平衡状态下半导体材料中电子和空穴浓度与费米能级EF的关系如下式是如何推导得来的？

费米分布函数f，状态密度函数g，对于作为载流子的电子，求Ec至无穷区间内的积分，得到的结果就是n对于作为载流子的电子，求负无穷至无Ev内的积分，得到的结果就是pni^2为p*n，然后再代换一下就可以。

费米能级是绝对零度时电子的最高能级.

自由粒子的波函数是平面波,波动方程是f(r)=(1/V^0.5)*Exp(i k*r)

k是平面波波矢,电子能量是E=(hk)^2/2m (这个h是除以2PI后的那个普朗克常数,原来表示此量的符号太不好找了)

可以看出,电子对于取不同的k时,可以处在不同能量状态.

下面引入k空间,尽量理解.

一般用周期性边界条件,f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值

kx=(2PI/L)Nx

ky=(2PI/L)Ny

kz=(2PI/L)Nz

Nx Ny Nz是整数,因此把k看作空间矢量,在k空间中,k只能取一个个分立的点.你可以想象以kx ky kz3个方向建立坐标系,因为Nx Ny Nz是整数,kx ky kz只能取到一个个点.就比如Nx是整数,永远不会有kx=(2PI/L)*0.4处被取到.

每个点代表一种k的取值,前面有说过,每个k都对应电子的不同能量状态,E=(hk)^2/2m ,这些能量状态也因为k的分立取值而只能分立出现,就是能级.

把电子放在k空间的各个点上,代表电子处在那个k值的状态,也对应一个能量状态,即处在该能级上.

因为泡利不相容原理,每个态上只可以放2个电子,(自旋相反)不会有第3个跟他们在同一个状态(k空间的各个点)上.

现在有一个总共有N个电子的体系,各个电子都处于什么状态哪?粒子总是先占据能量小的能级,从kx=0ky=0kz=0开始(显然这时候能量最小,不过这个模型有点局限,你不必理了)kx=0ky=0kz=1.....kx=33 ky=34 kz=34.....反正越来越大,越来越往能量更大的高能级上添.最后第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级.

注意:

1 不在绝对零度的话,电子填充能级不是仅仅由泡利不相容原理决定,因此费米能级是绝对零度时,电子的最高能级.

2 通常宏观体系的电子数N很大,电子填充能级时,在k空间的占据态,也就是可以处在的那N/2的点,会形成一个球形,称为费米球.这很好想象,粒子总是先占据能量小的能级,离(0 0 0)越近的能级(哪个点)先占据,最后被占据的点肯定不会有"支出去"的,而是程球形.这个球面叫费米面,有时也说费米面上的能级是费米能级.我前面说"第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级"是为了理解方便,实际上第N个电子,不见得比N-1的能级高了,简单的看kx=0ky=0kz=1和kx=0ky=1kz=0和kx=1ky=0kz=0不是能量一样吗?当离(0 0 0)很远后,这种k不同但能量一样或近似一样的点会更多,形成一个近似的球面--费米面.一般就认为费米面上的能级就是最高能级--费米能级.

3 从费米分布函数角度解释也可以,费米分布函数给出了不在绝对0度的情况下各个能级被占据的几率,费米能级是本征态占据几率1/2的态对应能级在绝对0度的极限.你可以看黄昆先生的固体物理.

4 你问这个问题,应该是大学生了吧.对于f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值,可以自己计算一下.波动方程只是为了得出能级概念,并不需要注意,解法可以去看量子力学.

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