Σ-Δ调制器基本结构、原理及非线性误差校正方法

1　概述

Σ-Δ调制是目前国际上的A/D转换器设计中很受欢迎的一种技术，与传统的Nyquist频率采样的A/D转换器工作原理有所不同，采用的是过采样和低位量化结合的方法。其中，过采样技术在模/数混合电路中的应用，能够避免传统A/D或D/A转换方法实现中遇到的诸多困难，尤其是在对低频信号要求高分辨率的应用领域，传统转换方法需要较高精度的模拟结构（模拟电阻、电容等），从而使整个A/D转换器的成本很高。Σ-ΔADC能够避免使用高精度模拟电路，将噪声推向高频，具有分辨率高，量化结构简单等优点。由于电磁环境日益恶化，对接收机的动态范围要求越来越高，跳频、扩频等宽带信号的应用又要求使用宽带测量设备，这些都对ADC的分辨率和速度提出了更高的要求。

调制器（Modulator）属于Σ-ΔADC电路中的模拟电路部分，它的结构选择和电路参数设计都极大地影响着整个ADC的信噪比（SNR）等性能指标。在Σ-Δ调制器中，使用了过采样、噪声成形等关键技术。这些技术还使它另外具有一系列固有的优点，如易于与数字信号处理系统单片集成，无须采样保持电路，对输入端抗混迭滤波器要求很低等。下面先讨论过采样与MASH噪声成形的主要单元分析，最后针对DAC失真误差，设计并仿真了一种数字误差校正技术。

2　基本原理与技术

2.1　Σ-ΔADC基本原理及调制器的组成

Σ-ΔADC由两部分组成：调制器和数字抽取滤波器。其中调制器的工作原理是采用远远大于Nyquist频率的时钟对输入模拟信号进行”过采样”，采样频率与Nyquist频率之比定义为过采样率M，是调制器的重要结构参数之一。由于采样频率很高，则无需传统的PCMADC中的保持电路。采样后的信号与前一时刻的采样信号相比较，对其差值做出低位量化，输出低位码流，并根据量化器的输出决定返回+Δ或-Δ反馈信号。调制器的基本结构如图1所示，主要由采样环节、积分器、量化器以及D/A反馈组成，其中fs表示采样时钟频率，K1，K2分别表示输入信号和反馈信号的增益系数。

图1　Σ-Δ调制器基本结构

习惯上，定义调制器中含有的积分器个数为调制器的阶数L，量化器的个数为级数。对调制器的线性模型做离散域的z变换分析，并将量化误差模型化为噪声信号，可以推导出输出信号Y对输入信号X与量化误差E的传递函数，在有效信号频率内，输入信号保持不变而噪声信号被差分衰减，即

Y（z）=z-LX（z）+（1-z-1）LE（z） （1）

通常，对调制器性能评测的重要参数之一是信噪比SNR，即信号功率与噪声功率之比

（2）

这里ps为有效信号的功率，对正弦信号来说，ps=

，A为幅度;pq是信号频带内总的量化噪声功率，由E（z）的传递函数在有效信号频带内积分得到

（3）

从上式可以看出，分别提高M或L都能带来SNR的提高。但当信号频率达到几十MHz以上的高频范围后，M的提高势必会受到现有工艺，以及功耗等制约。目前，更多的研究改善SNR的方法是针对L的提高。

从调制器内在稳定性考虑，针对高阶调制器（L≥3），又有两种结构上的取向，即单级single-loop结构和多级级联的MASH结构。

2.2　过采样及MASH（多级噪声成形）技术

本文中使用记号fN来表示Nyquist调制器工作时的采样率，而它与基带信号最高频率fB的关系工程上一般为fN≈2.2fB～2.5fB。所谓过采样，就是指采样速度fs远大于fN。这里称M=fs/fN为“过采样比”。在Σ-ΔADC的设计中，M远大于1，且取为2的整数次幂（如32、64等）。过采样带来的好处为压缩基带内量化噪声，降低对输入端模拟滤波器的要求等。

但是，光凭过采样来压缩基带内噪声是低效率的，提高4倍采样率才相当于提高1bit分辨率。为了更有效地衰减基带内量化噪声，应在过采样条件下进一步加入噪声成形（noise shaping）技术。最基本的一阶噪声成形器即所谓的一阶Σ-Δ调制器，其原理此处不再讨论。这里只指出，它可被转化为如图2所示的离散时间等效模型。

图2　一阶Σ-Δ调制器离散时间等效模型

图2中的积分器用I（z）=（1-z-1）-1等效描述，而1bit ADC被加性噪声源q（n）替代。嵌在反馈环路中的1bit DAC被一个单位时延z-1取代，以避免在离散时间模型中出现无时延反馈环。q（n）是与输入信号无关的白噪声，用它能够方便地描述Σ-Δ调制器在大量信号作用下的平均行为，分析可得其输入、输出关系式为

Y（z）=X（z）+（1-z-1）Q（z） （4）

由上式可知，在信号频谱X（z）未变的同时，白噪声Q（z）被（1-z-1）加权而成为“高通”形状。此现象正是所谓“噪声成形”。加权函数（1-e-j2πfT）的零点f=0使得基带内噪声被大大压缩;而在带外的高频端，噪声却略有上升。

在实际应用中，为更有效地压低量化噪声达到分辨率要求，还得考虑高阶噪声成形。一般地，将L个一阶Σ-Δ调制器组合起来，可以实现（1-z-1）L（L阶噪声成形）。

标准的MASH（MulTIstage Noise Shaping，多级噪声成形）结构如图3。它实际上是L个一阶Σ-Δ调制器的串联，其中前一级调制器内的1bit ADC的量化误差被送入下一级进行再量化，然后将各级的输出码流送入运算节点进行处理。最后输出了经（1-z-1）L成形处理后的低分辨率码流。显然，这样的前馈结构不会存在任何稳定方面的问题。

图3　MASH结构框图

MASH中的数字处理节点所做的工作是抵消各级的量化误差：

第一级：Y1（z）=X（z）+（1-z-1）Q1（z），将-Q1（z）送入第2级，有Y2（z）=-Q1（z）+（1-z-1）Q2（z），再将-Q2（z）送入第3级，有Y3（z）=-Q2（z）+（1-z-1）Q3（z），。.直至YL（z）=-QL-1（z）+（1-z-1）QL（z），而运算节点使得

Y（z）=Y1（z）+（1-z-1）Y2（z）+.。.+（1-z-1）L-1YL（z）=X（z）+（1-z-1）LQL（z） （5）

这样，就等效实现了（1-z-1）L噪声成形。除MASH外，还有许多新颖的采用计算机辅助设计的Σ-Δ噪声成形方案，用其可实现更高效的噪声成形。

3　一种DAC非线性误差校正方法

在MASHΣ-ΔADC中，与一位（1bit）量化相比，采用多位量化器具有增大信噪比（SNR），增加稳定性以及降低运算放大器规格等优点。然而，内部DAC的非线性导致性能瓶颈，通常要求其最少具有与整个ADC同样好的线性。现在，对于较大过采样比（OSR＞32），采用即时数字校准、失配整形可解决此问题。但在宽带ADC中，OSR较小（通常≤4），失配整形法就变得无效。本文描述了一种数字即时校准方法。不同于较早的技术，其对低过采样比状态有效。并且，此方法可以跟随漂移。

3.1　校正系统

以二阶Σ-Δ调制器（DS1）为例来说明给出的校正技术。如图4所示，内部DAC有两个输出：v1和vT，分别输入到循环滤波和校准ADC（DS2）。由校准ADC得到^eD，即所有输出电平的DAC误差eD的数字估计，并且其被存储在RAM中。在转换时，通过FIR滤波器NLF（z）过滤RAM的输出，从而校正内部DAC误差，并从DS1的数字输出d1中减去过滤输出结果。获得^eD的过程和系统的详细分析在以下内容中给出。

图4　带有误差校正的Σ-Δ调制器

在图4所示系统中，假设单独DAC输出为两个积分器提供反馈信号。系数b1、b2的不匹配对系统线性没有影响。值得注意的是，系统没有对内部ADC的非线性误差进行校正。这些误差被与量化噪声同样的噪声传输函数所抑制，其很少作为问题提出。当使用很低的OSR时，这样是不够的，就高线性而言，需要增加阶数或使用ADC元件失配整形。

3.2　校正方法

实际DAC输出电平误差的即时获得适应于DAC的结构。如果DAC可提供多重输入和输出，那么离线校准能够被传输到后台进程。如果那样，对于DAC的每个可能的输入，数字校准信号dT将提供阶梯波形。通过校准Σ-Δ转换器DS2，每个DAC输出电平vT被转换成数字形式d2，然后通过LPF低通滤波而消除DS2的量化误差。然后，减去dT从而补偿电平误差eD，这样，得到误差估计^eD并将其存储在RAM中，并且对每一输出d1将再次调用^eD并校正。在运行过程中，周期性地重复校准，以追踪DAC输出电平中产生的漂移。

在低过采样率（OSR）和低阶循环滤波器情况下，从DAC的输出v1到DS1的输出d1的传输函数不能由NLF（z）=-1正确地近似。为了得到精确的误差校准，如图4所示，RAM的输出需要被实际的NLF（z）（此处为-2z-1+z-2）过滤。

在一些DAC的实现中，使用了N个等价单位元件（电流源、电容、电阻等）。如果在DAC中执行N+1个元件，可使用上述算法，利用DS2逐个顺序地测量它们的误差。换句话说，输出信号d1与校准信号dT一样可被使用。利用n个单位元件通过调用d1值从而产生v1，剩余的N-n个单位元件被用来产生vT。如果DAC增益和偏移误差是可以被接受的，为了使所有单位元件误差总和可取零，那么vT中的误差是v1中误差的负数。因此，通过将vT中的模拟采样分类进入通道，使用其中一个通道专用于每个可能输入（d1）码和其补码，DS2可用来以数字形式产生单独DAC电平。由于为每一DAC电平复制存储元件（反馈电容），DS2的运算可容易地在通道中多重复用。

由于线性运算，校准ADC（DS2）自身必须要有高的线性。这需要在DS2中使用1位内部量化器。但是，由于DAC非线性信息保持，线性影响（增益和偏移误差）在DS2中是可以接受的。同样，实际DAC误差传输函数（从v1至d1）和其数字复制部分NLF（z）之间的匹配误差对整个转换器的线性仅有较小的影响。

3.3　仿真结果

数字校正ADC（如图4的DS2）的运行仿真条件如下述。假设5bit（322电平）内部ADC和DAC，在DAC中有0.1%线性梯度误差。这符合中等误差0.4%的要求。在所有电路中，所有运放和任意失配电容（有0.1%标准偏差）的有限直流增益设定为54dB。使用OSR=4。在DS1中加入峰值为0.45V的中频双音调输入信号u1，采用二阶单位Σ-ΔADC实现DS2。为了论证利用校准可得到的高线性，DS1被接入在220MASH（包含10bitADC作为其第二级）中。这里不考虑在MASH（多级噪声整形）各级中的失配，它同样可由数字方法校正。

采用理想DAC、非理想运放和电容，系统运行计算出的频谱如图5（a）所示。图5（b）给出了使用误差校准的非线性DAC得到的频谱。可以看出，产生了大的谐波，SFDR仅为52dB。当使用了本文提出的数字校正技术后，频谱结果如图5（c）所示，得到SFDR＞100dB。为了得到这样高的SFDR所需要的充分精确的eD估计，DS2对DAC的每一电平进行了218采样（如果DS2时钟控制在fs=5MHz，那么后台校准完整循环需要约4秒）。最后，图5（d）说明了使用NLF（z）=-1后的有害影响，即SFDR由101dB降至60dB。

图5　MASH的输出频谱（215采样，64倍FFT，fB=fs/8，OSR=4）

5　结论

本文介绍了Σ-Δ调制器的基本原理和技术，并针对采用多位内部量化器的MASH Σ-ΔADC提出了一种即时数字校正方法。对于低过采样比的模数转换器，采用通常的失配整形技术效果不佳，但本方法可有效应用于此。通过仿真证明，使用本文提出的即时数字校正法可得到极好的线性。

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