对数函数和幂函数的区别

对数函数和幂函数都是初等函数。

对数函数表达式为y=logax

,以a为底，x为变量，是指数函数y=x的a次方的反函数，从图形上来看比较直观，

对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

幂函数表达式一般为y=x的a次方，a是实数，比如y=x,

y=x的2次方，它的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

对数的概念

　　如果a的n次方等于b（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底b的对数，记做n=loga的b次方，也可以说log（a）b=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。　相应地，函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0，+∞)。零和负数没有对数。底数a为常数，其取值范围是(0，1)∪(1，+∞)。一般默认当a=10时，写作：lgb=n。

编辑本段对数的性质及推导

定义

　　若a^n=b(a>0且a≠1)　则n=log(a)(b)

基本性质

　　如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：　1、a^log(a)(b)=b　2、log(a)(a)=1　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);　 第5条的公式写法

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n　（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）

推导

　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。　2、因为a^b=a^b　令t=a^b　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)　令b=1，则1=log(a)(a)　3、MN=M×N　由基本性质1(换掉M和N)　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)(N)　由指数的性质　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定　又因为指数函数是单调函数，所以　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)　4、与（3）类似处理　M/N=M÷N　由基本性质1(换掉M和N)　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]　由指数的性质　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}　又因为指数函数是单调函数，所以　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)　5、与（3）类似处理　M^n=M^n　由基本性质1(换掉M)　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n　由指数的性质　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]n}　又因为指数函数是单调函数，所以　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　基本性质4推广　log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)]　推导如下：　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　换底公式的推导：　设e^x=b^m,e^y=a^n　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y　x=ln(b^m),y=ln(a^n)　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　由基本性质4可得　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}　再由换底公式　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）

编辑本段函数图象

　　1对数函数的图象都过(1,0)点　2对于y=log(a)(n)函数,　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(10)点为轴逆时针转动,但不超过X=1　3与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称

编辑本段其他性质

性质一：换底公式

　　log(a)(N)=log(b){N}/og(b){a}　推导如下：　N = a^[log(a){N}]　a = b^[log(b){a}]　综合两式可得　N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}][log(b){a}]}　又因为N=b^[log(b){N}]　所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}][log(b){a}]}　所以 log(b){N} = [log(a){N}][log(b){a}] [这步不明白或有疑问看上面的]　所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}

公式二：log(a){b}=1/log(b){a}

　　证明如下：　由换底公式 log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----取以b为底的对数　log(a){b}=1 =1/log(b){a} 还可变形得: log(a){b}×log(b){a}=1　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=27182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

对数乘法的法则可以简单的概括为：将乘积的指数展开，然后将乘积的指数相加，最后将求出的和取为对数即可。换句话说，对数乘法就是将乘积的对数求出来，即求出某个乘积的底数的对数。

例如：若求解了logAB = 7，则根据对数乘法公式，我们可以得出logA + logB= 7。也就是说，A和B的乘积对应的指数之和为7，即A和B的乘积的底数的对数为7。进而，可以得出AB=10^7 。

一、二者的基本定义：　　1：对数函数的表达式为：y=logax,(其中a>0且a≠1，x>0)，a为底数，x为真数。　　2：指数函数的表达式为：y=a^x，(其中a>0且a≠1),a为底数，x为指数。二、二者的主要关系：　　3：二者中出现的a的取值范围是一致的。　　4：在a相同的情况下，对数函数的反函数是指数函数，指数函数的反函数是对数函数，即二者互为反函数。　　5：在a相同的情况下，对数函数的定义域（0，+∞）是其对应指数函数的值域；同理，对数函数的值域（-∞，+∞）是其对应指数函数的定义域。　　6：在a相同的情况下，对数函数的图象和指数函数的图象是关于直线y=x对称。