为什么金属与半导体接触时半导体的band要弯曲

半导体禁带宽度不变，导带向上弯曲，价带自然向上弯曲，既然是N型半导体，空穴就是少子，它的变化可以忽略。稳定之后的系统，费米能级是水平的，不是弯曲的。空间电荷区外应该具体一点。如果是半导体内部，费米能级是水平的，Efs没有弯曲，保持电中性。如果是金属一侧，Efm也是与Efs在一条水平线上，也没有弯曲。费米能级对x的变化率与nu的积等于电流密度。

从能量的角度：费米能级是化学势，定义为系统增加一个电子引起自由能的变化。热平衡时由于吉布斯函数取极值，那多元系的化学势必须相同，也就是说费米能级相同。

从电子填充的角度：由于电子能级填充满足费米狄拉克分布，那么大于0K情况下填充概率为0.5时的能量就是费米能级。这是半导体中常用考虑的角度。

接触时由于电子能量的差异，电子会从费米能级高的地方流向费米能级低的地方。那么，费米能级低的地方由于负电势-V的存在，整体能量上升U=(-e)(-V)=eV，直到费米能级平齐，此时接触电势差V等于功函数之差。

当接触时费米能级对齐，半导体的结区能带弯曲。能带弯曲同样可以有两种理解方式：

从能量的角度：

从电子填充的角度：假设电子从半导体跑向金属表面，半导体表面电荷减少导致费米能级会更接近于价带。也就是说导带和价带会往上弯曲。

从能量的角度：正电荷分布于半导体表面，建立一个从半导体体内到界面的电场，因此表面电势相对于体内更低，能带向上弯曲。

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