denumerable set和enumerable set的区别

denumerable就是countable，可数集，基数小于等于aleph0，集合论概念。

enumerable set是recursive enumerable set，递归可枚举集，递归论概念。其意为存在一个部分递归函数（程序/算法/图灵机/whatever）能够枚举出该集合中的元素，且该程序可能永不停机；等价的来说，也指存在一个部分递归函数，仅在其输入为该集合中元素时停机。

递归函数通常用来解决结构自相似的问题。所谓结构自相似，是指构成原问题的子问题与原问题在结构上相似，可以用类似的方法解决。具体地，整个问题的解决，可以分为两部分：第一部分是一些特殊情况，有直接的解法；第二部分与原问题相似，但比原问题的规模小。实际上，递归是把一个不能或不好解决的大问题转化为一个或几个小问题，再把这些小问题进一步分解成更小的问题，直至每个小问题都可以直接解决。因此，递归有两个基本要素：

　　（1）边界条件：确定递归到何时终止，也称为递归出口。

　　（2）递归模式：大问题是如何分解为小问题的，也称为递归体。递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。

　　递归就是某个函数直接或间接地调用了自身，这种调用方式叫做递归调用。说白了，还是函数调用。既然是函数调用，那么就有一个雷打不动的原则：所有被调用的函数都将创建一个副本，各自为调用者服务，而不受其他函数的影响。

调用自己本身的函数~

比如求阶乘，可以定义这样的递归函数：

int inv(x)

{

if(x-1==0) return 1;

else return x=xinv(x-1)

}

inv函数中调用了他自己

数论函数的一种，其定义域与值域都是自然数集，只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个：零函数O（x）=0（其值恒为0）；射影函数；后继函数S（x）=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。

代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数？与m个n元函数 g1,g2,…，gm 造成新函数 （g1（x1,x2,…，xn），g2（x1,x2,…，xn），…，gm（x1,x2，…，xn）），亦可记为？（g1，g2,…，gm）（x1，x2,…，xn）。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…，un的原始递归式为：（图1）具有一个参数的原始递归式可简写为：（图2）其特点是，不能由g、h两函数直接计算新函数的一般值？（u,x），而只能依次计算？（u,0），？（u,1），？（u,2），…；但只要依次计算，必能把任何一个？（u,x）值都算出来。换句话说只要g,h为全函数且可计算，则新函数f也是全函数且可计算。

由初始函数出发，经过有限次的代入于原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：（图3）容易看出，这个函数是处处可计算的。任给m,n的值，如果m为0，可由第一式算出；如果m不为0而n为0，可由第二式化归为求g（m,1）的值，这时第一变目减少了；如果m，n均不为0,根据第三式可先计算g（m,n-1），设为α，再计算g（m-1,α），前者第二变目减少（第一变目不变），后者第一变目减少。极易用归纳法证得，这样一步一步地化归，最后必然化归到第一变目为0，从而可用第一式计算。所以这个函数是处处可计算的。此外又容易证明，对任何一个一元原始递归函数？（x），永远可找出一数α使得？（x）<g（α，x）。这样，g（x,x）+1便不是原始递归函数，否则将可找出一数b使得g（x,x）+1<g（b,x）。令x=b，即得g（b,b）+1<g（b,b），而这是不可能的。

另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数？（u,x），就x解方程？（u,x）=t,可得x=g（u,t）。这时函数g叫做？的逆函数。至于解一般方程？（u，t,x）=0而得x=g（u，t）可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。？（u,t，x）=0的最小x根（如果有根的话），记为μx？（u,t,x）=0。当方程没有根时，则认为μx？（u,t,x）=0没有定义。可见，即使？（u,t,x）处处有定义且可计算，但使用求根算子后所得的函数μx？（u,t,x）=0仍不是全函数，可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果？（u,t,x）本身便是部分函数，则 μx？（u,t,x）=0的意义是：当？（u,t,n）可计算且其值为0,而x<n时？（u,t,x）均可计算而其值非0，则 μx？（u,t,x）=0指n；其他情况则作为无定义。例如，如果？（u,t,x）=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但？（u,t,n-1）不可计算，那么 μx？（u,t,x）=0都作为没有定义。在这样定义后，只要 μx？（u,t,x）=0有值便必可计算。由初始函数出发，经过有穷次使用代入、原始递归式与 μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。

原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类，它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即|α-b|）、乘、算术除（图2）、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。

波兰人A格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。

要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数（图6）。谓词R（x,y）的特征函数是（图4）：称谓词R 是递归谓词，若R 的特征函数是递归函数；称自然数子集A为递归集，若谓词x∈A是递归谓词。有了上述定义，就可以用递归函数来处理递归谓词和递归集。为了处理N×N（其中N 为自然数集）的子集，就要建立配对函数，所谓配对函数通常是指由N×N 到N 的一个函数？（x，y）与它的逆函数g1（z），g2（z）。它们都满足以下关系：（图5）可以构造许多原始递归的配对函数。

递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统{α1，α2，α3,…}中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串（图7）以（图8）为其配数，其中Ps是第s个素数，nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了。 如何快速正确的写出递归函数？写一个递归函数是非常程式化的东西，只要按照一定的规则来写，就可以很容易地写出递归函数。写递归函数有三步：

①写出迭代公式；

②确定递归终止条件；

③将①②翻译成代码。

下面举一个例子，希望能帮助大家体会这一原则

写一个函数，求：f（n）=1+2+3+……+n的值

①写出迭代公式：迭代公式为

②确定递归终止条件：f（1）=1就是递归终止条件

③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入return语句中，即return （Sum（n-1））+n;

将1！=1翻译成判断语句：if（n==1） return 1;

按照先测试，后递归的原则写出代码。 longSum(intn){if(n==1)return1;return(Sum(n-1))+n;} pascal语言 //使用VB代码格式，实际为Pascalfunctiondo(x:integer);beginifx<=1thenexit(0)elseifx>1thenexit(do(x-1)+10)end;

就是自己调用自己的函数

int f(int x)

{

int y;

z=f(y);

return z;

}

main()

{

int n=10,ans;

ans=f(n);

printf("%d",ans);

}