高数——泰勒级数和傅里叶级数

泰勒级数： 就是用无穷级数去逼近一个光滑函数。当 时，就转变为麦克劳林公式。

拉格朗日余项：n+1阶项；皮亚诺余项：

泰勒公式和拉格朗日中值定理的关系：拉格朗日中值定理是n=0时的泰勒公式（带拉格朗日余项）。

泰勒公式的应用：①可以把复杂函数拆分为多项式的近似函数，便于用计算机求解；②用来推导欧拉公式（把 展开，令 ,比较sinx和cosx的展开式）。

傅里叶级数：任何周期函数都可以用 正弦函数 和 余弦函数 构成的无穷级数来表示。

泰勒级数与傅里叶级数的关系：傅里叶级数以三角函数为基底，基有正交性；泰勒级数以幂函数为基底，没有正交性。（正交性：任意两个不同函数的乘积在[-π,π]上的积分值为0）

设f（x）=sinax，-π≤x≤π，a>0，将其展开成以2π为周期的傅里叶级数。

设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。

收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

-傅里叶级数

用泰勒级数

令x0=0

则f(x)=sinx=f(0)+f'(0)/1!(x-0)+f''(0)/2!(x-0)^2+……+f(n)(0)/n!(x-0)^n+……

f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f''''(x)=sinx=f(x),形成循环

所以sinx=0+1/1!x+0/2!x+(-1)/3!x^3……+f(n)(0)/n!(x-0)^n+……

即sinx=x/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……

同理

f(x)=cosx,

f'(x)=-sinx,f''(x)=-cosx,f'''(x)=sinx,f''''(x)=cosx,也形成循环

所以cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……

因为傅里叶级数的理论基础就是所有周期函数均可由正余弦三角函数的无穷极数表示：x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}的基础函数的周期与被展函数同周期

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质

信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。



x(

质量－d簧系统的力学模型

非确定性信号（随机信号）：给定条件下

取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

（，…）

傅立叶系数：

式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式：

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图

 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶

级数并画出频谱图 解：

解：

信号的基频

傅里叶系数

n次谐波的幅值和相角

最后得傅立叶级数

频谱图

二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式

 欧拉公式

或

 傅立叶级数的复指数形式

 复数傅里叶系数的表达式

其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此

#

即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。

 cn的复指数形式

共轭性还可以表示为

即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0

（等于三角

函数模的一半）

相角相等）

用cn画频谱：双边频谱

第一种：幅频谱图:|cn|-图:n-

相频谱，

第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图：

Imcn-；也就是an-和-bn- #

§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类： a准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b瞬变非周期信号

几种瞬变非周期信号

数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（222）借助（216）演变成：

定义x(t)的傅里叶变换X(ω)

X(ω)的傅里叶反变换x(t):

 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波

的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函

数。  对应关系：

X()描述了x(t)的频率结构

X()的指数形式为

 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得

X( f ) 频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

幅值频谱图

相位频谱图

()

实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω

) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。

二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性

（二）对称性

（注意翻转）

（三）时移性质

（幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质

（注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性

（六）微分性质

（七）卷积性质

（1）卷积定义

（2）卷积定理

三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数：

(t)

0)

定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值：

脉冲强度（面积）

（二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

xx(t0)(tt0)

函数值：

强度：

结论：1结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

在脉冲发生时刻的函数值

2脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2

(b) 利用结论2

结论：平移

x(t

（三）脉冲函数的频谱

均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

（利用时移性

质）

（利用对称性

质）

（对上式，

再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱

余弦函数的频谱



(f)

正弦函数的频谱

(f)