绝对值
acos : x 的反余弦
angle(x,y) : 点(0,0)和点(x,y)的连线与 x 轴之间的夹角
asin : x 的反正弦
atan : x 的反正切
J0 : 零次贝塞耳函数
J1 : 一次贝塞耳函数
Jn(x,n) : n 次贝塞耳函数
beta(z,w): z > 0, w > 0 β函数
cos: x的余弦
cosh : 双曲余弦
erf : 正规误差积分
exp : 指数
ftable(x,m,n) : 自由度为 m,n 的 F 分布
gammaln : γ 函数的自然对数
incbeta(x,a,b) : 不完全的β函数
incf(x,m,n): m,n自由度上限为 x 的不完全 F 分布
incgamma(x,a) : 不完全 γ 函数
int : 被截的整数
inverf : 反误差函数
invf(x,m,n) : m 和 n自由度的反 F 分布
invprob : 正态分布的反概率密度函数
invt(x,n) : 自由度 n 的反 t 分布
ln : x 的自然对数
log : 10为底的 x 对数
mod(x,y) : 当整数 x 被整数 y 除时余数
nint : 到 x 最近的整数
prec(x,p) : x 到 p 的显著性
prob : 正态分布的概率密度
qcd2 : 质量控制 D2 因子
qcd3 : 质量控制 D3 因子
qcd4 : 质量控制 D4 因子
rmod(x,y) : 实数x除以实数y的余数
round(x,p) : x 环绕 p 的准确度
sin : x 的正弦
sinh : x 的双曲正弦
sqrt : x 的平方根
tan : x 的正切
tanh : x 的双曲正切
ttable(x,n) : 自由度为 n 的学生氏t分布
y0 : 第二类型零次贝塞耳函数
y1 : 第二类型一次贝塞耳函数
yn(x,n) : 第二类型 n 次贝塞耳函数
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是伽马函数啊
你百度下看把
用的真的很多
只要是
被积函数带有e的负g(x）次方的形式
积分范围是0到正无穷
比如
指数分布的期望方差
正态分布的期望方差
瑞利分布等
只要是这种形式的
都可以做
不用去求积分
套上就行
F(m,,n)分布期望我知道等于n/n-2
与m无关
方差太长了
记不住
书上有个表上面有的
不用记
SUBSCRIBEto US
《轻松学点微积分》书评
1
书评缘起
去年5月份，笔者得到了科学出版社张中兴编辑（老师）的赠书《轻松学点微积分》。出于对书名的好奇心，笔者一口气就读完了这本图书，并且自认为读起来的确很“轻松”。微积分是大学理工科专业必学的一门科目，这样的课程也称为“高等数学”。所谓微积分，包含微分学和积分学，在处理很多现实的问题上起到了良好的作用。因此，学好微积分，对于理工科专业的同学来说非常必要。
毫无疑问，市面上显然有各类各样的介绍微积分方面的教材和科普书籍。那么，很自然的问题是，为什么本书的作者卓永鸿老师要写作这样一本“学起来轻松点”的微积分教材呢？
关于这个问题，作者曾在前言部分中发表了这样的观点：
“笔者深深觉得，许多人在微积分这门学科的表现之所以不够理想，往往并非天分不佳或学习态度不良，而是没有抓住微积分各主题中的核心精神，停留在抽象符号 *** 作，于是不得其门而入。”
的确，正如作者所说，当下很多微积分教材往往注重于数学符号与公式的简单罗列，而未能将微积分中一些定理较为直观地展现给读者。长久下来，很多人对微积分感到深恶痛绝，甚至于说一辈子都不想看到牛顿和莱布尼兹的求导符号。
然而，要解决这一问题并非那么容易的，本书作者正是借助自己对微积分“浅显易懂”的阐述方式来试图缓解这一糟糕状况。
2
本书特点
细品本书，不难发现该书有如下几大特点：
（1）结合数学史介绍微积分
当下不少微积分教材主要在阐述数学结果本身，因此多是以“定义-定理-例题-习题”这样的模式展开介绍，很难吸引读者的阅读兴趣。本书的特点之一是穿插介绍数学史，通过数学史的介绍以达到数学学科与历史学科的有效融合。值得特别注意的是，本书的每一章节最开始部分都会放置数学家或者其他领域大家的一段名言，比如本书第二章“微分学”就有哲学家伏尔泰关于微积分的深刻观点：
“微积分是精确地计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术。”
尽管在很多人看来，数学家的名言名句并不能帮助自己理解那些看起来枯燥无味的数学公式，然而，需要引起格外关注的是，这些****的看法往往可以帮助自己较快地理解一门学科的本质内涵。当然，在这本书中，通过在每一章节前放上名言名句，可以有效地奠定本书的主题基调（没错，你就是在读一本微积分书籍！）。
除此之外，作者在本书中花了较大的笔墨阐述了一些关于微积分的数学史料，比如历史上的牛顿与莱布尼兹关于微积分的版权之争、最速降线问题、洛必达与伯努利的故事等。即便这些都是微积分里面的经典事实，然而作者却不落俗套，用自己独有的风趣幽默语言将这些陈年往事如数家珍，让笔者认为眼前正是有一位有趣的数学老师在教微积分史。此外，细读作者的文字可以感受到作者本人具有较为浓厚的台湾腔（比如书中第174页中间文字“其实这两种拼法在法文中是等价的，都可以啦！”），所以可以理解为是“台湾特色”的微积分史。
（2）详细展现解题思路以处理问题
微积分的本质还是微分学和积分学理论。其中，微分学部分中涉及到导数、可微等概念，当中涉及到的数学大定理包括有：费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。这些数学大定理也帮助了广大学习微积分的学友了解了国外的一批数学家：费马、拉格朗日和柯西等。积分学理论部分中主要涉及的是黎曼积分，其区别于数学系实变函数课程中的勒贝格积分。
数学理论的把握主要是在数学分析中体现，而本书的目的是轻松学点微积分，自然要以数学计算作为主要讲解目标。比如，如何计算一个函数的导数？如何计算一个函数的不定积分和定积分？如何计算一个二重和三重积分？诸如此类，这些都是微积分教学中要解决的关键问题，理论证明则要处于次要地位。
本书还有一个特点是：作者用自己的通俗语言和思维方式展现了解题的关键思路。
比如作者在证明函数极限问题时，一步步介绍如何运用数学技巧来达到最终目的，比如有的习题需要分子有理化，有的习题需要用到三角不等式。比如在书中例1412中，作者写下了这样一段话：
“接下来用一招，看清楚了，这叫三角不等式。”
不知道的读者还以为自己误入武侠小说之中，怎么还有招数一说？其实，数学圈本身也可以看做是一个小江湖，在这个江湖里做题用的招数也就是数学里面的武功秘籍。笔者曾经有一个不恰当的观点：“数学技巧犹如花拳绣腿，数学思想犹如内功心法”。如果用在这里，那么三角不等式的确算是一个招式，只不过是简单的花拳绣腿罢了。
（3）善于用图直观化数学概念
初翻本书，很难不被作者所制作的精美几何图象所吸引。在微积分中，形式化的符号运算难免让人们产生厌烦情绪，极少有人愿意一直与数学公式打交道。事实上，如果了解过生物学科的期刊论文，不难看出它们的文章都是“看图说话”的。数学其实本来也应该如此。据说数学家之间讨论学术问题往往是先画一个图，然后根据图再来补上相应的数学描述。
在这本书中，令人惊艳的图形自然是对二、三维几何图象的绘制。尤其是，在遇到二重积分与三重积分的问题时，如果有一个较为直观的几何图象帮助我们理解问题，那么就会达到化繁为简的目的。实际上，本书中所带有的插图何其多也，其所体现的直观理解数学概念的功效也自不必说。
巧用LaTex精心排版书籍
笔者初拿到该书不久，就对本书的排版感到赏心悦目。在惊讶作者的排版功底之余，本书的编辑张中兴老师告诉笔者：“作者卓永鸿老师是一位tex排版高手，是她目前所认识的第二个tex这么厉害的大佬人物。”此外，张老师也补充说道：“除了不能画图哗啦哗啦超级迅速外，基本上就是课堂笔记老师随讲随记的排版速度”。
笔者虽未见过卓永鸿老师，但是通过看这本书的排版以及张中兴老师的描述，断定所言肯定非虚（毕竟数学人严谨！）。
本书在LaTex排版方面的确是很见功力，非一般的LaTeX玩家可以与之相比。一个显著的事实是，作者在本书的解题过程部分中穿插了很多箭头，以及在各种定义、定理和性质部分的排版上别具一格。笔者认为，国内很多数学书籍的排版势必要向该书学习。
3
写在最后
关于《轻松学点微积分》这本书，所罗列的特点仅是书中优点的一部分，其他优点有待读者自己去挖掘发现。关于本书的缺点之处，其中之一自然是本书没有继续介绍曲面积分和曲线积分理论。本书全书分为十二章，然而第12章仅介绍二、三重积分，因此在笔者看来这还不能完全满足想要学习微积分的同学。
笔者亦是一名数学系学生，写文评价数学老师的书籍多少有点不合适。因此，这里借用上海师范大学数学系陈跃老师曾告诫笔者的一句话结尾：
“读一本书要将自己想象成作者本人，如果是你来写你能写得出来吗？为什么要这样写？”
4
编辑小语
小朱老师太自谦了，小朱老师是同济大学数学科学学院在读研究生，感谢他学习科研之余为“微积分小白书”倾情奉献的书评，下面把《轻松学点微积分》详细的书籍信息展现如下，献给喜欢微积分喜欢学习的你~
内容简介
轻松学点微积分
作者：卓永鸿
一本轻松有趣的微积分读物
适读人群 ：对微积分感兴趣、想要微积分入门的人，想增强数学素养的文科生，正在修课、准备考试而感到微积分学习有困难的同学，其他想要了解微积分的读者。
这是一本教读者微积分轻松入门的读物，也是一本轻松简单适合自学的书。《轻松学点微积分》语言轻松幽默，通过大量贴切具体的图形图像尽可能生动地介绍微积分各个主题概念的由来，将中学数学与高等数学完美衔接，中间穿插数学史还原数学思想的产生思路，还有常用的高等数学符号趣谈加深读者学习印象，了解微积分发展的来龙去脉。作者总结多年微积分教学经验，用尽可能浅显易懂的语言，总结学习方法、归纳实用规律，指出常见错误和学生学习盲点，提供详细的解题技巧，中间还穿插一题多解拓宽视野，助力读者轻松快乐地从更高角度掌握微积分具体知识点，让读者对微积分有比较清楚的认知。特别地，本书对中国古代数学和古代数学思想多有介绍，让读者在轻松入门微积分的过程中也能体会到中国古代先哲对数学的贡献。
本书目录
目录
第1章 极限与连续 1
11 微积分的起源 1
12 数列的极限 5
13 连续函数与函数的极限 16
14 极限的严格定义 30
141 极限的定义 30
142 用极限定义作证明 35
15 连续函数的性质 40
16 自然指数与自然对数 45
161 自然指数 45
162 自然对数 48
163 利用e的定义解极限 49
164 e之趣谈 52
17 等价无穷小代换 56
171 动机介绍 56
172 无穷小的分阶 57
173 等价无穷小代换 58
18 渐近线 63
181 水平渐近线 64
182 铅直渐近线 66
183 斜渐近线 67
第2章 微分学 73
21 导数的定义 73
22 导数的性质与幂函数的导函数 80
23 三角函数与指对数函数的导函数 91
24 高阶导数 96
25 链式法则 99
26 单侧导数 103
27 隐函数的求导 111
28 反函数的求导 117
29 取对数求导法 122
210 参数式求导 125
211 微分 131
第3章 微分学的应用 135
31 切线与法线 135
32 变率问题 140
33 函数的单调性与凹凸性 143
331 函数的单调性 143
332 函数的凹凸性 147
34 极值问题 153
341 一阶检定法 155
342 二阶检定法 157
35 绘制函数图形 160
36 微分中值定理 165
37 洛必达法则 170
371 洛必达法则的使用介绍 170
372 洛必达法则的误用探讨 176
第4章 积分学 181
41 积分的定义 181
42 积分的基本性质 191
43 微积分基本定理 196
431 微积分基本定理第一部分 196
432 微积分基本定理第二部分 200
44 不定积分 202
45 曲线间所围面积 206
第5章 积分技巧 211
51 分部积分 211
52 变量代换 217
521 第一换元法 217
522 第二换元法 223
53 三角代换 225
54 有理函数的积分：部分分式法 232
55 三角函数的积分 243
551 三角函数的幂次 243
552 含有sin(x)及cos(x)的有理式 252
553 巧妙的换元 254
56 反常积分 256
561 第一类反常积分(积分范围无界) 256
562 第二类反常积分(函数无界) 259
563 反常积分的敛散性 261
57 积分技巧杂谈 265
第6章 积分学的应用 276
61 曲线弧长 276
62 求体积 283
63 旋转体体积 287
631 圆盘法 287
632 剥壳法 291
64 旋转体的表面积 295
第7章 特殊函数 299
71 双曲函数 299
711 双曲函数的定义 299
712 双曲函数的基本公式 302
713 双曲函数的导函数 306
714 反双曲函数 306
715 反双曲函数的导函数 308
716 双曲函数在大一微积分中的应用 309
72 伽马函数 310
第8章 无穷级数 313
81 无穷级数的收敛与发散 313
82 积分审敛法 321
83 比较审敛法 326
84 比值审敛法与根值审敛法 331
85 交错级数审敛法 335
86 条件收敛与绝对收敛 341
87 幂级数 349
第9章 泰勒展开 356
91 泰勒展开：多项式逼近函数 356
911 泰勒展开式 356
912 间接展开法 360
92 多项式逼近的应用 368
93 泰勒定理与余项 373
94 幂级数的和函数 381
第10章 极坐标 390
101 极坐标简介 390
102 极坐标中的常见曲线 399
103 极坐标求面积 402
104 极坐标求弧长 409
第11章 多元函数的微分学 413
111 多元函数简介 413
112 多元函数的极限 416
113 偏导数 422
114 全微分 429
1141 通俗不严谨的讨论 429
1142 理论探讨 431
115 多元函数的链式法则 434
116 多元函数的隐函数求导 439
117 梯度、方向导数与切平面 443
1171 梯度的定义 443
1172 方向导数 443
1173 切平面 449
118 多元函数的极值问题 450
119 条件极值：拉格朗日乘数法 456
第12章 重积分 466
121 二重积分 466
122 三重积分 480
123 重积分的换元法 488
124 极坐标代换 499
125 圆柱坐标代换 504
126 球坐标代换 508
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来源：科学出版社数学教育微信公众号
微信封面来源：pexels
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专业品质 学术价值
原创好读 科学品味
科学出版社视频号
硬核有料 视听科学
通过点击公式按钮插入函数解决。
使用WPS编辑伽马函数的定义的步骤是：首先打开桌面上的WPS软件，并新建一个Excel表；然后点击公式按钮，点击插入函数选择GAMMADIST函数；最后选中需要定义的伽玛函数的单元格，在d窗内输入数值，然后点击确定，就定义成功了。
伽玛函数，也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。
（一）利用激电法自身能力对异常进行深入研究的评价方法
1一般方法
在未对激电异常进行深入研究之前，首先应尽量把物性测定工有做好，掌握可能引起激电异常的岩石和矿石种类；在穿过测区内主要岩层、并且出露较好的典型剖面上，作小四极物性剖面，以进一步弄清激电异常及引起激电异常的极化体的几何形态和导电性等。所有这些，都有助于“区分矿与非矿异常”。另外，从异常形态上看，通常有意义的异常，形状比较规则，范围（特别是异常宽度）不很大，具有较好的延续性，可从一条剖面到相邻剖面追踪；而矿化岩层的异常，则通常范围较大（异常宽度可从数十米到数百米，甚至更大），并且由于矿化不均匀而使异常较乱，特别是在埋藏不深时，往往表现为大范围的、变化梯度较大的、不甚规则的激电异常。当然，这些特征都不是绝对的，只能在分析引起激电异常的地质原因时，作为一种参考因素，而不能把它简单地当做评价激电异常的标准。
2利用激电时间谱作谱参数反演的评价方法
我们在第一篇讨论岩、矿石的激电性时，已给出了描述其特性的Cole-Cole模型时域表达式（1⁃1⁃53）和（1⁃1⁃54）现改写为
地电场与电法勘探
地电场与电法勘探
式中，t为阶跃响应时间；τ为时间常数；c为频率相关系数；m为最大充电率（相当于时间域的极限极化率η）；R为直流电阻，即供电时间T→∞时的体极化电阻；I为供电电流；Γ（x）为伽马函数。
这里，τ、c、m、R就是谱参数。其中τ和c称为形态参数，m和R称为强度参数。分析上式可知，当将等号两边均除以I并乘以装置系数时，则R可改写为极化电阻率ρ。
野外测得的每条放电曲线都包含有这样4个谱参数，但由于异常源的性质不同，所以它们的谱参数也就有所差别。因此通过对实测放电曲线的反演，求出它们的谱参数，便有可能达到评价激电异常的目的。一般对实际条件下求得的谱参数多为视参数（τs、cs、ms、 ）。具体反演方法如下。
设E（t）为观测值，V（t）为理论值，采用最优化反演方法，求目标函数Φ的极小。
地电场与电法勘探
根据马奎特算法，求（2⁃2⁃36）式极小问题可归结为求线性方程组的解。
〔A+λI〕ΔX=G（2⁃2⁃37）
（2⁃2⁃37）式中A=PTP，PT为P的转置矩阵，I为单位阵，λ为阻尼因子，是大于零的常数。
地电场与电法勘探
第k次迭代参量为
Xk=Xk-1+ΔX
其中ΔX为修正量。
若Xk使目标函数Φ小于预先给定的一个小量ε，则迭代结束，否则继续。安徽物探队利用上述求取视参数的反演方法在几个不同矿区进行了试验，取得了较好效果。
3利用激电频率谱作谱参数反演的评价方法
激电效应的时间特性与频率特性在数学意义上是等效的，可相互转换。故在频率域中利用频率特性与在时间域中利用时间特性评价激电异常，实质上是一样的。但由于在方法技术上的不同，而且利用 Cole-Cole 模型作谱参数反演，最早还是从频率域激电法开始的。
在第一篇中已经指出，WHPelton等通过大量岩、矿石标本和露头测定，给出了由激电效应引起的复电阻率变化的 Cole-Cole 模型表达式，我国学者也证实（张赛珍，1994）为
地电场与电法勘探
式中：ρ0为频率为零时的电阻率；m为最大充电率；τ为时间常数；c为表征复电阻率随频率变化程度的参数，称频率相关系数。
对复电阻率频谱作反演的方法，一般也是采用正演选择的最优化法。由于在频率域激电法中常存在电磁耦合干扰，而这种干扰也可用Cole-Cole模型描述。故对实测复电阻频谱作反演时，经常用两个 Cole-Cole 模型去拟合。反演得到的谱参数通常也是视参数（刘菘，1998）。1983年，我国引进IPS-3型频谱激电仪之后，在这方面做了大量理论研究和野外实验工作。原地矿部第一综合物探大队在江苏某金属矿区评价激电异常时取得了较好效果。
4利用激电效应非线性的评价方法
20世纪70年代以来，国内外同行都对利用激电效应的非线性评价激电异常的可能性进行了研究。这些研究的物性基础是：①实际上只在导电颗粒连通得好的“面极化体”上才能观测到较明显的非线性。②当出现非线性时，大多数硫化矿物（黄铜矿、黄铁矿、方铅矿和闪锌矿等）的阴极过电位强于阳极过电位（“阴极优势”）；而石墨、磁铁矿和磁黄铁矿等，则为阳极过电位较阴极过电位强（“阳极优势”）。故根据是否出现非线性，便可按结构区分极化体；而根据阴、阳极优势的性质，则可在一定程度上按矿物成分做区分。
由于非线性只在极化电流密度很大时才明显表现出来，故关于非线性的研究，应主要集中于井中激电法。地面激电法已获得试验效果的有所谓“正负极极化法”。本法由前苏联学者提出。其做法是用中梯装置，长直流脉冲（2～3min）供电。要求作两遍观测。第一遍观测A极接电源正极，B接负极，观测各点的视极化率 。以同一极性供电，在各测点作观测时，各次观测需要15～60min的时间间隔，以减小前一次供电的二次场残余。过12～24小时后作第二遍观测：A极接电源负极，B接正极，观测各点的视极化率 。两遍观测供电电流保持不变。根据两遍观测结果，计算各点的Δηs= 。Δηs如超过按± ×M（其中 = ，M为野外观测的相对均方误差）计算的误差范围时，便视为异常。
正负极极化法曾在广东、江苏、山东等省作过野外试验。结果表明，在埋藏不深的接近于面极化的网脉状或致密状极化体上，能得到Δηs的正异常，而在近于体极化的浸染状极化体上，尽管视极化率异常很明显，但不出现正负极极化法异常（Δηs在误差范围内变化）。看来，正负极极化法按结构区分埋藏不深的极化体是有可能的，但它并非能直接区分矿与非矿异常。
此后，国内有些单位虽在岩、矿石的激电非线性方面又做了不少研究工作，但均未取得突破性进展。
（二）利用地质、物化探资料对激电异常进行综合解释的评价方法
1利用地质资料评价激电异常
在综合利用地质与物化探资料方面，首先要强调合理地利用地质资料。在分析引起激电异常的地质背景并依此找矿时，应着重搜集和利用的地质资料如下。
（1）矿产的成因类型和工业类型，矿物共生组合关系，工业矿体可能的形态、规模、走向和埋藏条件以及本区岩层的矿化特征和矿化岩石的分布情况等。将这些资料与岩、矿石电性资料结合起来，便可更好地利用激电异常的几何特征，去分析引起异常的地质原因。
（2）矿产和矿化岩层在成因上和空间上的相互关系。如果存在着密切关系，则有可能利用矿化岩层的异常达到间接找矿的目的。
2利用化探资料评价激电异常。
将激电异常与化探资料配合起来解释，是综合物化探解释的一个重要环节。化探异常指示金属元素的富集，但这种富集（特别是次生分散晕和分散流异常）往往只反映浅部的矿化或矿体，甚至可能是自然或人工污染所致。激电异常虽然能指明地下一定深度范围内是否存在电子导体，并确定其几何特征（形状、产状、规模及空间位置等），但不能确知引起激电异常的电子导体的矿物成分。因此，将两种异常结合起来分析，互相补充，便有助于对引起激电异常的地质原因做出较肯定的结论。
3利用其他物探资料评价激电异常
在评价激电异常过程中，除一般地要注意利用地质、化探和电阻率资料外，在某些条件下，其他物探资料也可能是很有价值的。
如在地形与地质条件有利时，可利用重力勘探检查激电异常。通常，在石墨化岩层引起的激电异常上表现为重力低或无明显的重力异常；而在金属矿体上则出现重力增高的局部异常。
此外，当将磁测资料与激电资料结合起来时，便不难区分磁（黄）铁矿或磁（黄）铁矿化岩层所引起的激电异常。
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