高数求解答！两个收敛函数相加减乘除得到的函数的收敛情况？QAQ

两函数加减乘除所得函数的收敛情况分类讨论如下：

相加/减：收敛，极限为原两函数极限之和/差；

相乘：收敛，极限为原两函数极限之积；

相除：分子极限为非零值，分母极限为零则发散（极限为无穷大）；

分子，分母极限都为零则可能发散也可能收敛，若分子是比分母高阶的无穷小则收敛于0，若分子与分母同阶则收敛于非零值，若分子比分母低阶则发散；分母极限为非零值，无论分子极限是多少，结果都收敛，极限为两函数之商。

绝对收敛：

一般的级数u1+u2++un+

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，

则称级数Σun绝对收敛

经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛

条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。

首先由数学归纳法得01

令f(xn)=x(n+1)-xn=1-e^(-xn)-xn

对于函数f(x)=1-e^(-x)-x

f'(x)=e^(-x)-1

当0故当0即x(n+1)即{xn}单调递减,又{xn}有下界0,故{xn}收敛

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）至un（x） 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）++un（x）+⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

收敛和极限的关系如下：

1、数列的收敛可以推导出来极限存在，而极限存在也可以推导出数列是收敛的，两者互为充要条件。

2、极限存在就是极限是某一个确定的值而非无穷大。

3、数列的收敛就是极限为某一个值。

函数极限与数列极限的关系

关于函数极限与数列极限的关系有一个定理，当X趋近于X0时，f（x）的极限是A的充分必要条件是：对任何收敛于X0的数列{xn}（xn不等于x0），都有当n趋近于无穷时，f（xn）的极限是A。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。在这一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

数列是指正整数趋向无穷大。

比如：

说sin ( 2 pi n )是一个数列的话就是收敛的 ,因为他的每一项都是0。

sin ( 2 pi x )。

如果是一个函数的话明显不收敛。

函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数概念含有三个要素：

定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

就X不断变大时（也包括向反方向变小到负无穷）,有极限,也就是近似等于一个常数举个例子 1/X,在X很大时,1/X可以看作等于0 1/X+1可以看作=1,这种X等于无穷的情况,而函数等于常数就是叫收敛

先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1

然后,

检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散

检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n(n+1)明显发散

因此,收敛域为(-1,1)

令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)x^n

在(-1,1)内,根据逐项积分：

∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)t^n) dt)

=∑(n=0,∞) (x^(n+1))

=x+x^2+……+x^n+……

=x/(1-x)

再根据逐项求导：

[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'

f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2

因此,∑(n=0,∞) (n+1)x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)

是的。有界函数不一定收敛，无界函数一定发散。

扩展资料

发散函数

在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。发散级数（英语：Divergent Series）指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数

 和

，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。

如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数

调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明

收敛函数：

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）至un（x） 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）++un（x）+⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）++un（x0）+ （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。

函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，

函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，

并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）++un（x）+把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0

参考资料：

题库内容：

收敛的解释

(1) [retrain oneself]∶减轻 放纵 的 程度 碰了钉子以后,他 收敛 些了 (2) [convergence]∶会聚于一点;向某一值 靠近 收敛 级数 (3) [fade;weaker;lessen;disappear]∶减弱或 消失 笑容从他脸上 收敛 (4) [astringent]∶使 有机 体 组织 收缩、 减少 腺体分泌 收敛 剂 (5) [tax]∶征收租税 收敛 租谷 (6) [gather together]∶ 聚拢 ;收集 收敛 关市之利以实官府 详细解释 亦作“ 收歛 ”。1收获农作物。 《庄子·让王》 ：“春耕种，形 足以 劳动 ；秋 收敛 ，身足以休食。” 宋 陆游 《 晚晴 》 诗：“农家筑塲罢，竭作事 收敛 。” 明 张宁 《方洲杂言》 ：“盖自来生长草野世无服役，不过垦植 收敛 。” (2)征收租税。 《礼记·月令》 ：“﹝孟秋之月﹞命百官，始 收敛 。” 《北史·崔浩传》 ：“列置守宰， 收敛 租谷。” 《东周列国志》 第二回：“ 襃珦 之子 洪德 ，偶因 收敛 ，来到乡间。” (3)聚敛；收集。 《墨子·尚贤中》 ：“收歛关市山 林泽 梁之利，以实官府。” 《晋书· 儒林 传·徐邈》 ：“﹝帝﹞好为手诏诗章以赐侍臣…… 邈 每应时 收敛 ，还省刊削。” 《宋书·王镇恶传》 ：“ 镇恶 极意 收敛 ， 子女 玉帛，不可胜计。” (4)归总。 宋 周密 《齐东野语·道学》 ：“ 朱公 尤渊洽精诣，盖其以至高之才，至博之学，而一切 收敛 ，归诸义理。” (5)检点行为， 约束 身心。 清 李渔 《比目鱼·狐威》 ：“用豪奴，使狠仆，非是我 不知 收歛。” 浩然 《艳阳天》 第八六章：“反击 马之悦 ，就能使落后的富裕中农 收敛 。” (6)停止；消失。 唐 樊宗师 《绛守居园池记》 ：“可四时合奇士，观风云霜露雨雪所为发生 收敛 ，赋歌诗。” 清 孙枝蔚 《张良进履》 诗：“莫言豪气全收歛，无限恩仇气未平。” 巴金 《家》 四：“她想到这里，便又 收敛 了笑容。” 郁达夫 《迟桂花》 ：“白天的热度，日落之后， 忽然 收敛 了。” (7)医学用语。谓通过药物作用，使肌体皱缩、腺液分泌减少。 宋 张世南 《游宦纪闻》 卷七：“龙涎入香，能 收敛 。” 《医宗 金鉴 ·外科心法要诀·枯筋箭》 “枯筋箭由肝失荣、筋气外发赤豆形”注：“以 月白 珍珠散掺之，其疤 收敛 。” (8)收殓。 《东观汉记·桓典传》 ：“相 王吉 以罪被诛， 故人 亲戚 莫敢至者， 典 独弃官 收敛 归葬。” 宋 周密 《癸辛杂 识别 集·杨髠发陵》 ：“事竟， 罗铣 买棺制衣 收敛 ，大恸垂绝。” 鲁迅 《呐喊·明天》 ：“ 收敛 的时候，给他穿上顶新的 衣裳 。” 见“ 收敛 ”。

词语分解

收的解释 收 ō 接到，接受：收发。收信。收支。收讫。收益。 藏或放置妥当：这是 重要 东西 ，要收好了。 割断 成熟 的农作物：收割。收成。麦收。 招回：收兵。收港。 聚，合拢：收容。收理。收集。 结束：收尾。收煞。收 敛的解释 敛 （敛） ǎ 收拢， 聚集 ：敛钱。敛足（收住脚步， 不住 前进）。敛容。敛衣（用收集来的碎布制成的衣）。收敛。聚敛。 征收：横征暴敛。 收束，约束：敛迹。敛手（缩手，表示 不敢 恣意 妄为； 拱手 ，表示 恭敬 ）