好听的网络歌曲

哦!苏珊娜-乔洋
距离-乔洋
爱上你的假-zey
空瓶氧气-网络歌曲
我会很诚实-星弟
放弃-星弟
分开后的你-星弟
落叶音符-kingstar-小5
爱的那么多-小5
离开我以后-小5和土著瞬间(听他的歌最开始就是这首了）
残留的回忆-小5
我若不是你最爱的人-小5（非常喜欢小5的这首）
说一句我不走了-kingstar-小5（很好听）
最后是我开了口-小贱
唯一爱你的是我-未知
哥特式小丑-未知
初雪-网络歌手
过眼云烟-光光
我以为爱-光光
始终不够-司徒俊文
最后一刻才明白-网络歌手
走下去，别回头看我-网络歌手
女生部分：（类似非主流，但绝不是非主流）
爱你爱到不怕死-网络歌手
我们的回忆-vin婧
放弃爱你-vin婧
心酸的承诺-网络歌手
左耳听见-网络歌手
简单浪漫-网络歌手
旅行的意义-曾轶可
爱的宿命-朴思影（很喜欢）
逝去的爱(原创)-乱感觉-d调（收藏了很久）
无法代替-范小蛙
怎么说-riyo橙
独家说爱-riyo橙
怎么办 我爱你-vce(本兮)
纪念vc-vce(本兮)
距离(for u)-cindy
转身过后-思小妞
一点点的蓝-思小妞
黑色爱情-CK
午夜飞行-CK
他不知道-CK
被遗忘的爱-CK
只想唱歌给你听-CK
就象一个谜-非主流歌曲
对着天空说爱你-网络歌手
一个人空虚两个人多余-王蓓
示爱，誓爱，逝爱-网络歌手（很难找的一首歌）
男女对唱：（类似非主流，但绝不是非主流）
情系吾人-吾人族
最sweet-vce&小伟
带泪的鱼-本兮vce
我爱罗-万晨&ck（很喜欢前奏带卡通的一小段）
爱与诺言-THP
附送折磨-网络歌手
启示录-陈旭
怀念过去-欢子 沈丹丹
永远在身边-大嘴巴
丘比特-戚薇 袁成杰
戴上我的爱-潘玮柏 王珞丹
我想更懂你-苏芮 潘玮柏
不得不爱-潘玮柏 弦子
半生熟-黄品冠 戴佩妮（超喜欢喔）
复刻回忆-方大同 薛凯琪
流行老歌曲：（比较经典的）
今晚你想念的人是不是我 黄丽玲
爱 请问怎么走 黄丽玲
女人如烟 魏佳艺
你身边的人曾经是我 张冬玲
一个人唱歌的时候 伍思凯
用一生爱你够不够 邝美云
爱一万次够不够 林子路
可以勇敢可以温柔 林慧萍
最痛的感情 云开
有没有这样的哭泣没有眼泪 未知
我经历了你们不曾经历过的爱情 魏佳艺
心痛的感觉 苏芮
认真的女人最美丽 高慧君
亏欠一生 裘海正
爱你十分泪七分 裘海正
写不完的爱 潘美辰
不要走、不要走 潘美辰
错过的情人 石梅
自作多情 周慧敏
痴心换情深 周慧敏
爱到才知痛 黄乙玲(唯一一首喜欢的闽南歌）
流行新歌曲：（比较可爱的）
一个人勇敢 卓文萱
初恋滋味 倪睿思
安静了 SHE
珍珠 TRY
女生 黑Girl
很傻 王恩琦
白色羽毛 芮恩
可爱滴 岳夏
我知道 BY2
你看得见吗 钟欣桐
说你爱我 SHE
钟无艳 谢安琪
主角爱我 卫兰
唱给谁听 影子
你不知道的我 袁惟仁
身骑白马 徐佳莹
为了遇见你 胡瑶
七月 江映蓉（好听）
学会 王菀之、
你看得见吗 钟欣桐
最幸福的事 梁文音
女生 黑Girl
我不怕输 女生宿舍
私奔 弦子
没有你的下雪天 希婕
借我一点幸福 dior（好听）
一脸清秀 蔡诗芸
你的香气 郭静
诚实地想你 郭采洁
你别怪我 马郁
没有情人节 徐婕儿
封杀我的爱 罗永娟
Better Man 林忆莲
女人心事 陶晶莹
雪地 张惠妹 ­（很多人没听过她的这首歌）
今天还是明天 郭顶 （挺有感觉的）
喜欢 胡杨林
爱一点 莫艳琳
安全 闫安
做你的天 李玖哲
回到最初 蔡淳佳
猜不透 丁当
出局 易欣
折子戏 黄阅
吉普赛情人 周传雄
人质 张惠妹
我若不曾爱过你 动力火车
一个人的星光 许静岚（好听）
余地 艾成
后真空 吴听彻
坚强分手 何俊明
你还记得吗 青蛙乐队
狐狸 陈伟霆
词不达意 林忆莲
给我一分钟不想你 许茹芸
有心人 有情人 蔡淳佳
专一有罪 钟舒漫
还是让你走 周丽淇
练习不想他 杨青倩
重点推荐
张智成的歌：
凌晨三点钟
后来才知道
So far away（和JS组合的女声陈绮萱合唱的）
重返寂寞
May I love you（she也翻唱过，<Yes,I love you>曲调一样，歌词不同） ­
王若琳的歌：
迷宫（第一次听就喜欢上了）
I Love You（很多人唱过这首）
Can't Take My Eyes Off You
南拳妈妈的歌：
瓦解 南拳妈妈（很喜欢阿）
不该结束 南拳妈妈（很喜欢阿）
人鱼的眼泪 南拳妈妈（很喜欢阿）
笑着流泪 南拳妈妈（很喜欢阿）
你不像她 南拳妈妈（很喜欢阿）
悄悄告诉他 南拳妈妈（很喜欢阿）
吻我好吗 南拳妈妈（很喜欢阿）
下雨天 南拳妈妈（很喜欢阿）
再见小时候 南拳妈妈（很喜欢阿）
靠近一点点 南拳妈妈（很喜欢阿）
初恋粉色系 南拳妈妈（很喜欢阿）
What Can I Do 南拳妈妈（最喜欢的）
他们的歌听久了会觉得很舒服！
特别喜欢的几首：
故意 陈冠希（很喜欢这首歌的旋律）
分手的拥抱 青蛙乐队 （很喜欢）
我可以做你男朋友 王叙然
飞向札幌的班机 JS
分隔双鱼 赖伟锋（喜欢的一首）
替代品 绣峰 （很喜欢的一首）
谁说我不在乎你 A-SHOW（特别的模仿）
偏爱 张芸京（很多人都在听）
好寂寞 陈昱熙(好喜欢）
寂寞，好了 蔡旻佑（新歌）
无双谱 方力申
爱不疚 林峰
我该怎么做 欢子
眼里眉间 蔡淳佳（好听）
练习 川岛茉树代（好听）
缓慢 黄美珍（感觉很好）
爱情买卖 慕容晓晓（很特别）
最后一次 薛晓枫
新不了情 杨宗纬
别人 小鸣
太早 刘允乐
再说声sa lang hae yo 王栎鑫
内疚 EO2
自爱 张敬轩
耿耿于怀 麦浚龙
两汤一面 余文乐
夜的方向 张峰奇
习不习惯 张峰奇
泛泛之辈 吴克群
爱比不爱更寂寞 小文
难以启齿的柔弱 小文
哥特式寂寞 郑毅 zey
贝多芬的悲伤 郑毅 zey
枫叶 薛之谦
预感 周定纬
你又不是我 yiyo
十有八九 后弦
习惯了寂寞 牛奶@咖啡(新歌）
何必在一起 张杰（新歌）
哭过就好了 梁文音（新歌）
朝思暮想 张靓颖（新歌）
你为什么说谎 丁当（新歌）
别在我离开之前离开 雷诺儿
哀怨 jye
大象 丁于(构想来源于蜡笔小新）
没有蜡笔的小新 小骚包
水果沙拉 小野丽莎（还蛮可爱的一首）
伤感歌曲：
孤单心事 终极一班
爱的废墟 俞静
流泪 关之琳
做你的红颜好吗 苗苗
疯了 阿桑
你身边的那个男人 b5
爱多深痛多久 东来东往
路过爱 东来东往
狠狠哭 郭采洁
笨的可以 郭采洁
真情总会留下伤感 宋伟峰
失恋了怎么办 邝文珣（好听）
抱着你哭 王心凌 （不怎么喜欢她的歌，这是唯一一首）
你是我的眼 萧煌奇
台北的机场 依稀
我听见有人叫你宝贝 林健辉(2009新歌）
不属于我 陈世维
寂寞的恋人 莫文蔚
怕寂寞 雁卿
不了了之 冰淇
相见恨晚 彭佳慧
带走 莫艳琳
笨蛋 金莎
怎样 戴佩妮
记得 张惠妹
隧道 林凡
离开 黄婉婷
我爱他 丁当
放弃你 郭书瑶
来不及说再见 郭书瑶
只要你快乐 汪佩蓉(很喜欢的一首）
我绝对不说我爱你 许茹芸
唱不完的情歌伤不完的心 路绮欧
今天的祝福明天的孤独 本多Ruru
我知道你很难过 蔡依林
假面的告白 蔡依林
毁灭爱情 林冠吟
独白情歌 网络歌手
满街都是寂寞的朋友 王梓（寂寞时听起来更寂寞）
别哭，我最爱的人 网络歌手
宝贝都是我的错 王强
当泪流干的时候 张津涤
我真的受伤了 张学友
当爱变成习惯 张学友
情系半生 张学友
你是我今生唯一传奇 张学友
我爱的人 陈小春
哭着眼睛说拜拜 冠男
我的心太乱 周传雄
记事本 周传雄
吉普赛情人 周传雄
于心有愧 陈奕迅
放手去爱 迪克牛仔
你爱我像谁 张卫健
爱海滔滔 陈浩民
无心伤害 杜德伟
狠不下心 黄品源
红豆 方大同

1、《Something Just Like This》

《Something Just Like This》这首歌能位居2019年抖音最火十大神曲排行榜榜首，肯定是有道理的。该歌曲由美国著名音乐组合烟鬼和摇滚乐队共同合作的一首单曲，并于2017年正式发行，曲风极其炫酷，特别受年轻人的喜欢。

2、《Me Too》

《Me Too》是抖音上比较火的一首歌曲，可以看到很多人拍视频都有用这首歌做背景音乐。这首歌是由美国女歌手梅根·特瑞娜所演唱，并于2016年正式发行，它的曲风属于摇滚类型，在当年的个大音乐颁奖典礼中也是引起了不小的轰动，并且在欧美地区多次列入榜单前十之中。

3、《PLANET》

《PLANET》这首歌非常洗脑，歌曲旋律舒心，很动听。是由著名日本组合ラムジ所演唱，它发行于2006年，曲调属于典型的日式优美风格，听起来就很有感觉。

4、《PANAMA》

《PANAMA》这首歌在这两年可以说是火遍全国，它是由来自罗马尼亚的歌手Matteo演唱，并于2013年正式发行。由于曲风独特洗脑，所以在国内迅速引起了热烈的反响。

5、《samsara》

在2019年抖音最火十大神曲排行榜，《samsara》可以说是舞曲系列中的热门，它有著名欧美歌手Emila录唱，并于2015年正式发行。

6、《爱情骗子我问你》

《爱情骗子我问你》这是一首非常经典的歌曲，是由著名歌手陈小云演唱，这首歌在当时可以说是火遍大江南北，现在听起来也是慢慢的复古风。

7、《起风了》

《起风了》这首歌其实在2018年的时候就已经很火了，相信很多人也都听过，该首歌是改编自日文歌曲《ヤキモチ》，由买辣椒也用券演唱，并于2017年发行。它的曲风优美，听一次就会让你牢牢记在脑中。

8、《爱的就是你》

《爱的就是你》是由著名男歌手刘佳演唱，并于2012年发行，收录在《一个人走》专辑中。歌曲还被作为《城市游戏》的插曲，非常受大众欢迎。

9、《追光者》

《追光者》是歌手岑宁儿演唱的一首歌，超级好听，是著名电视剧《夏至未至》的插曲，曲风特别优美，讲述了一段优美的爱情故事。

10、《带你去旅行》

《带你去旅行》这首歌在抖音上超火，翻唱版本的也是越来越多，感觉怎么听都不会觉得腻的那种。它于2017年正式发行，由朱贺填词，校长演唱，曲风比较灵动，属于洗脑神曲，听了一遍就忘不了。

关谷来的目的主要是为了胡一菲，一菲并不是普通的大学老师，她是博士有高智商，她会格斗有高超的战斗力，其实她是一名特工，一名EIO的特工。EIO是对抗天网，拯救地球的神秘组织。（你以为展博会无缘无故的加入一个无聊的组织么，事实上展博早已经是组织的一员了，他是计算机天才，同样是EIO的重要人物，这次离开公寓去南极是因为有一个他不得不去完成的任务，后面会解释。）同时一菲身上也有着EIO的一些机密信息，天网找到了她，目的就是从她身上套出机密信息。但是天网明白以一菲的意志，她是不会出卖EIO的，以她的智商也不容易被迷惑，以她的战斗力更是无法制服（大家也看到一菲毫发无损地打败了T600），于是便派了关谷这个机器人来接近一菲身边的人，妄图套出信息。 但是渐渐地，关谷这个智能机器人爱上了悠悠，他不想伤害悠悠和他身边的人，于是就开始酱油，全然忘了天网给他的任务。天网没办法只好派出了神秘迷人的女特工——代号诺澜，诺澜进电台并不是巧合。之前说一菲很难被迷惑，但她身边的人基本没什么戒心，于是天网决定从曾小贤开始入手。曾小贤虽然只是个普通人，但是跟一菲之间却有着难以说清的感情，一菲为了更好的工作，所以一直回避着与曾小贤在之间的感情，至于沈公子，一菲从未喜欢过，只是为了掩饰自己的感情随便找的。而这一切都瞒不过天网组织，关谷的大师兄事实上就是来提醒关谷同时监督关谷完成任务的。当大师兄把关谷的情况反映给天网组织后，组织决定派出诺澜勾引小贤，再凭借一菲和小贤的亲密关系，套出机密信息。但是天网万万没有想到诺澜竟然真的爱上了小贤。 林宛瑜什么消失一季还没有没出现，事实上林宛瑜是被天网组织绑架了，而展博得之后毅然离开了爱情公寓。林氏集团是EIO最大的资助方，EIO的所有科研经费都是来源于林氏银行。而天网绑架宛瑜的目的就是为了让林氏集团停止资助EIO。EIO虽然是个日本组织，但是有着不为人知的秘密，所以只能把大本营设立在南极，展博为了营救宛瑜踏上了他的南极之旅。 天网见特工诺澜和机器人关谷都没什么进展，于是派出了情商和智商都超级高的高层技师——小峰，去接近一菲的室友美嘉。因为天网觉得迟迟没有进展的原因是悠悠和一菲不是很熟，小贤虽然熟悉，但却不是一个寝室。但是却万万没想到诺澜会爱上曾小贤，无奈之下，把苗头指向了和一菲又熟悉又在同一寝室的美嘉。但是天网不知道小峰却是当年美嘉意外救下的跳楼学生，他当时已经对美嘉一见倾心。所以他更加不会加害美嘉，于是也是左右为难。那次美嘉帮助小峰看房子就是天网安排的，目的为了用那些智能家用电器套出美嘉的话，而且在任务进行中还不小心说漏了嘴。 诺澜爱上了小贤，同样也不想做出伤害小贤的事。于是她提前告白抢走小贤，就是为了断了一菲和小贤的感情，因为天网是不会放过一菲身边的人的，诺澜只有把小贤从一菲手中拉走才能保护他。同时诺澜又对天网解释是为了更好地接近小贤才和他在一起的，因为小贤是一菲最亲近的人，但天网的失策就是没有想到诺澜会真的爱上曾小贤，于是就相信了诺澜。诺澜根本没去美国，而是回去向组织汇报情况，晓峰那次让美嘉看家也是被天网召回，而让机器人监视美嘉他本人毫不知情，他不会做伤害美嘉的事情。只不过他不知道家里他自己出于兴趣爱好做出来的智能电器，早已被天网控制住了。在诺澜谎称去美国的期间，还在晓峰家和晓峰见了一面，谈话内容如下：小峰：“诺澜，为什么你还不对曾小贤下手，早点完成任务也没我的事了啊。”诺澜：“小峰，我还需要时间，再说我们刚在一起感情还不深。”小峰：“我看你是喜欢上曾小贤了吧，就和那台机器人一样，喜欢上了悠悠。诺澜："呵呵，组织派你去监视美嘉的任务做的怎么样了，你觉得组织知道这些之后会放过我们么？小峰：“。。。。。。。。。。。。。”两人其实都希望别人动手，因为他们都不希望利用或者伤害自己爱的人。而他们的对话却被子乔撞见了，子乔是来拿会忘在晓峰家的东西，却看到了诺澜，子乔本以为诺澜背板了曾老师，和别的男人约会，所以想听听他们在说些什么，却发现了惊天的秘密。而这一切也都晓峰家的电器被天网知道，天网终于明白为什么任务毫无进展的原因，并且要除掉这些叛徒。而特工出身诺澜敏锐的发现了在一旁偷听的子乔决定要和晓峰一起除掉他。。。。。。。。。 悠悠和关谷最后还是买了车，子乔就是开着悠悠和关谷新买的车来的（由于子乔喜欢装高富帅，所以就求悠悠吧车借给他开两天，方便他把妹）。子乔知道自己被发现后立刻上车逃跑，但是由于慌不择路，出现了车祸。而诺澜和晓峰已经没有必要去确认子乔的的死亡了，因为冰箱君又说漏了嘴（可见智能还是有缺陷）他们也意识到自己被组织发现了。子乔的意外究竟是由于自己慌张出错，还是由于小雨淅淅的诅咒呢？两人其实都希望别人动手，因为他们都不希望利用或者伤害自己爱的人。但是，这一切却无意间被子乔看见了，两人分手之后，子乔上前问诺澜讨说法。诺澜先是反驳，但在子乔的逼问之下，诺澜妥协了，但要和子乔换一个秘密的地方说。于是他们搭上了出租，也就是出车祸的那辆车，但是他们却不知道曾老师偷偷在后面也看到了这些，骑着自行车跟了上去。在车上，子乔还是耐不住寂寞要问关谷机器人的事，说了一会儿，诺澜和子乔争论起来。可是这时他们的谈话却被司机听到了，司机目瞪口呆，情绪失控，颠覆了他的世界观，于是一个不注意，开车撞到了边上，出了车祸。诺澜毕竟是特工出身，她第一时间跳出了车外，可是司机和子乔却出了车祸。车后的曾老师追到的时候，司机已经当场死亡，而子乔也被抬上了担架，她知道诺澜也在车上，于是急得歇斯底里，这就是为什么担架上有人，可小贤却在出租车那里着急，因为他担心诺澜的安慰，可是诺澜却不在车上 子乔车祸醒了，可窗外却是另一番景象。飞机，坦克，还有无数的海陆空机器人。。。原来人类与天网的战斗开始了！！诺发身亡，小贤殉情。关谷背叛组织，变身机器人战斗被炸毁，悠悠殉情。展博宛瑜回来和一菲共同对抗，可是寡不敌众，各自牺牲。只有美嘉陪在子乔身边，可是早已哭成了泪人，两人看着机器人大军的压进，再也受不来了，地球将被天网占领。尤其子乔醒来后无法面对这一切，亲人朋友的离去，于是纵身跳下了楼，被一道激光打中，成了碎片。 爱情公寓，一个普通的公寓。天网先后派了三波人来，却都被爱情所感动，被善良所感化，愿意反抗，为了爱而反抗，最后牺牲，但他们的精神被世人永远记住。一道白光盖住屏幕，当观众都以为大结局的时候，从白幕中走出一个人，子乔。他说：“当你们我们他们都以为地球完蛋的时候，我突然想起自己忽略的一个重要的问题，就是第五集的那个陀螺一直没停下，别说什么进口的，再吊的陀螺也不会半小时不停下的，至少我小布没见过。所以，那个梦根本没有醒，也就是这些全是一个梦。”说完这些话，屏幕一黑，子乔缓缓睁开双眼，发现自己还躺在那个心理治疗室。旁边的医生笑着说：“你，终于醒了。”虽然这一切都是梦，但对子乔的冲击太大。他明白了朋友的珍贵，爱情的可贵。等到失去再去珍惜就来不及了。于是他一下子冲出治疗室，回到那个公寓，那个带给他爱情和友情甚至亲情的公寓。同时还有另一个 关谷他眼睛变成红色，还说普通话，这一切他自己都不知道怎么回事，还记得他大师兄说的天网公司么，那是真的，关谷去里面做了兼职，他自己都不知道被植入了芯片，他的婚检报告其实是悠悠的，悠悠有腰间盘突出，而悠悠拿的却是关谷的，她发现了关谷不对劲。。。。所以才有了结局那句，悠悠，对不起，，我，，，关谷后悔去天网公司。关谷死了，大家都很悲痛，子乔突然醒了过来，原来这是子乔的第四个梦，他醒了心理医生告诉他，你这个梦一定让你明白了什么才是最重要的。他找到美嘉，给美嘉表白，美嘉感动哭了，她们决心一起把孩子养大。关谷悠悠还在准备婚礼，大婚就在几天后，小贤找到一菲，跟一菲表白，，然后幸福的在一起，根本没有什么诺澜，，婚礼现场，关谷吻了悠悠。。还没有结束。突然丽萨出现了，原来这一切都是丽萨讲的一个故事。她才是你的月亮我的心主播，因为看过第一季的都知道，这是一本书讲的爱情公寓的故事。。。那些解释不通的事情都解释通了。

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一、波函数和原子轨道
1波动方程
描述宏观物体运动状态的状态方程F=ma，即牛顿第二定律。那么对微观粒子的运动，能不能也有个状态方程呢？1926年，奥地利物理学家薛定谔根据德布罗依预言，提出了描述微观粒子运动状态的波动方程，称为薛定谔方程其基本形式是：

这是个高等数学中的二阶偏微分方程，式中x、y、z为粒子在空间的直角坐标，m可近似看作是电子质量，E为总能量即电子的动能和势能之和，V是势能即核与电子的吸引能，ψ为方程的解（ψ是希腊字母，读做普赛[Psi]）。
薛定谔方程是用来描述质量为m的微观粒子，在势能为V的势场中运动，其运动状态和能量关系的定态方程。因为薛定谔方程的每一合理的解ψ，都表示该粒子运动的某一稳定状态，与这个解相应的常数E，就是粒子处于这个稳定状态的能量。由于有很多解，说明具有多种运动状态。对于一定体系，能量最低的状态称为基态，能量较高的状态称为激发态。粒子由一个状态跃迁到另一状态，能量的改变量是一定的，不能取任意的数值，即能量是量子化的由于薛定谔方程是高等数学中一个微分方程，与初等数学中方程不同，它的解ψ不是一些数而是些函数。它是波的振幅与坐标的函数，因此称作波函数。
2波函数（ψ）
如上所述，波函数ψ就是薛定谔方程的解，是描述核外电子空间运动状态的数学函数式。如同一般函数式有常量和变量一样，它包含三个常量和三个变量，它的一般形式为

式中n、l、m为三个常量，x、y、z为三个变量。
电子在核外运动，有一系列空间运动状态。每一特定状态就有一个相应的波函数ψ和相应的能量E。如有1s、2s、2p、3d、4f……等等核外空间状态，就有ψ1s、ψ2s、ψ2p、ψ3d、ψ4f……和E1s、E2s、E2p、E3d、E4f……与其相对应。或者说一个确定的波函数ψ就代表着核外电子的一个空间运动状态，电子处于这个空间状态运动时就具有确定的能量和其它一些相应的物理量。
[思考题]波函数是什么，它有明确的物理意义吗？
3波函数的图象
人们通常用几何图形来形象地描述抽象的函数式，这就是函数的图象。大家熟知的y=ax+b的图象就是一条直线。而且由数学知识还知道，一变量函数的几何图形是线，必须用二维坐标的平面图才能表示出来[图2－25，（1）]；二变量函数的几何图形是面，必须用三维坐标的立体图才能表示出来[图2－25，（2）]；以此推断，三变量函数的几何图形是立体的必须用四维坐标的办法，才能表示出来，这是十分困难的，所以多变量函数的图象表示是很复杂的。

　
波函数ψ既是函数，也可用图象来形象描述。但它是个三变量函数，其完整的图象是很难直接表示出来的。进一步研究，对于氢原子单电子体系。可采取数学上的坐标变换和变量分离的办法，把一般的波函数变成下列形式：
ψn、l、m（x、y、z）=ψn、l、m（r、θ、φ）=Rn、l（r）Yl、m（θ、φ）
这样，直角坐标中变量x、y、z变换为球坐标中变量r、θ、φ，并且整个波函数ψ分成为函数Rn、l（r）和Yl、m（θ、φ）两部分。Rn、l（r）这个函数的变量r是空间粒子到原点（核）的距离，是与径向有关的，因此称为径向函数或径向部分。Yl、m（θ、φ）这个函数的变量θ和φ是空间粒子与原点连线和z轴的夹角及其在xy面上投影与原点的连线和y轴的夹角（图2－26），都是与角度有关的，所以称为角度函数或角度部分。

表2-9列出若干氢原子波函数及其径向部分和角度部分角度部分图示

角度函数Yl、m（θ、φ）是二变量函数，其值是随θ和φ的变化而改变，它的几何图形是面，可用三维坐标来表示。
所有s态波函数的角度部分都和1s态相同

它是一个与角度（θ、φ）无关的常数，所以它们的角度分布图是一个

又如所有的pz态波函数的角度部分都为

Ypz和Ys不同，随θ角的大小而改变。不同θ值时的Ypz值（也可以不考虑Ypz值中的常数部分，仅取cosθ值）如下：

从原点出发引出相当于各θ角的直线，在各直线上分别截取相当于Ypz=（或cosθ值）数值的线段，联接这些线段的端点，便得到图中的曲线[图2－27，（1）]。因为相当于同一θ角的各个方向是以OZ轴为轴的锥面[图2－27，（2）]，所以须将上述曲线绕OZ轴旋转一圈，便得到上下两个封闭的立体曲面[图2－27，（3）]，这就是pz态波函数的角度部分图示。

　
波函数角度部分图示又称为原子轨道的角度分布图，它可理解为在距核r处的同一球面上，各点的波函数数值的相对大小。反映了波函数数值在同一球面上，不同角度，不同方向上的分布情况。如上面绘制的pz波函数的角度部分图示的曲面好似两个对顶的“球壳”。曲面上一叶的波函数数值为正，下一叶为负。
[思考题]波函数角度部分图示中的正、负号，表示的是正电荷和负电荷，对吗？为什么？
s、p、d态的波函数角度部分图示（平面图）如图2－28所示。
波函数的角度部分图示的形状与常量n无关。例如，1s、2s、3s或ns其角度部分图示的都是球形。各p态、d态和f态也是如此，各具有相同的形状，所以在这种图中常不写状态前n的数值。在化学键的形成中常用到波函数的角度部分图示。
[思考题]由波函数角度部分图示能否说s态的电子在核外空间运动是个圆，而p态电子是走8字形呢，为什么？
（2）径向部分图示
径向函数Rn，l（r）是一个变量的函数，其值是随r的变化而改变。它的几何图形是线，可用二维坐标来表示，即R（r）值与r的对画图。
图2-29给出了一些常用的氢原子波函数径向部分图示。
波函数径向部分图示，可理解为在任意指定方向上，距核为r处的某点波函数数值的相对大小。反映的是波函数相对数值在距核不同r处的分布情况，它是与常量n、l都有关。如图所示，1s态波函数的径向部分图示只为正值，而且离核越近正值越大。但其它s态的径向函数R（r）数值随r的不同也可为负值，如3s态，R（r）随r的增大由正值逐渐减小变为负值，后来又转为正值。
波函数图象上有正、负值，这是因为波函数是粒子波动性的反映，波函数在空间具有起伏性，可以为正值，可以为负值，也可以为零。波函数图象上改变正负号的点或面（即波函数数值为零），称为波函数的节点或节面。另外波具有可叠加性，波函数也具有可叠加性，其图象也可以叠加。
[思考题]波函数的图象是不是就是核外电子运动的图形，为什么？
4原子轨道
电子在原子核外空间运动，它并不象行星绕太阳那样有一定的运行轨道。它的行为遵循量子力学的规律，它的运动状态可用波函数ψ来描述，习惯上仍称波函数ψ为“原子轨道”（或更正确称原子轨道函数或简称原子轨函）。而实际上并没有经典力学中那种“轨道”的含义，所谓原子轨道只不过是代表原子中电子空间运动状态的一个波函数，所以说原子轨道是波函数的同义语。
波函数或原子轨道的概念是结构化学讨论问题的一个基础概念，究竟怎样来理解波函数的物理意义呢？
二、几率密度和电子云
从理论上可以由薛定谔方程的解波函数来描述核外电子空间运动状态，那么波函数如何来描述核外电子空间运动状态呢？这是与电子在核外空间出现的几率密度有关的，是与微观粒子运动规律上的统计性相联系的。
1微观粒子运动规律上的统计性
一个电子在核外极微小的空间内作非常高速的运动，它的一个稳定状态一定是千万次瞬间变化的结果。虽然它具有波动性，不可能同时准确测定它的位置和动量。但是可从千万次瞬间变化中，由统计学上的方法，用电子在核外空间出现机会的多少作几率性的判断。这也反映出微观粒子运动规律上具有统计性。
（1）日常的统计现象
机会在自然界的事物中起着很重要的作用，大量多次的事件中总包含着统计性。日常中的统计现象是很多的，比如射击打靶，运动员的命中率就遵循统计规律。虽然无法事先确定每次打中靶的具体位置，但大量射击的结果就能得出一定的规律性。比如打一千次命中十环若是五百次，那么命中十环的机会就是百分之五十；如果命中九环的是二百五十次，那么中九环的机会就是百分之二十五；如果脱靶两次，那脱靶的机会就是百分之零点二。这种“机会”的百分数（或小数）统计学上就称为几率（概率），这是大量多次行为的结果，是个统计的数字，重复次数越多，越准确。分析一下射击后的靶图（图2－30），这是张围绕中心分布的斑斑点点的图象。图中心的洞眼最密，外围的洞眼依次变稀，可以说中心的几率密度最大，外围的几率密度依次变小。这是个平面图，单位面积的几率就是几率密度。对三维空间而言，几率密度就是指空间某处单位体积中出现的几率。要注意几率与几率密度虽都是统计学上的概念，但两者是不同的，几率是指机会的多少或大小，是个百分数或小数，是没有单位（或量纲）的。而几率密度则是单位体积内的几率，有个密度的概念在里面，是有单位（或量纲）的。

核外电子的运动也具有这种统计性，下面就用统计的方法来分析电子衍射图。
（2）电子衍射图的统计分析
电子衍射图是用较强的电子流通过金属箔（作光栅），在极短的时间内得到的。如果设想电子流的强度小到电子是一个一个地发射出去的，在感光底片的屏上就会出现一个、一个被感光了的斑点，显示出电子的微粒性。由于电子运动具有二象性，不可能准确地知道电子在屏上的落点及中间的途径。但屏上总会有个斑点，而且每个斑点总不都重合在一起的[图2－31，（1）]。随着时间的延长，衍射斑点的数目逐渐增多，这些斑点在底片上的分布就显示出衍射图样来。只要时间足够长，得到衍射花样与强电子流极短时间得到的一样[图2-31，（2）]。由此可见，电子衍射花环的出现并不是不可思议的，它只不过是一个电子多次运动的统计性结果或是多个电子运动统计性的结果。所观察到的现象，实际是一种统计性规律的反映。因此，德国玻恩（Born，M）认为，电子的波动性是许多相互独立的、条件相同的电子运动的统计结果，是和电子运动的统计性规律联系在一起的。就大量电子的行为而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，电子出现的数目多；衍射强度小的地方，电子出现的数目就少。就一个电子行为而言，可以认为是一个电子重复进行千万次相同的实验，也一定是在衍射强度大的地方出现的机会多，即几率密度大；在衍射强度小的地方出现的机会少，即几率密度小。因此，电子的衍射波在空间某点的强度是和电子出现的几率密度成正比。实验所揭示的电子波动性是大量电子运动或是一个电子进行大量多次相同实验的统计结果。电子波实质是“几率波”，波的强度反映电子出现几率密度的大小。同样，原子核外电子运动的情况也是如此，进一步分析可得如下的关系：

∵衍射强度∝粒子密度ρ（或几率密度）
而波动力学指出：衍射强度∝|振幅|2，波函数ψ正是电子波的振幅与位置坐标的函数，也即ψ就代表着电子波的振幅。
∴衍射强度∝|ψ|2
对比一下，就可得出：核外电子出现的几率密度∝|ψ|2

这样电子在核外空间某点的几率密度就可以用相应的波函数在该点所取值的绝对值平方来表示。由此也可看出，ψ是表示核外电子空间运动状态的函数；而|ψ|2则表示处于该态电子在核外空间出现的几率密度。
[思考题]核外电子的波动性真的就象横波、驻波那样吗？
2几率密度分布的形象化表示——电子云
（1）电子云概念
波函数绝对值平方|ψ|2代表电子在核外空间各点的几率密度。因而可用小黑点的疏密程度来表示空间各点的几率密度大小，|ψ|2大的地方，黑点较密；|ψ|2小的地方，黑点较疏。以基态氢原子为例，将1s波函数平方即可求得空间各点|ψ|2的数值。

再根据|ψ1s|2的数值，按黑点的疏密程度可画出氢原子1s态的几率密度分布图形如图2－34所示。
[思考题]上述氢原子基态几率密度分布图只是一个电子运动的反映，为什么？
由上图可看出，氢原子的电子并不是在固定轨道上运动，而是在核外一个较大的空间都可以找到。而且在空间不同地点找到电子的机会并不一样，是不均匀分布的。单位体积内找到电子的机会随离核距离r增大而减小。换句话说，核附近单位体积内找到电子的机会就多如图2－32中1，反之离核越远机会就越少如图2－32中2。

但是考查不同的同心球壳（即离核不同r的球壳）中的几率总数时，发现核附近几率密度虽大，但总几率并不是最大。对氢原子来说，原子半径为529（pm）的球壳几率最大。
这一点可这样来理解：假定考查电子离核距离为r1、r2、r3三个单位球壳内的总几率。
若已知： r1 r2（r2=2r1） r3（r3=3r1）
各球壳几率密度ρ 05 03 01
∵几率=几率密度×体积，而球壳体积=4πr2×厚度，单位球壳即厚度为1的球壳。
∴各球壳总几率



∴总几率还是r2处单位球壳内最大。核附近几率密度虽最大，但因其体积小，二者乘积即总几率并不最大。
对氢原子基态，从几率密度看，由核向外是越来越少，但从球壳总几率看，在距核529皮米单位球壳最大。要注意的是上图中黑点数目，对一个氢原子来说并不代表电子的数目，而是代表一个电子在空间各点出现的几率大小，是一个电子运动规律上统计性的反映。
由上可看出，按几率密度的分布，电子仿佛是分布在核的周围空间，就如同这些黑点似的，象笼罩在核外的云雾一样。因而常常形象地将电子在核外空间的几率密度分布，即|ψ|2在空间的分布图称为电子云。但这并不是说电子真的象云那样分散，不再是一个粒子，只是对电子运动具有统计性的一种形象地说法。所以电子云就是电子在核外空间出现的几率密度分布的形象化描述法。
电子不同的空间运动状态，就有不同的ψ，也就有不同的几率密度分布。而其形象化的描述就是电子云，因此也就有不同形状的电子云。那么不同形状的电子云是如何得出？波函数ψ是个函数，同样|ψ|2仍是个函数。与波函数的图象一样，|ψ|2也有图象，也即电子云的图形。
[思考题]电子云就是高速运动着的电子所分散成的云，对吗，为什么？
（2）电子云的角度分布、径向分布与几率径向分布
|Y（θ、φ）|2为电子云角度分布函数。它可以理解为在距核r处的同一球面上、各点的几率密度的相对大小。反映的是几率密度在同一球面上，不同角度，不同方向上的分布情况，它与常量n无关。由|Y（θ、φ）|2－θ、φ作图，可得到电子云角度分布图。氢原子的s、p、d态的电子云角度分布如图2－33所示。
[思考题]将图2－28与图2－33对比，电子云角度分布图要“瘦”些，而且各曲面取值都是正值，这是为什么？
|R（r）|2为电子云径向分布函数，它表示在任意指定方向上，距核为r处的某点电子出现的几率即几率密度。反映的是几率密度在距核不同r处的分布情况，它与常量n与l有关。
由|R（r）|2－r作图，可得到电子云径向分布图。氢原子的1s、2s、3s和2p、3p、3d的电子云径向分布如图2－34所示。
前面谈到，电子离核越近，几率密度越大。但从几率来看，并不一定是离核越近的越大，而且不同态的情况也不一样。由于距核r处单位球壳中出现的几率为4πr2dr×几率密度，也即4πr2dr|R（r）|2，就令D（r）＝4πr2|R（r）|2为几率的径向分布函数。它反映的则是距核半径为r处的球面附近、单位厚度整个球壳内电子出现的几率，将D（r）－r作图，就得到几率径向分布图。
图2-34（2）是氢原子1s态电子的几率径向分布图。图中极大值正好在玻尔半径（r=a0=529pm）处。它表明在半径为529皮米附近的单位球壳内电子出现的几率，比任何其它地方单位球壳内的大。在这个意义上，可以说玻尔轨道是量子力学处理结果的一种粗略近似。

下面是氢原子一些不同态的几率径向分布图：
由图可看出，都有个几率最大的主峰，而且常量n值越大，主峰离核越远。这也说明核外电子虽无固定轨道，但几率分布是远近不同的，按出现几率大小，电子云是可以有不同密度的集中区域。此外2s、3s……主峰外还有小峰，说明这些态电子也有机会渗透到核附近。所以按核外电子出现几率，电子云既是可分层的，又是可相互渗透的。
电子云的角度分布图表示了电子在核外空间不同角度出现的几率密度大小，从角度侧面反映了电子几率密度分布的方向性。电子云的径向分布图反映的是几率密度在距核不同处的分布情况。而几率的径向分布图则表示电子在核外空间球壳内出现的几率随半径r变化的情况，从而反映了核外电子几率分布的层次及穿透性，常用来讨论多电子原子的能量效应（屏蔽和钻穿效应）。
（3）电子云分布图（黑点图）
上面从角度和径向两个侧面分析了几率密度即电子云的分布，而几率密度在空间的实际分布则是由上述两方面联合决定的。几率密度的空间分布，亦即是电子云分布图（黑点图）。它可由相应的电子云角度分布图和径向分布图用投影的方法得到。这种图也称作电子云的“实在图象”或电子云总体分布图氢原子的几种电子云分布图如图2－37所示。

由图可见1s和电子云的分布图虽都是球形对称的，但2s电子云有两个密度集中的区域。对2pz电子来说，电子云分布图与其电子云角度分布图还有些相似，但3pz的电子云分布图和其角度分布图则相差甚远了。这是因为电子云分布图，除了受角度分布影响外，还要反映径向分布的特点，3pz电子云径向分布图有两个峰，故使其电子云分布图出现了两个密度集中的区域。
（4）电子云的等密度面和界面图
电子在空间的分布并没有明确的边界，在r值较大，离核很远的地方电子出现的几率并不为零。但实际上在离核几百皮米以外，电子出现的几率已很小
　
了。为了表示电子出现的主要区域分布，可将几率密度（|ψ|2值）相同的各点联成一个曲面，构成等密度面。等密度面图可清晰地表现几率密度变化的层次。下图是2p、3p电子云的等密度面图，图中每一条封闭曲线应理解为空间的一个封闭曲面，所标的数字为几率密度的相对大小。

若从等密度面图中选出某一等密度面，电子在此面内出现的几率很大（如95％），而在此面外出现的几率很小，则可用此等密度面来表示电子云的“形状”（或轮廓），叫做界面图。图2—39是几种电子云的界面图。
[思考题]对于2p电子，电子云界面图中有节面，其几率密度为零，那么电子如何从节面下边通过节面运动到节面上边去的呢？
波函数与电子云可以有多种函数图形来表示它们的分布特征，要注意各种图形的得出并应根据函数的内容来理解，不同图示的不同含义。上面介绍的只是一般常用的几种，要求重点掌握波函数的角度部分图示与电子云几率的径向分布图。

三、波函数和电子云的区别和联系
波函数和电子云都是重要的基础概念，它们既是不同的概念，但又是有密切的联系。在物理意义上，波函数是描写核外电子空间运动状态的数学函数式，而电子云则是电子在核外空间出现的几率密度分布的形象化描述。从它们的角度部分的图形看，形状相似但略有不同，电子云的角度分布图比相应波函数的角度部分图示要“瘦”点。而且波函数的角度部分图示有正负号，而电子云的都是正值。这些就是它们的不同点。可是它们都是描述核外电子空间运动状态的，而且|ψ|2的函数图象实际就是相应的电子云的图象。

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