙学最重要的课题之一。在有关绝对星等的假定下，根据一定类型正常星系的m和Z的数据可以定出 H0和q0的值。目前，较为公认的数据为H0≈100km/(s·Mpc)，q0≈1但对q0值仍有较多争议。

人们要利用m-Z关系、多普勒效应，并要在有关距离测定的一系列假定之下，才能得到哈勃关系。哈勃常数的数值已经历了多次修订，但人们仍认为，哈勃定律对于为数众多的正常星系是成立的。并且，还经常把它外推至较大红移量的天体，以标定距离。

不过，对于红移量较大的特殊星系，特别是对于类星体，哈勃定律并没有得到公认。一个重要的原因是对于这些天体或天体系统，演化效应的影响越来越突出。如何考虑演化效应至今仍是一个难题。

除了红移－视星等关系外，红移－计数关系也可以提供有关R(t)的信息，但也存在如何考虑演化效应的困难。

在宇宙学原理的基础上，适当考虑宇宙物质在演化各阶段的物态，求解爱因斯坦方程。就可以得到标度因子随时间的演化以及 k值同宇宙物质状态的关系，从而建立起描述宇宙演化的动力学模型。

宇宙膨胀的概念很自然地会导致宇宙早期存在高密度、高温度状态的推测。40年代中期，G.伽莫夫曾提出，宇宙早期物质的密度和温度可能高到足以进行快速热核反应的地步，并且存在着辐射为主的时期。这种认为宇宙源于一个原始火球的爆炸，并经历了从热到冷、从密到稀、从“辐射”（指无静止质量的粒子，如光子）为主过渡到“实物”（指有静止质量的粒子，如质子、中子）为主的演化史的模型，就称为大爆炸宇宙模型。这个模型是相对论宇宙学的标准模型。

40年代末，伽莫夫等人预言起源于大爆炸的辐射冷却到现在仍有约 25K黑体谱。1964年狄克等人独立地进行了计算，并预言这种背景辐射至今约有热力学温度几度。第二年，A.A.彭齐亚斯和R.W.威耳孙就发现了这种微波背景辐射，证实了大爆炸宇宙论的预言。根据大爆炸模型进行核合成计算，也能够较好地说明宇宙中的氦和氘的丰度。近年来，粒子物理的电弱统一理论、量子色动力学和大统一理论提出后不久，就陆续和大爆炸理论结合起来，对于宇宙中质子数同光子数之比、重轻子（见轻子）的质量、中微子种类的限制等等作出了不少有意义的解释和预言。总之，大爆炸模型确实能够系统地预言并说明宇宙作为一个演化着的整体的许多重要的特征。

但是，大爆炸宇宙论也存在着一些问题有待进一步解决。例如失踪质量的问题，星系如何形成的问题，正、反物质不对称的起源，各向同性的起源，奇点如何避免的问题，等等。

按照广义相对论，宇宙空间是封闭的(k=1)，还是开放的（k=0或－1），主要取决于现在的能量密度ρ0大于或小于临界值 ρc(10-29g/cm3量级)。与此相应，减速因子q0也要大于或小于临界值qc=。如果认为目前的ρ0主要由质子和中子提供，那么，由天文观测资料所确定的ρ0远小于ρc。然而，q0却大于qc，这就带来了矛盾。一般认为，这是由于相当一部分质量没有被观测到所造成的。这就是所谓失踪质量的问题。解决这个问题的一个可能性是中微子具有几十电子伏的质量，同时宇宙空间存在着极高的中微子背景。然而，这种可能性还远没有得到公认。引入宇宙学常数也有可能解决这个问题。

粒子物理和宇宙论的结合，非各向同性模型的研究，考虑物质的量子效应以解释各向同性的起源，并回避大爆炸起源于奇点的困难等领域的研究，都正在活跃地进行。

除了大爆炸模型以外，还有其他一些相对论性宇宙模型。例如包含宇宙常数的勒梅特模型、基本完美宇宙学原理的稳恒态模型、等级式宇宙模型、正反物质模型、具有可变引力常数的模型等等。

勒梅特模型的主要特征同大爆炸模型没有质的区别。而且，由于引进了宇宙学常数，还有可能克服大爆炸模型的一些困难，特别是有关奇点的困难。但是，这些问题还有待进一步的研究。

稳恒态模型是1948年由H.邦迪、T.戈尔德和F.霍伊耳提出来的。这个基于完美宇宙学原理的模型认为宇宙处于“稳恒状态”。这样，当星系彼此退行时，就必须有新的物质不断创生，以保持宇宙的平均密度为常数。这个模型可得出供确切检验的预言。但是，难以说明有关射电源计数元素丰度等观测事实，特别是难以说明微波背景辐射的起源，因此没有得到公认。

等级式宇宙模型的主要依据是天体系统阶层状的成团结构。但是，对宇宙其他大尺度上的特征却难以说明。近年来，有人尝试在相对论基础上建立等级式模型。但远不如在宇宙学原理基础上建立的模型成功。

正、反物质宇宙模型是O.克莱因等人提出的。主要的目的是为了解决粒子物理中正反粒子对称而宇宙中正反粒子成分不对称的矛盾。然而，这个理论至今仍很不完善，一些有决定性意义的预言没有得到证实，对背景辐射等重要观测事实又难以说明，因此同样没有得到公认。

引力常数可变的思想，最早是由P.A.M.狄喇克根据他的大数定律提出来的。后来，E.P.约旦、C.布朗斯和狄克先后建立了引力常数可变的引力理论。在这种引力理论中变化的引力常数由一个标量场代替。在此基础上，依据宇宙学原理就可以建立具有可变引力常数的模型，可以得出同标准模型相应的预言。但是，引力常数是否变化，在观测上远没有肯定的结论，可以肯定的是，即使有变化也极其微小。因而这类宇宙模型意义不大。

近年来，为了克服广义相对论的一些原则困难，在广义相对论的基础上引入自旋和挠率，建立引力规范理论的研究也正在活跃起来。有人指出，在这类理论的基础上建立宇宙模型有可能避免奇性，这是值得注意的。但是，这类理论还存在很多问题有待深入研究。

纵观相对论宇宙学的发展，以宇宙学原理为基础的标准模型将宇宙作为一个演化的整体，在一定程度上作出了较好的描绘，但远没有达到完美的地步。作为标准模型的动力学基础的广义相对论还有一些很困难的问题有待解决。

参考书目

1. A. Einstein，The Meaning of Relativity，3rd ed.，Princeton Univ. Press， Princeton， 1950.
2. S.Weinberg，GRavitation and Cosmology，John Wiley，New York， 1972.
3. S.W. Hawking and G.F.R. Ellis， The Large ScaleStructure of Space-time， Cambridge Univ. Press， London，1973.
4. S. W. Hawking and W. Israel， ed.， GeneRal Relativity， An Einstein Centenary Survey. Cambridge Univ.Press，London， 1979.