函数的定义是什么？

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数的由来

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

函数的定义

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。 自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且仅当自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一一值与其相对应。 如果X到Y的二元关系fÍX×Y，对于每个，都有唯一的，使得，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。

当时，称f为n元函数。

其特点：

前域和定义域重合；

单值性：→

在C程序设计中，将完成指定功能的C代码定义成函数，变成逻辑上一个相对独立的程序单位。函数定义需要指明函数返回值的类型、函数名、函数的形式参数（常简称形参）和函数体（包括说明和定义及语句序列）。函数定义的一般形式为　　存储类型说明符 数据类型说明符 函数名（形式参数表）　　形式参数说明序列　　{　　说明和定义部分　　执行语句序列　　}　　存储类型说明符或省缺，或为static。省缺表示一个全局函数，static表示一个静态函数，只供同一源程序文件中的函数使用。　　数据类型说明符用来指定函数返回值类型，可以是基本数据类型、某种指针类型、结构类型等。但不可以是数组类型。特别当函数不返回结果时，可用void明确指明函数不返回值。　　数据类型说明符也可省缺，省缺被默认为返回int型值。　　函数名是一个标识符。形式参数表是用远号分隔的若干形式参数，用不同的标识符指明各形式参数的名。形式参数说明序列用来说明各形式参数的数据类型，相同数据类型的形式参数可以一起说明。现在编写C程序的习惯是形式参数说明序列直接放在形式参数表中，即在形式参数说明表中顺序列出各形式参数的数据类型和形式参数的名称。如是这样，一般形式的第一行全部内容称为函数头，也称为函数模型。　　特别情况，函数可能不设形式参数，也就没有形式参数表和形式参数说明序列。但函数名后的一对圆括号是不可以没有的。　　一对花括号括住的部分称为函数体，函数体包括类型说明、变量定义和函数的执行语句序列。在函数体内可以有return语句终止函数的执行。如函数有返回值类型，则return语句中一定要有表达式，作为函数调用的返回值。

函数：对于两个非空数集A、B，对于集合A中的任意一个元素，按照某种对应法则，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，则这样的对应称为函数。

函数的意义：在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。简而言之，函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系，或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性，即同一输入总是对应同一输出（注意，反之未必成立）。从这种视角，可以将函数看作“机器”或者“黑盒”，它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数，将输出值称作函数的值。