$1 国家需要各种人才,不一定要念数学
从前我们的时代,念中学和大学的时候,能够挑的科目不是很多;现在比起从前有点大 不同,可挑的比较多. 如果是要赚大钱,你可以念工商管理,很多不同的科目,你可以赚 很多的钱. 其实对整个国家来讲. 需要的是能够管经济或其它的人才,赚钱没有什么不 好. 所以对于国家,整个社会来讲,没有讲一定要念数学. 其实要混口饭吃的学科很多,同 时也可能比较容易点,所以念数学没有是为了必要混口饭吃就好了. 就是讲你跳出这门课来看的时候,最好不要讲数学就是为了混口饭吃或为什么东西的. 所以假如你不想念 数学,就早点决定不要念数学,你真的要念数学的话,你就花功夫在这上面.
$2 决定念数学就不要三心二意
我的结论就是假如你决定要念数学,挑选了数学以后,你就花全部功夫在数学上面去, 希望对数学有兴趣,在数学里你可以得到很大的乐趣. 同时这样决定了, 对你以后的成 就也会有很大的影响. 我觉得最不好的就是你既然对数学有兴趣,却为了赚钱就跑到其它科目,其实你也不见得赚得到钱. 这是讲你的决心要下的很大,不要三心二意,"让我念念看,假如不行的话在转",很多人是这个样子,尤其是中国学生,进了大学在试试看嘛,这儿不行就转转,最后搞得两边都不如愿时,很多人是这个样子,为什么一定要这样? 这是决心的问题,一个很重要的决定,就是你进数学系时,你预计要做什么事情,对我自己来讲,我很早就下了决心我要念数学,所以从来没有想过要转其它的或是为了其它事情不念数学.
懂得越多,才知兴趣所在
到了你决定以后,你要懂得数学有很多不同门,就是分支,你在大学,对每一门分支的了解可能差得远. 就是讲你很难在大学里就决定对数学里那一门兴趣大一点. 其实兴趣和你懂得的学问是有关系的,因为你可能对某件东西有兴趣,不过你不晓得它时,你就不可能对他有兴趣. 譬如你去爬山,你爬过了小山才看得到大山,你还没有看到后面的山以前,就不可能对后面的山有兴趣,所以所谓兴趣和你了解多少是一种非线性(笑)的关连.
$4 兴趣和时空关联很大
所以这个兴趣和你当时的地理环境有关系,跟当时的时间也很有关系,就是和当时的时空关联很大. 譬如来讲,因为你刚好在台湾,你旁
$5 开放心胸,了解基本课程
我觉得一个年轻的学生,首先要 openmined, 就是讲你要晓得,你念得学科,有很多时候跟其它的学科关系很大,不要以为我念的这门学科跟其它的完全无关,其它的就不念了。例如很多学生,讲我对某些文学课有兴趣,凡跟这门文学没有关系的,我就不再想去念它.不然讲我对泛函分析有兴趣,我天下之间就只有泛函分析,跟泛函分析关系不大的,就算有一点关系我也不想去看,这是一个错误的关念. 其实泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理论有关,才开始产生的,可是慢慢的发展以后,就把前面引起泛函分析发展的学科忘掉了,这是很不幸的.
大学是一个通才教育,就算你单对代数有兴趣,除了代数要懂以外,对微积分也要懂,其实微积分对代数也有很大的影响. 所以基本上,大学所能 offer 的课程,我觉得你们年轻人都应该去学,不单要学,而且要学得很懂.
$6 基础打好,对以后研究帮助很大
很难想象有什么大学课程在研究院是不重要的,你在大学里念的每一门课,和以后研究都有很大的关系,我想关系是绝对有的,就算在研究院里一二年的课,我想对你以后的研究也是有很大的好处,所以应该尽量将基础打好.其实到你真的在做研究时,你会发现你需要很多工具,很不幸,很多东西,你在念大学,念研究院时没有好好地念好. 到了念博士那个时候,你常常要赶写论文什么的,你发现工具以不够,要花很多时间去念,工具不够又不想去念,你就很麻烦. 毕业拿个博士以后,你又有很多不同的其它压力,台湾比较少,至少在美国是很大的,你要尽量发表文章,一下子没有那么多时间将那门工具从心再念过. 所以念大学跟研究院那两年的时候; 要尽量将所有基本工具全部念懂,我想这是很有必要的.
$7 懂得两门以上分支,才能活跃作研究
譬如来讲,我很多朋友是代数几何做的很好,可是需要用到分析做工具时,他们就觉得很怕,反过来讲,分析念得很好,可是需要代数时就很怕. 不过我觉得一个好的数学家,至少要懂得两门以上的数学分支. 当题目来的时候不会恐惧,才能很活跃的就一个好研究.
$8 念到对文题有想法,会找文献
一门学科你要念到什么地步? 你自己要晓得. 就是讲你遇到一个 reserach 的问题的时候,你虽然不见得能够解决掉,至少你要晓得你可以坐下来对这个问题产生一个想法, 同时可以找这方面的文献,晓得那里去找,将他基本的 terminology 弄懂. 晓得怎么去攻进这个问题,开始解这个问题. 这个问题不一定能够解决,不过至少你觉得 comfortable ,晓得怎么去对付这个问题. 要做到这个地步,其实是要懂很多东西,普通要经过相当久的 training 才能够达到这个地步.
$9 要训练自己去发问
因为我们能力有限,一个人不可能每门都懂,不是我们不想,可是到了一个题目来的时候,我们往往会产生很多不同的问题,这个题目并不建得我门本行,我们希望能够找文献或至少找个适当的做研究的人,问他们碰到这个文题时要怎么对付.所以你们在大学或研究院要懂得怎么发问,这是个很重要的 training . 发问的训练,从小的方面来讲就是问老师或同学,从大的来讲,就是自己做一些比较起来还没有人问过的问题.一个好的数学家跟差的数学家,往往决定于你问的问题有没有意思,是不是重要的问题.你要做到后来成为一个专家的时,才晓得你问的问题有没有意思.不管对你们年轻人来讲,问一些你自己认为有意思的问题是一个很好的训练,你问的问题可能没有 well-known 或是人家已经解决了,其实也没有什么关系,问问题是一个很重要的训练,并不容易,不过你要尽量在这方面自己训练自己.我想你们大学念到一年班,二年班时,应当从跟同学讨论这边来自我训练,也要由问老师问题来训练自己.
$10 讨论问题对懂者或不懂者都有好处
我不晓得你们清华的同学间,彼此讨论的情况怎么样? 我觉得这很重要的. 无论是懂跟不懂的人来讲,或是不懂的问懂的人,这两方面都有很大的好处.当然你自己不懂的问题去问很懂的人,得到当然对你自己有好处,是 obvious . 反过来讲,你自己很懂跟不懂的人解释自己懂的东西,也是一个很好的 training . 因为往往我们认为很懂的东西,在向别人解释时,才发现自己其实不懂. 很多 obvious 的问题,可能是 known ,或是 unknown 的. 数学命题(一般来讲,你大学读到的是比较已知的命题)你向对方解释时,往往会发现本来是对的解释原来是错的. 所以无论是你自己觉得自己学问不大好的,或是自己学问做得很好的,我觉得互相讨论对自己都有好处. 高年级同学比较知道,你在看课外书或是参考书时,可以在前面的第一章时,觉得很容易,第二章也很容易,到第三章可能模糊,到第四章时好像很 formal ,并不懂什么意思.为什么会产生这种现像呢? 这很简单,因为第一章比较浅一点,你是真的看懂了,第二章其实你不懂,你就跳过去了. 这个证明没看懂,以为啊,大概这样就对了. 越看越多时,前面知识越累积向后面,错就越来越多,到了最后时,跟本就完全没办法控制. 假如你看一本书时,你对一个人讲,甚至对一个黑板讲也可以. 对其它同学讲,不单有意思,而且同学往往会问你些问题,让你晓得你什么地方是没有搞清楚的,经过整个 pro-cedure 以后,你会晓得什么地方你懂,什么地方你不懂. 所以我们往往鼓励学生一定要教书.
$11 做研究的人也要教书
我们做了研究的人也一样,一定要教书,不能够单单作研究就算了,不用教书. 教书的好处跟刚才讲的一样,你在讲自己的研究的时候,其次在讲一个命题时,你往往一路讲一路发觉自己有什么不足的地方. 你不讲自己的研究,你发觉你好像很模糊搞不清楚;当你向别人讲时,一点一滴讲出来,你就晓得自己在那方面不足,中间的连系,并不是你想象的那么完善. 常常因为我们发觉研究不够 perfect ,所以我们还要向前作研究.假如研究都是充足的话就可以告一段落了. 所以同学跟同学间,和同学跟老师间的讨论,我想都是很重要的.
$12 问问题是重要的训练
我们的科学(不一定是数学),并不是很 perfect 的科学,在每一个层以上我们都可以问一些很重要的问题. 基本上数学里所有的很简单的学问,你也可以问出很重要的问题,这些问题你并不一定能够解决,你可以跟老师讨论或是跟同学讨论.不过你在问问题时,你可以将自己整个思想,思考搞得清楚,是一个很重要的 train- ing, 我很鼓励你们尽量去问一些问题.
$13 中学时问问题的经验
我觉得得很得意的,就是我从很早的时候,究常问一些数学问题. 我在中学时开始问一些问题,自己看有没有办法解决.其中有一个问题,我考虑了一年--给了三角形的多少 data ,可以决定一个三角形呢?普通给定三个 data ,例如一线段两个角(ASA)或三个线段(SSS)可以决定一三角形,假如给的是三个分角线的长又如何呢? 三角形的 data 一般有边长,角度,分角线长,中垂线长等等,随便抽三个出来是否就能决定一个三角形? 你试试看,大部份的都能解,只有一,二个不能解. 我中学的时候研究过这个问题,考虑了一年多, turns out 这个问题并不简单. 我小时候坐火车,在火车上都在想,最后看了一本参考书才知道能不能解,不过整个过程对我的思考帮助很大.从前是二年级的时候开始念平面几何,我在三年班的时候开始想这个问题,还有很多比较 complicate 的问题比这个更复杂,所以在最简单最平凡的问题中你可以找到很多有意思的问题问自己.问题并不少,在自然界里或数学中多的不得了,问题是自己去找或如何去找. 这个要自己训练,方法很多,要自己努力,同时要跟别人多来往. 训练要花很多工夫,就是问,从早到晚你究竟花了多少功夫在那里? 你要动脑筋,不是随便讲两句就行了.
$14 做学问用功很重要
我从前有一个 Ph.D. 的学生,资质不错,想法也不错,我跟他说你一天,最少要花六个钟点在数学上面想论文,他说不行,后来他也没有再做下去了. 我不晓得你们能不能坐六个小时想数学,或看数学? 做学问跟做数学, concentraTIon 很重要,假如你觉得不能concentraTIon 的话,你干脆不要念数学算了.从前我大学毕业后,我一天最少有十个多钟头在想数学,你并不一定要这样子,不过你至少要花一定功夫的 concentraTIon 才能做一个好的数学家. 你愿意花很多功夫以后我想你一定会有收获.当然,一个好数学家,除了用功之外,也要有一些运气在里面,聪明很有影响. 你们能考上清华,聪明应该不会差太远,不过,我想关系不大,真的要靠的话,我想还是靠你的concentraTIon.
$15 现在环境比以前好,靠自己都可做好学问
从前,我们在香港长大,很想看参考书,但又贵又不容易找到. 你们现在在清华,我想,你们要找什么都找的到,要找些比较好的研究员来跟你们讲东西,现在台湾容易的多了,所以我想是在你们能不能够做,最好不要找借口.在国外很多大的学校,学生很多,不大容易找到的老师,研究的机会可能也比这边少得多,我 undergraduate 的经验就是这样,主要是你肯用功.做学问是靠自己;做研究也靠自己,一般来讲你到一个学校有刚好跟你做同一行的很少很少,普通顶多二,三个而已. 基本上是靠自己. 在台湾参考书都有了,不一定要靠别人,要有发动自己的能力,自己肯问问题,单靠自己应该不会差太远的.
$16 培养兴趣越做越有意思
所以你开始做决定后你要 enjoy 做数学,好比下棋,假若对下祺没有兴趣,被逼去下棋就很痛苦,可是你对下棋有兴趣的话,你越下越有意思,下到困难的地方更有意思做数学也是一样,碰到困难的问题更有意思,所以兴趣一定要 establish. 兴趣是完全要培养的. 如果你问一个小学生: "你对微积分有没有兴趣?" 你当然可以讲他对微积分没有兴趣,因为他跟本不懂微积分. 同样的意思,如果我问你对微分几何有多大的兴趣,在你还没有开始做之前,你当然不晓得,因为你跟本不懂微分几何这其实是很空洞的问题,不能讲我现在有兴趣,或我现在没兴趣. 不过你可以讲 roughly 你对它有兴趣,到你真的做进去以后,你才发现你对它有很大的兴趣,有很大的意思.你们问一些问题好了.
问一(王南杰): 请问丘桐
答: 我从前在香港时,觉得泛函分析很有意思,我很想念泛函分析,你讲我为什么对几何有兴趣,因为刚好我去 Berkley 以后,很多人在谈几何的问题,我自己也在看一些几何的问题,就这样做进去了. 其实我的兴趣在很多方面,不能讲我的兴趣就在几何. 我觉得数学不应当将它们分界得很明显,我也做很多其他方面的,这是第一点.弄懂第一个问题的回答后,也很容易回答你第二个问题. 因为整个数学的走向不应当有很大的分界线,你现在念大四,既然对代数,拓朴也有很大的兴趣,你就应该花很大的功夫去看,将这方面的基础全部打好. 你要 openmined ,根本不要讲你对那几门有兴趣,干脆每一门都尽量念好就差不多了.譬如你巷念微分几何,几何的东西是在一个流形,在一个拓朴流形才能做的,你非要将拓朴搞清楚,才能做微分几何,对不对?假如你要念分析,其实现在有很多人用拓朴的方法去做,用不动点原理,用比较不同的 toplogy 去做,这也要学. 不然就像我很多朋友一样,分析很好很好,可是一遇到所谓微分流形上的方程,或一些与这些有关的问题就通通不敢碰. 当然也不能讲一定不好,就是有一定的 limitation 在里面. 一个好的数学家,每一门都要做得很好. 你现在大四,念了几门,至少在大学的课程里面,每一门都应该念好. 你不要讲你有没有能力做到,事实上你一定有能力. 你现在不把大学课程念好,你以后还是要念好. 因为数学本来无分彼此,不要分得太厉害,所以我的建议是在大学时,不一定就讲你固定喜欢那一门,可是你可以讲我现在对某门课兴趣比较大,不过你随时可以 change我想这是比较好的观点.
$17 数学是按重要不重要来分,不是按这一门那一门来分
数学里面是很自然的科学,就是很 natural 的 phenomena, 所以你看了以后知道
什么东西比较重要,什么东西没什么重要. 有一些数学我不是不愿意做的,因为比较
artifical. 每一个人的观点不同,我的观点是我不愿意做这些事. 我是这样分的,
而不是你们讲的那门那门. 因为假如分了以后,到了这一门不能再向前走时,你该怎
么办呢? 这是很麻烦的.
$18 许多科目功成身退,不懂其他就麻烦
历史上有许多科目到了某一地方以后,不是讲他们不行了,而是他们 mature 到了一 个地步,被 absorb 到其它科目去了,这个 field 基本上,便不存在. 如 general toplogy, general toplogy 在历史上起了一定的重要性,可是在变成 foundation 以后,全被 absorb 到所有 field 去,我们现在根本不谈了. General toplogy 变成一个工具,不成为一个 field 了. 我们可以想象数学里面有很多这种课,就是讲到了某个地步以后,我们对整个理论 understood, 不再需要分这门课,假如你刚好念到这门课,而你又不愿意且不懂其它门课,你做这行就很麻烦了.
问二:(周郑州) 我听说有些数学家会对其它东西感兴趣,譬如对哲学有兴趣,不知道实际上怎么样?
答: 当然每一个人在课余的时候,都会有不同的兴趣,这是很重要的. 我认为凡是对思考有帮助的科目,你去看它总是有好处. 哲学对你的思考有帮助,有好处. 譬如爱因斯坦就对哲学有很大的兴趣,爱因斯坦一开始在做广义相对论的时候,讨论过它哲学上的问题,他也受了一定的影响.我们念数学,当然主要的精神是用再数学上面,我想念其他对你思考有帮助,很明显对你的学科本身也会有好处. 每一个人有不同的反应,你对文学可能有兴趣,我个人喜欢看历史,我觉得历史对我很有帮助.
问三: 可不可以具体一点说明,像历史对数学的帮助在那?
二流数学家做一流题目也算是一流数学家,历史经验帮你选取一流问题
答: 历史总归来讲,就是看从前的经验,对事物对不同东西的经验. 经验对你在做题目时是好处的.对一个题目取舍的问题,就是一开始讲的,这是一个表面上很简单的问题,其实有很大的学问. 一个第一流的数学家,假如他选取的问题都是第二流的,他顶多也只是能做第二流的数学家. 一个第二流的数学家,假如他选取的题目都是第一流的,他不一定做得到这个题目,可是他做到这个题目的二分之一,他以算是第一流的数学家,因为他对整个数学的发展有一定的贡献.什么叫第二流的学问? 就是讲琐碎的问题,我们基本上对这些问题都有一定的insight有很多人不太愿意做,或是有其它的原因不大愿意去做. 你做第二流的问题,用了很大功夫去做,你做通了,对整个数学的进展没有很大的帮助. 对题目的取舍,往往是 nonscientific 的,跟你的经验有关. 譬如哲学的问题或是历史的问题,你可以晓得,经验对你有帮助,念其他书有时对你也有帮助. 像文学好了,你看某些小说,或是看一本好的小说,我是讲很 standard 的文学小说,或者红楼梦或者三国演义,我不是讲武侠小说不行(笑),你就晓得取舍的问题有很大的不同.问四:(林德鸿) 过去数学家发展有很多理论,后来物理学家发现有许多物理理论的结构跟数学的结构一样. 最近十年超弦的发现,是因物理学家认为应该用到更复杂的数学来研究高能物理,所以他们把代数几何或更抽象的数学引进来,你觉得这样走的路会不会是错的?
杨振宁说过这种从抽象数学出发的路对的机会不大,不晓得你的看法如何?
答: 这个问题是看你怎么讲法. 爱因斯坦一开始做广义相对的时候,是没有物理的支持,他 是从哲学或者科学哲学的方面来讲,晓得他会要什么东西,同时有数学的工具帮忙,做成了广义相对论. 刚好过了没有多久,就有证明,某种程度的证明,广义相对论是对的.可是最大的问题是超弦不像爱因斯坦那样子,积极找出他需要的哲学的 background, philoso[hically 他需要什么东西, 超弦理论是刚好它没有一个 strong philosophic background. On the other hand, 他知道有某些东西在里面,就是讲有某种程度的对,不过还没有找到数学的 background 在里面,所以现在正在找,最大的问题并不是数学的问题,而是物理上的 philosophic background 在什么地方. 现在差不多好像在钓鱼,你看到鱼竿在那里动,可是看不到鱼在那里,也不知道是不是真的是一条鱼(笑).不过问题是我们从种种迹象来看,因为它在数学上面是 remarkably consistent,至少做为一个数学家,我认为在某种程度上超弦应当是描述一个自然界的现象,否则不应当会有这样一个 consistent 的数学理论在里面. 基本上很多人都是这样的看法,就是说我们要找它的 phylosophic background 在那里. 现在还没有找到,基本上的原因是这样的,超弦 suppose 是 nonperturbative 的理论,可是现在所有的理论都是 pertur-bative 出来的,问题是 perturbative 和 nonperturbative 的关系是相差很远的,所以我们不晓得究竟是什么原因.
问五: 不过我们用量子场论的方法,也就是用 perturbative 的方法用得非常好,突然一下跳到超弦这个 level ?
答: 我想问题不单是超弦,力分四个,一个是 strong interaction(强作用力),一个是gravity(重力),一个是 weak interaction(弱作用力),一个是 Maxwell equation(电磁力),在 strong interaction, perturbative 就已经不行了,已经不对了.
问六: Q.C.D. 还是一个 perturbative theory?
答: 不过, Q.C.D. 里面很多用 linear perturbative 做出来的结果跟实验已经不符合了. 所以我想在 Q.C.D. 就已经开始出现分歧,所以并没有十分证据显示超弦理论不对,因为 string theory 假设是 nongravity,所以我认为并不能成为超弦理论的致命工具.
问七: 不过苏联有一个很好的物理学家,认为 graviation 甚至不是一个基本力,他觉得重力不该 quantize, 如果从这里出发的话,那整个超弦理论就错了,超弦理论是为了要把重力 quantize.
$19 相信宇宙法则简单,故希望统一四种力
答:(笑) 这个问题是这样子,我记得陈省身常常跟我讲,四个力在那边很好嘛,为什么要unify 它 ? 就是刚才讲的,我们相信什么东西,假如你相信这个宇宙是从一个很简单的 ground build up ,那为什么有四种不同的力,我们没有办法解释它,那就一定要 unify 它. 就好像数学上面,平面几何有许多不同的公理,不同的理论,可是为什么我们很高兴找到几个公理,全部将它解释掉. 问题是同样意思,这是一个信念,我们相信有这个 simplicity,我们要找几个公理可以假设,或是几个简单的 rule 可以解释不同的现象,越简单越好. 你们相信的话,这个问题就没有什么好讲的.
问八: 那依照你的看法,超弦这个东西跟自然界过程还是有某程度的关连?
$20 超弦可能不能解释原来想要解释的东西,而是解释另种个现象
答: 就是刚才讲的,因为它在数学上得到不同的 consistency, 因为不是一个 field, 而是好几个不同的 field 都很 consistent, 基本上它不能解释它本来要解释的东西,它应当解释另一种物理现象.像从前做规范场 Yang-Mills 的时候,或是从前 Hermann Weyl 作 gauge theory 的 时候,往往一开始解释的物理现象不是要解释的,最后得到的是一个对的理论,不过这个理论解释不同的物理现象.
问九:(林吉田) 对于大学部高年级同学,若是对微分几何有兴趣,是否有那些书较适合读?
答: 我不晓得你们这边念微分几何 undergraduate 念什么书?(答: 通常是 Do Carmo) Do Carmo 念懂了也很不错了,算是一个 background.微几的书其实也不少,看你自己念还是跟别人念. 自己念的话, Spivak 的那本书写的很 detail, 好像还不错吧! Spivak 的好处就是讲它的 notation 弄得很清楚,让你知道 notation 是什么意思,写得很清楚.你要跟一个 seminar 念的话就大不同, Spivak 不是专家,就是不算懂微分几何,他的书本身没有给你 feeling, 做微分几何的 feeling. 你要为念微几不要单为念微几而念微几, Spivak 的书你念完后,将基本的 notation 搞懂,应念其他比较好的书. Milnor 写几本书写得很好,我觉得,其实我从前念微分几何就是从 Milnor 那本 Morse Theory 开始念的,写的很简单很 condensed, 几个 chapter 我就看得很多.
问十:(周郑州) 大学里面,除了数学以外有很多其他的科系,我们会想去碰文学或其他的东西. 做为一个数学家,不晓得对这些身外的世界有什么看法?
$21 先将本行搞通,再去做别的
答: 刚刚一开始讲过,第一件事,你一定要决定自己想做什么. 无论做什么学问,不只数学你一定要有一段时间 concentrate 得很厉害,一定要将某门学问搞得很懂,搞到一个可以自认是 expert 的地步. 你搞得很专以后,其间可能还会牵涉到其它学问,不过,你主要的 concentration 那是在那个地方. 譬如来讲,我一天花十多个小时念数学,当然有其它几个钟头是跟其他人谈谈其他东西,有时候系里的课也听听,有时候物理的课也听听,不过我有一个主要的 concentration 在那个地方. 我不反对你们去看历史,去看哲学,文学,不过,你要晓得你的主题在什么地方,就是刚才讲的,你认为什么东西最重要.
$22 又红又专,两头落空
一个人不可能又红又专(笑),你刚开始的时候,假如你认为你可以同时又搞文学又搞搞数学,我想你两头都搞不好,这我想是不大可能同时搞好的. 这种能同时搞两个完全不同学问能搞得好的所谓天才,我还没见过.有一些人讲你要对社会关心,你对社会关心对你做数学并没有矛盾,你在做数学的同时花了时间去关心社会我不反对,我也不反对你花全部精神作 social 的问题,不过你在做这个决定的时候,你要晓得你的数学会做不好,因为你事实上没有这么大的天才,能够同时专心在两个不同的问题上. 我从前念研究院时,正是钓鱼台运动开始的时候,
有些人书念得很好,就开始做钓鱼台运动,搞一搞慢慢数学就不行了,并不是他本身不行,而是他花的时间不在那上面,就很难再做下去,这是很自然的过程,没有什么好讲.不过问题有层次的分别. 历史上我还没见过同时搞两门学问同时搞得真正通的,不大可能的. 可是这并不排除你将数学搞通以后,你再去搞文学,或者搞完文学再来搞数学,当然搞完文学再搞数学要比较困难一点(笑). 很多数学家d琴d得很好,唱歌唱得很好,什么东西都有,有几个d琴d的第一流,不过,很明显他们晓得什么是主要的什么是次要的. 做偏微分方程做得很出名的 Morrey,d琴d的第一流,在 Banach space 上做 operator algebra 做的很出名的 Enflo, Enflo 跟我同事过,年纪跟我差不多,他d钢琴在瑞典是第一名或是第二名,不过并没有矛盾,他是在做完数学再去d的,就是说你有个先后.
问十一: 老师刚刚说做学问主要的是 concentration . 年轻人感情的问题常会造成困扰,老师当年求学是不是也有这种困扰? 如何处理这种事情? 能不能给个建议?
答: 不应当有矛盾的(笑). 跟刚才一样,你做学问跟其它东西,感情这个东西可以分得很干净的. 你应当可以分得很干净,我看不出有什么特别道理有很大的矛盾.出名的数学家如 Euler,他有十多个儿子,家事很忙. 从前做数学跟现在不同,比现在辛苦,你还要去支持整个家庭,有一大堆小孩要 take care,你数学还要做得好. 你去图书馆看 Euler 写的文章,至少几十本,就是 collected 几十本,你单抄书卡就要抄很久才抄得完. 这样子,可见并不一定有矛盾. 你不可能整天在想女孩吧?(笑)
问十二: 爱因斯坦说过一句话:"专家不过是训练有素的狗",不晓得你对这句话的看法?
答: 首先我不相信爱因斯坦说过这句话.(笑) 其次什么叫做专家是个很难讲的问题. 假如单是能 repeat 人家能够做的,叫做专家的话,你可以说你的话是对的. 你可以做一个professional student, 每次考试都考得最好,这是训练有素的,你叫他做狗也好,叫什么也好. 专家不专家实在很难定义,有时候你看小孩子玩 computer game,我觉得他们比我懂,他也算是专家.
$22 机器不如人,乃因无法决定定理好坏
不要讲一条狗,一条狗其实比 machine 聪明. 现在很多人在做 computer, 在做 application, 训练 computer 想题目或者是做定理. 现在还差的很远,最简单的问题 就是 "taste" 的问题没有办法解决,就是一开始我讲的选题目的问题. 你要决定一条定理好或是不好,这个问题 machine 没有办法决定的,狗也没有办法决定. 假如你所谓的专家是这样子的专家,他当然没有办法决定. 我觉得怎么决定你做的题目有没有意思,是第一流的还是第二流的,这是一个很严重的问题. 你当然可以讲所谓第一流,第二流是一个封建形式,随便你讲. 不过微积分跟加减乘除既然有区别,研究当然也有好的差的. 假如你连这点都没办法分开,我们就不能讲 high level reserach.
问十三: 我们大一要念计算机概论,有人说对计算机懂一些对我们将来学数学会蛮有用的,又有人说没有用. 请就你的了解;说明计算机跟数学有多大的关系?
答: 就是刚才讲的,其实你学到一门 nontrivial 的学问,对你的学问总是有好处,计算机基本上也是一样.尤其是我们做数学,总是不懂我们要什么东西,不晓得应当什么是对的,什么应当是不对的,做研究的趣味就在这理. 假如我们自己晓的什么是对什么是错的话,当然还是可以再去证明,不过最有意思还是没有决定什么是对什么是不对的时候,这时我们往往要做实验.我们数学上的实验很多是用 computer 做,现在因为 computer 比从前 sophisti-cated 多了,所以对纯数学本身有很大的好处. 跟刚刚找题目的意思一样, statist- cally 我们找找看有没有办法晓得有一定的规律出来,然后从那边再找我们要求的定理是什么东西. 就是讲,你除了单在脑子里猜外,还可以用 computer 帮你的忙. 譬如研究 nonlinear 常微分方程和 nonlinear 篇微分方程,你很难 predict 它的大范围(大域)的 behavior 是怎么样子. 假如你 computer 弄的很好,你可以用 com-puter 算算看它怎么走法,对你有很大帮助.我个人其实不懂怎么做数学实验,我是找人家帮忙,所以你能够大学里面就学懂怎么做这个程序,做一个好的数学实验,本身是一个很重要的 contribution.
问十四: (周郑州) 在十六,十七世纪的数学家,好像比较涉及其他的领域,比如物理天文方面,现在的数学家好像比较专注于数学,似乎不大一样,对不对?
$23 现在数学和理论物理的关系与十六世纪差不多
答: 其实没有不一样. 问题是现在的天文,物理比从前的难,没有办法不难,我们 observe 的 data 多得多,就实验物理来讲,我们做数学的很难去接触,并不是我们不想,是因为data 实在太多了,很难处理. 我觉得我们现在跟理论物理的关系和十六,七八世纪也差不多,不过那时学问分的没有这么细,所以看起来好像比较密切一点. 其实我想再过一百年重新再看 20 世纪的数学跟物理的关系,我想不见得差的很远.
$24 后世视从前,只见重要者,方觉数学与物理关系密切
首先你要晓得因为我们生在这个时代,很多东西看起来比较乱; 其实过了一百年后, 我们现在做的学问大部份都被忘掉了,剩下来几个重要的,所以那时候看可能比较清楚一点. 我想你看十六,十七世纪的学问,很多东西根本就不见了,所以你看不出来,就是当时很多做的全部与数学无关的你也不晓得,单做数学的你也看不出来,你看到几个主要的人物, 看到 Newton 啦,看到 Leibnitz,没有多少人物可以额数得出来,你单看到几个人的工作所以看起来好像很密切的样子. 所以再过一百年以后,你看这个世界的工作,也是只看到几个人而已. 图书馆里面,一天可以找到很多发表的文章,一千多篇都有,大部份文章都不见了,所以你可以想象得到.
问十五: 那些不见的东西,有没有他的实质?
答: 问题是这样子的,好像打仗一样,几十万人去打仗,结果几十万人你都不记得他们的名字,只记得几个将军,或者几个国家. 你讲他们不重要,他们当然是最重要的,基本是一样的意思.
问十六: 老师您会不会觉得我们现在念的东西相对以前要困难很多? 譬如说平面几何, 以前是第一流的数学家在做的,现在我们拿来当基本工具.
$25 学问刚开始时觉得困难,时间一久,了解清楚就容易
答: 跟刚才讲的意思是一样的,很多东西当时是困难,过了五十年以后,你再看这些东西是 trivial. 你想想看量子力学在几十年前除了几个出名的物理学家以外,可能对所有的物理学家是很难的问题,现在每一个人都在用,同时用的时候 assume take the granted 根本没有问题. 这是什么原因? 我们开始研究的时候,整个 struggle, 有不同的理论在里面,不同的里论当然有错的或不完美的,最你要丢掉它,你丢掉他以后,就很干净很容易看. 这样我们一路做,一路将整个学问了解得清楚很多,到了解以后,这个学问变得 trivial , absorb 到其他不同的 concept 里面,就不见了.我举个例子来讲,当年 Gauss 算很多微分几何的东西的时候,都觉得很 myste- rious,对当时而言, Gauss 出名的定理就是说 curvature 是 instrinsic invariant.
我记得我大学的时候,写得很复杂的型式,看起来难得不得了,可是大概在你懂微分几何以后,你就觉得是很 trivial 的 consequence. 就是很多计算或很多重要的东西,时代远了以后,慢慢将它融会,变做一个数学里面的观念,不再是工具,这个观念你接受以后,你根本不会觉得困难. 所以我并不觉得我们现在的科学会比以前难得多,而是我们刚刚好在这个时候发展科学,很多观念还没弄清楚,才觉得困难.
问十七: 可是整体上知识的累积还是越来越多?
答: 我想 so far 我们脑袋可以容许这些,并不见得有特别困难. 因为知识不断的进来,我们不断的消化它. 一个好的定理不 trivial, actually, 一个定理刚证明时,在当时难得不得了,几百页的证明,你当然晓得 Picard 定理, Picard 证明这个定理的时候,是一百多两百页的证明,现在 Picard 定理,大 Picard 定理的证明可以一页多就证完了,这是什么原因? 我们说这个定理重要,或者 for some other reasons 怎么重要法,就是因为它重要,我们慢慢将它消化了,所以最后的定理是 trivial 的,基本上重要的定理,就算不是短期的,十年,二十年后,这个证明会 trivial, 因为普通我们将这些定理的证明分解,分解成很小部份,各小部份 absorb 到不同地方去,最后剩下的是一个trivial 的证明,历史上所有的 development 都是这样.数学上面,你讲平面几何好了,在埃及的时代,由于阿拉伯人一把火把埃及 Alexandria图书馆烧掉了,埃及当然是没有文献留下来. 不过我想信埃及做金字塔做了两千年,做很多不同的,他一定搜存了很多关于平面几何的定理或者 facts,很多 phenomena,当时没有 Euclidean axiom, 所有的现象很乱,乱得不得了,这边一条定理,那边一条定理你可能觉得很难很难. 可是这整个东西,等你定理整个了解以后,就变简单了,我想差不多是这个意思.
问十八:(林吉田) 通常一个数学问题,会衍生二,三个问题来,但是数学家增加的速率远比问题增加的速率小,会不会造成一大堆问题做不完?
答: 这个问题不大嘛, 譬如刚才讲的平面几何,到现在你要找平面几何难的问题还是很多, 你去看 Erdos 的 problem section, 很多是平面几何的问题还没有解决. 没解决并不表示我们对平面几何不懂,我们平面几何上基本上是懂的,可是有 open problems 在里面,并不表示不好,而是表示这个 field 还是很 active 的 field, 表示 reserach 还可以再做下去,这个 field 还有展望. 反过来说,一个 field 里面,没有 open problem, 表示这个 field 我们整个了解,没有东西让我们继续再做下去. 这个 field就是死掉的 field 了.
问十九: 如果你现在从头再当大一学生,整个生活可以按照自己理想安排,你会怎么安排整个大学一直到研究所的生活?
$26 从前大学环境不如现在,经济,图书,师资都差很多
答: 我刚开始第一句就讲,我从前当学生的过程和现在不一定一样,因为时代不同,我们那时候的香港和你们这个时代就很不同. 譬如来讲,你们比我们富有多了,我们那时, 简单一句话讲,根本没有钱. 你们现在找图书没有问题,我猜你们没有人 complain图书不够,现在专业的工具也是完备多了. 我们那时在香港要找一篇文章或一本书都很难,能够买的书主要是中文书,大陆出版的,要找一本英文书要台湾翻版的,运到香港去偷印,这样才想办法弄出来(笑),所以我们那时候要找书本身就是个很大的困难,找到有没有钱去买也是一个大的问题.
问十九: 在大学的时代,尤其像我们大一应看些什么课外书或杂志? 因为大一,很多东西
还没学,应该多看多学不同的东西还是多做练习? 譬如平面几何的练习或高中大学的练习?
$27 大一先念透微积分,再来念课外书
答: 不能笼统的这么讲,要看每一个人的程度. 你大一基本的东西还没懂的话,还能看什么课外书? 我不晓得你们大逼念什么课? 线性代数念不念?(答:大二才念.)主要是念微积分? 微积分念懂了没? 念不懂就不要跟人家讲什么东西了. 至少鳔将微积分念得很透,就是刚才讲过,你不要以为你要念代数,所以不念微积分,这不可能的事,微积分在代数里面很重要,所以微积分你非要弄得很懂不可,否则的话,根本没有什么好讲的. 课里面的书,你一定要念懂,习题要懂得做,这是第一点. 习题要做不是为了考试,而是test 一下你对书里面内容有多少了解,然后再去念课外书,看你自己的 taste . 你去念一般的, Hardy-Littlewood 很多文章和书其实跟微积分关系大,或者你去Fourier analysis, 你可以看分析怎么应用到 number theory. 其实参考书很多,你尽量去多看一下. 不过这跟每个人的兴趣有点关系啦! 或者代数的书,linear algebra
都可以.
问二十:(林吉田) 现在教科书,像微积分这类书,越写越厚,习题一大堆,对于这点,不知您的看法如何?
$28 微积分老书 Apostol 不错, Hardy 的 inequality 可参考,可学基本工具
答: 微积分至少有一千多本书,我不能够都看过(笑). 从前我们看从前的老书,老书其实很好的,我们大学的时代读 Appostol 的书,有两本,现在还蛮不错的. 我觉得在大学一年半,我从那两本书学了不少东西. 里面的习题前面一本比较容易做,深的一本较难做,我想都可以学学. 从前英国式的如 Courant 或 Hardy 的书都写的不错,他们是做分析的专家,所以写的书里面有一定的深度. 其实我们从前中学看过 Hardy 写的一本inequality, 就是不等式这本书,这很好的. 这本书对你以后帮助很大,就是了解不等式是怎么 derive 的,多学这个 trick, 怎么将不等式怎么弄,我觉得很有意思. 一般认为很 fancy 的东西不一定就比较重要,好像泛函分析啦, Hilbert space 这些东西,并不见得最重要. 很多做微积分里面很基本的工具很重要,解题的方法,这很重要,有很多 concentration 的东西很多很要紧.
问二十一:(周郑州) 我们念数学或上数学课的时候,往往感觉证明很长很长,弄不懂为什么这么证,又是怎么想出来的 念完整个领域,也搞不懂它在干什么?
$29 背多分非真懂,试着推广定理可更了解
答: 这是一个很重要的问题,学生往往背了方法,记下来,定理就懂了,证明就完了,一为你基本上将定理背懂了,当然你因此考试可以考试可以考得很高分. 不过,你要将一个定理想想,最重要的你要了解,为什么它要这样子做,究竟为什么要证明这个定理,这个定理有什么意思,这是第一件事. 然后你想想假设你不懂这个这个证明以前,你怎么去做这个证明,就是怎么样 approach 整个问题,这是很要紧的. 为了要了解这个定理,你应该想办法,将整个定理看看有没有办法 generalize 它,推广这个定理,最广泛的情形是怎么样子? 这个办法是个 simple exercise, 我并不是讲你为了推广定理而推广,这是一个学习的方法,从这个推广的过程你会慢慢了解这个定理的证明. 你可以随便找个定理给我,我可以跟你们讲大概怎么样去推广它,试试看.
问: 像隐函数定理?
$30 隐函数定理是用 iteration 法找方程的解 y,你可以上电脑试试,会更了解
答: 你当然没有学过 Hilbert space, instead 你试试在二维空间是怎么样子. 你看隐函数是什么意思,你干脆试试看你有没有办法写下隐函数出来. 隐函数定理你晓得是什么东西? 就是找个方程式,如 two-variable 的,你将一个方程写下来,试试看找个 y,想想看怎么去找 y,为什么这样做法,你就晓得,隐函数定理是怎么证的,回家试试看吧! 隐函数定理是用 iteraction 的方法证的,整个隐函数定理的 procedure 是如此,你可以试一个 explicit 写下来的方程,在很具体的情况下,你试试看怎么去证明它,你就可以晓得整个思路的过程是怎么样的. 如果有 computer, 你可以试试看这整个 iter-ation 过程里面,他找的隐函数或他找的解,用 computer 是怎么走出的. 你 run 它几次以后,你就可以比较晓得你么走,你可以发现它很慢,你可以 improve,你可以从想办法 improve, 晓得整个思路是什么样子. 并不是讲这个东西很多人想过,不过从企图去 improve 中,你对这个问题会了解很多.
$31 隐函数定理堆广到 Hilbert space, 就可以解微分方程
隐函数定理 generalize 到 Hilbert 空间上面去以后,就成为一个很重要的偏微分方程的方法,你可以试试看隐函数定理在 Hilbert 空间是怎么做的,这个 generalize很重要,当然你还没有学过 Hilbert space 比较麻烦,不过你可以试试看,你因此可以将 Hilbert space 学好,这个无限维空间是怎么搞的,然后你 apply 在 Hilert 空间上,你看看这可以用来解微分方程.隐函数定理是 fixed point theorem 的应用,你当然晓得,你看整个 fixed point theorem 怎么用, iterate 就是 contraction mapping,那边可以有很多不同的做法.有很多人一辈子在做隐函数定理的 application,做一辈子 reserach 用隐函数定理.所以随便一个数学问题,你可以找到很多不同的讨论的地方. 最简单的问题你都可以找到很多不同的有意思的地方,所以你这样子才会将数学看得比较活一点.
问: 请问丘教授在大学时代,对数学就是这样的尝试吗?
答: 为什么不可以呢? 反正有时间嘛(笑). 你大学的时候其实最舒服,你做不到也没有关系,做得到最好,就有兴趣. 譬如来讲,你玩玩 computer 看看,你觉得好玩,就玩下去,不好就找另外一个问题再做,没有谁讲你今天做不出来就不行. 所以我想,这跟游戏差不多,其实跟念文学也差不多,主要是看你有没有兴趣的问题,你觉得有兴趣就继续玩下去,没有就算了.系学会会长: 因为时间关系,我们留最后两个问题.
问二十二: 老师以前读书的时候,有没有碰到读书的压力?
$32 譬如微积分考算式,怕算错,总有压力,整个懂了以后压力就不大
答: 这个问题看你说的压力是怎么样子(笑). 譬如来讲,你考试总是希望拿到高分,尤其考微积分考算式,看你算的准不准,你怕算错了,这种压力当然有. 不过如果你将整个微积分看懂了以后,这压力就不大了. 就是说你已经懂了,你给个东西要我来微分,积分,我基本上会做,不过就是 detail. 譬如你要积分一个东西,积分出来刚好是它的答案,你当然会有这种压力. 同时积分有不同的 trick, 有不同的方法,你当然希望多学一个 trick, 怕考试你刚好不懂这个 trick,这种压力总是有的.on the other hand ,你对整门学问基本上懂了,在一方面你会比人家觉的没有压力. 中学,大学都会有这种压力,有压力好过没有压力,假如你觉得很没压力,有时候,你根本觉得没有意思.
$33 人有惰性,有压力反而比较好
无可否认,一个人总有个惰性在里面,就是讲反正无所事事也好,不写文章也没什么关系,你就慢慢吞吞的,可是做学问没有这么简单,你要全盘了解,有一定的压力在,其实对你很好.你在学生的时候把考试的压力看得很重要,其实你考试的压力比你以后要写篇好的文章的压力轻多了.考试的压力,就是你们前几天刚好在考试,你觉得很辛苦,有多少天?你顶多花十几天在里面,可是你毕业以后,你要做个好文章,你怎么晓得你有好的 idea?你好像觉得很渺茫,on the other hand, 经验讲只要你用功的话,你总有一些好的idea, once for a while,你可以试十次,十次不中,第十一次中了就行. 这跟下棋不同,下棋下错了举手无回,不能重新改变做研究你改变十次都没有关系,错了就继续第二个方法. 所以问题就是刚才讲的,你错了第十次,假如你门有压力的话,就算了,不做了,有点压力,就再试第十一次,你就中了,这没有什么不好,所以我觉得压力对你是个好事,不是个不好的事.
$34 出名的科学家,那有只潇洒没压力的? 那是唬你的
照我晓得的,基本上所有好的,出名的数学家或是科学家,都有压力在里面,有些骗你, 跟你吹他完全没有压力,很潇洒的样子,是做出来的. 我觉得近代科学家里面,最出名最潇洒的是 Feynman, Feynman 讲话轻而易举的样子. Feynman 的 lecture 是出名的lecture, 可是每一个人都晓得 Feynman 花了很多工夫在准备 lecture. 他最后的演讲很潇洒的样子,举手投足之间,什么东西都讲得很清楚,其实他花了很多工夫去想这个 lecture. Milnor 写书也是写得很好,可是 Milnor 也是花了很多工夫去想.
$35 不费吹灰之力? 事前要花多少工夫!
世界上是没有一个东西是不花工夫就可以得到很好的结果,他可能刚好想了很久以后,突然有段时间没有想,重新再想想出来. 他那个时候想出来,好像不花吹灰之力,其实花了很多工夫. 爱因斯坦是出名的物理学家,我在 Princeton 的时候,爱因斯坦所有的工作都在那边,爱因斯坦做广义相对论, quantumn theory 花了很多工夫,天天都在想这个问题.压力可以说是同行间为了竞争做到同样的问题,就有很大的压力. 这压力你讲是其它人给的也好,你讲不是也可以. 因为并没有特别道理一定要将那个东西解出来,所以跟你的兴趣也有点关系,好胜心也有点关系. 反正有不同的因素在里面. 不过照我晓得科学家总是有一定的压力在里面. 很多人讲:"我这一个大天才,我今天要想出来就想出来" 没有这种事,很多人做成这样子给你看,也不是第一流的数学家会跟你这么讲,第一流的工作是 try 了很多次才出来的.
问二十二:(王南杰) 请问丘老师,我还有两个问题!(全场笑). 好几年前,我们在台湾,常常听到美国有一些很聪明的华人学生,得到 Westinghouse 科学奖,可是,过了一阵子后,这些人好像都消失了. 那些聪明的华人都跑到那里去了? 以您在美国多年的经验,您看法如何? 是不是就像你刚才讲的,都跑去赚钱了? 还有,您在中国北京当过客座,可不可以请您讲一下,那边学生读书的态度和这边的学生有何不同? 据我所知,那边不管你从事什么行业,薪水都是一样的,所以他们很乐于做数学或比较基础科学方面的研究.
答: 像 Westinghouse 这个奖我觉得很好,因为 train 一个学生要多方面思考才做得出来,当然很多是家长帮忙什么的,我就不清楚了. 据我晓得拿 Westinghouse 奖以后出来的,大部份都是很能干的 reserach 科学的人才. 你问华裔拿了 Westinghouse 以后都怎么样? 因为拿 Westinghouse 的大部份都不念数学,所以我不能很明确的讲他没有前途或怎么样的. 不过很多出名的公司里面有很多出色的华裔工程师,有很多跟学术界里面关系并不是那么 close,所以不一定听过.
$36 台港大陆美国华人早熟的有些以后不行,基础也不扎实
不过,有些华裔在美国,或台湾,香港或中国大陆很早毕业或很早什么的,反而有很多以后不行的. 我想这跟 Westinghouse 有一点点不同,因为很早毕业其实没有什么了不起,什么东西都没有搞通,你早毕业反而对你有坏处,所以有很多出名一下子后就消失了,我倒可以讲,我也可以了解他们为什么不行. Westinghouse 因为念数学的不多,所以我不能跟你讲.
$37 大陆现在经济较好,念数学的反而少,台湾有兴趣来念的可能较多
这五,六年来,中国大陆念数学的也很少,原因就是因为现在在中国念工程念商学赚钱比较容易. 十多年前中国大陆要出国留学,要到美国留学的,基本上他们是要念理论科学,数学物理,所以那个时候要出国念数学物理的很多,他们也为了这个很用功,当然里面也有不少为了学问而念学问的,不过很多是为了出国而念的,我想. 最近几年因为中国大陆的经济比以前好多了,所以他们念数学的少多了,跟台湾有什么不同? 我觉得反而这几年台湾还比较好一点,我想因为台湾钱多了,没有什么特别道理一定要念数学,所以大部份念数学的可能是对数学兴趣大逼点才来念的,所以台湾以后培养好的念数学人才反而容易一点,希望如此. On the other hand, 中国是十亿人口,要找到念数学的人还是有的,好的人才还是有的,主要分别是这样.
问二十三: 我们在做作业解问题的时候,常常想了很久都不知道该怎么办,可是翻开解答一看,他的想法实在非常怪异,不晓得我们要如何去了解这种怪异的想法? 它在我们学习数学的过程中扮演什么样的角色? 对我们整个思想又有什么影响?
答: 我不懂你什么叫怪异?(笑). 一个数学题目的解决,普通有很多不同的,尤其你们还没 reserach , 普通总有好几种不同的解法. 你讲的怪异是花了很多工夫来解决,或是很 natural 的解法?
答: 只要以几个步骤就解决了,然后你会很惊讶.
$38 惊讶就难忘掉,对不对? 多学这些想法,是解决问题的的小工具
答: 其实这对你有个好处,你能够懂得惊讶就对你很好,你要看懂了解决的方法,你就对解决的方法很难忘掉,对不对? 假如你不惊讶你就背下来,一下子就忘掉了,这就根本对你没有好处.
每一个解决问题目的方法,假如跟 standard 书里面讲的不同的话,这是一个工具,可以讲是解决一个题目的方法的工具,小工具加起来以后,就是等于一个工程师他口袋里有很多不同的小工具. 等你做其它问题的时候,这个工具可以重新再去用,所以为什么学生应当去解题目就是这个缘故. 就是一方面你晓得一个数学的大方向,一方面你口袋里面要有很多工具.
$39 如此如此,这般这般,工具缺乏,到时候就盖不出房子
有很多人讲很多 philosophy, 很多理论,"我认为数学怎么样子,怎么样子" 结果真正到了一个情形要解一个问题,口袋里面没有一定的工具. 一个大房子盖的时候,你可以晓得基本上的工程是怎么盖的,可是你不能够就这样讲就算了,到了你真正要去盖的时候,就发觉这边要上螺丝,那边要上铁条,你不懂得上你就盖不起来,就是这个意思,所以做题目很要紧就是这个样子.基本上,如果你没有想之前就看那个解答,看了以后,这很 trivial 嘛! 这基本就是这一边乘一乘,那边除一除就行了. 可是,你先想那个题目,再去看解答,你才了解,这个解答并不是那么 trivial 的,你搞一搞就搞不懂,为什么他就搞得懂? 所以你一定要先想题目再看解答,一定要学这种工具,这种很奇异的要将它学下来,学下来以后,第二次再出现同样的问题,你就可以用.
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