数学反三角函数定义及公式

反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin

x，反余弦Arccos

x，反正切Arctan

x，反余切Arccot

x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

反三角函数其他公式

　　cos(arcsinx)=√（1-x^2）

　　arcsin(-x)=-arcsinx

　　arccos(-x)=π-arccosx

　　arctan(-x)=-arctanx

　　arccot(-x)=π-arccotx

　　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

　　sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

　　当

x∈[-π/2，π/2]

有arcsin(sinx)=x

　　x∈[0，π]，

arccos(cosx)=x

　　x∈(-π/2，π/2)，

arctan(tanx)=x

　　x∈(0，π)，

arccot(cotx)=x

　　x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似

　　若

(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则

arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x，反余割Arccsc x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x)

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是

。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反正弦函数

x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数

绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)

x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ， 值域[0，π]。

反正切函数

x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。

反余切函数

x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx

绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)

，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。

反正割函数

x=sec y在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

反余割函数

x=csc y在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

是一段弧线。如下图，值域是大于等于0小于等于1

反三角函数其他公式：

1cos(arcsinx)=√(1-x^2)

2arcsin(-x)=-arcsinx

3arccos(-x)=π-arccosx

4arctan(-x)=-arctanx

5arccot(-x)=π-arccotx

6arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

7sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

8当 x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x

9x∈[0，π]， arccos(cosx)=x

10x∈(-π/2，π/2)， arctan(tanx)=x

11x∈(0，π)， arccot(cotx)=x

12x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似

13若 (arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

你好，很高兴为你解答

反三角函数：sinx=a, 则a=arcsinx(反三角函数)

cosx=a, 则a=arccosx(反三角函数)

tanx=a, 则a=arctanx(反三角函数)

三角函数：三角函数（也叫做"圆函数"）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

任意角三角函数

在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r

sinα=y/r secα=r/x

cosα=x/r cscα=r/y

tanα=y/x cotα=x/y

可以满足+，-，×，÷，开方，的叫做代数函数，否则是超越函数。

谢谢

反三角函数是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

不过反三角函数不能成为函数，因为它不满足一对一的关系，它是一对多的关系。

可以把三角函数以y=x为对称轴画一下图象，可以发现它不满足一对一的关系。

如果要反三角函数成为函数，应该将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

总之反三角函数的值域是角，有了它表示可以更方便。

比如要表示使得sinx=1/3成立的角。这不是特殊角，不过我们可以用反三角函数表示：x=arcsin1/3。

在解三角方程是尤为重要。不过得注意，一般得在解集加上若干个周期。因为反三角函数是一对多的关系。