函数图象变换的顺序

如果既有平移，又有放缩，顺序的不同会导致结果不同

例如，y=sin（x-π/3)→向左平移π/3得：y=sinx→图像横坐标变为原来1/2得：y=sin2x

y=sin（x-π/3)→图像横坐标变为原来1/2得：y=sin（2x-π/3)→向左平移π/3得：y=sin〔2（x+π/3）-π/3〕=sin（2x+π/3）

函数水平和竖直方向上的对称，伸缩和平移都是只相对x，y说的，不清楚概念的话，容易错，我教你个不容易错的办法，就是换，

比如，向左平移3个单位，将函数式中出现的x都换成x+3

向右平移2个单位，将函数式中出现的x都换成x-2

向上平移4个单位，将函数式中出现的y都换成y-4

向下平移5个单位，将函数式中出现的y都换成y+5

将函数式中出现的x都换成3x，则图像横坐标是原来的1/3倍

函数式中出现的y都换成1/2,则图像纵坐标是原来的2倍

正弦函数

sinθ=y/r

余弦函数

cosθ=x/r

正切函数

tanθ=y/x

余切函数

cotθ=x/y

正割函数

secθ=r/x

余割函数

cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数

versinθ

=1-cosθ

余矢函数

vercosθ

=1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0

以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

一次函数平移的实际意义

:只代表其在坐标系（或坐标平面）里的相对位置发生了变化，而对函数本身的性质和其代表的实际意义却没有任何影响。比如：y=kx+b，上移或下移表示整条直线沿着Y轴的方向向上或向下平移若干个单位

二次函数

　　左加右减

　　上加下减

设函数为

y=a(x-h)^2+k

即顶点式，

那么左加右减是加减在h上,指的是x上

上加下减是加减在k上，指的是y上

推广到一般：函数f（x）向左平移a单位，得到的函数g（x）=f（x+a）

函数f（x）向上平移a单位，得到的函数g（x）=f（x）+a

总之：

函数平移口诀：

左加右减

下加上减

说明：1左右是对X而言的，上下是对Y而言的。

函数平移一般分为三类问题：1由已知函数的解析式和其图象平移情况，求平移后得到一次函数平移的实际意义

:只代表其在坐标系（或坐标平面）里的相对位置发生了变化，而对函数本身的性质和其代表的实际意义却没有任何影响。比如：y=kx+b，上移或下移表示整条直线沿着Y轴的方向向上或向下平移若干个单位

二次函数

　　左加右减

　　上加下减

设函数为

y=a(x-h)^2+k

即顶点式，

那么左加右减是加减在h上,指的是x上

上加下减是加减在k上，指的是y上

推广到一般：函数f（x）向左平移a单位，得到的函数g（x）=f（x+a）

函数f（x）向上平移a单位，得到的函数g（x）=f（x）+a

总之：

函数平移口诀：

左加右减

下加上减

说明：1左右是对X而言的，上下是对Y而言的。

函数平移一般分为三类问题：1由已知函数的解析式和其图象平移情况，求平移后得到的函数解析式；2已知函数的解析式和图象平移后得到的函数解析式，判断函数图象的平移的情况；3已知平移情况和平移后的解析式求平移前的解析式。

第一步:用换元法，令t=2x，那么远函数就变成了sin(t)

第二步:做出sin(t)的函数图像[也就是某种意义上的sin(x)]他们只是子母不同，但意义是相同的，只不过这个图像和题目中的x不等价

第三步:根据t=2x的关系，来改变sin(t)的横坐标参数。简单的来说就是把关键点都缩小1/2，也就是说sin2x图像与sinx图像的区别就是压缩了1/2

:

sinx函数，即正弦函数，三角函数的一种。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

正弦型函数解析式：y=Asin(ωx+φ)+b

各常数值对函数图像的影响：

φ：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）

ω：决定周期（最小正周期T=2π/∣ω∣）

A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）

b：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

作图方法运用“五点法”作图

“五点作图法”即取当X分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值。

1、左、右平移变换：函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象经过左、右平移得到的，当a>0时，向左平移a个单位长度，当a<0时，向右平移a个单位长度。

2、上、下平移变换：函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象经过上、下平移得到的，当b>0时，向上平移b个单位长度，当b<0时，向下平移b个单位长度。

正弦函数

sinθ=y/r

余弦函数

cosθ=x/r

正切函数

tanθ=y/x

余切函数

cotθ=x/y

正割函数

secθ=r/x

余割函数

cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数

versinθ

=1-cosθ

余矢函数

vercosθ

=1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2(α)

cos^2(α)=1

tan^2(α)

1=sec^2(α)

cot^2(α)

1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α

β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ

sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α

β)=(tanα

tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1

tanα·tanβ)

·辅助角公式：

asinα

bcosα=(a^2

b^2)^(1/2)sin(α

t)，其中

sint=b/(a^2

b^2)^(1/2)

cost=a/(a^2

b^2)^(1/2)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα

cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=正负√((1

cosα)/2)

tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1

cosα))=sinα/(1

cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2

cos^2(α)=(1

cos(2α))/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1

cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1

tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1

tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α

β)

sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α

β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α

β)

cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α

β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα

sinβ=2sin[(α

β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α

β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα

cosβ=2cos[(α

β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α

β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα

sin(α

2π/n)

sin(α

2π2/n)

sin(α

2π3/n)

……

sin[α

2π(n-1)/n]=0

cosα

cos(α

2π/n)

cos(α

2π2/n)

cos(α

2π3/n)

……

cos[α

2π(n-1)/n]=0

以及

sin^2(α)

sin^2(α-2π/3)

sin^2(α

2π/3)=3/2

tanatanbtan(a

b)

tana

tanb-tan(a

b)=0