一般精算师资格考试分几个部分考？

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　　高顿网校为您解答：

　　中国精算师资格考试分为两部分，准精算师部分和精算师部分。其中准精算师部分的考试内容包括：

　　本次考试为准精算师部分的六门课程，科目及考试内容如下：

　　(一)科目名称：数学基础I 1、科目代码：01 2、考试时间：3小时 3、考试形式：标准化试题 4、考试内容： (1)微积分(分数比例：45%) ①函数、极限、连续函数的概念及性质;反函数 复合函数;隐函数;分段函数 基本初等函数的性质;初等函数数列极限与函数极限的概念;函数的左、右极限;无穷小和无穷大的概念及其关系;无穷小的比较;极限的四则运算;两个重要极限。

　　函数连续与间断的概念;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质。

　　②一元函数微分学

　　导数的概念;函数可导性与连续性之间的关系;导数的四则运算;基本初等函数的导数;复合函数、反函数和隐函数的导数;高阶导数;微分的概念和运算法则 微分在近似计算中的应用;罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理及其应用 洛必达(L’Hospital)法则;函数的单调性;函数的极值;函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;函数的最大值和最小值。

　　③一元函数积分学

　　原函数与不定积分的概念;不定积分的基本性质;基本积分公式;定积分的概念和基本性质;定积分中值定理;变上限定积分及导数;牛顿�莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式;不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法;广义积分的概念及计算;定积分的应用。

　　④多元函数微积分学

　　多元函数的概念;二元函数的极限与连续性;有界闭区间上二元连续函数的性质;偏导数的概念与计算;多元复合函数及隐函数的求导法;高阶偏导数;全微分;多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值;二重积分的概念、基本性质和计算;无界区域上的简单二重积分的计算;曲线的切线方程和法线方程。

　　⑤无穷级数

　　常数项级数收敛与发散的概念;级数的基本性质与收敛的必要条件;几何级数与p级数的收敛性;正项级数收敛性的判断 任意项级数的绝对收敛与条件收敛;交错级数;莱布尼茨定理 幂级数的概念;收敛半径和收敛区间;幂级数的和函数;幂级数在收敛区间内的基本性质;简单幂级数的和函数的求法;初等函数的幂级数展开式;泰勒级数与马克劳林级数。

　　(2)线性代数(分数比例：30%)

　　①行列式

　　n级排列;行列式的定义;行列式的性质;行列式按行(列)展开;行列式的计算;克莱姆法则。

　　②矩阵

　　矩阵的定义及运算;矩阵的初等变换;初等矩阵;矩阵的秩;几种特殊矩阵;可逆矩阵及矩阵的逆的求法;分块矩阵。

　　③线性方程组

　　求解线性方程组的消元法;n维向量及向量间的线性关系;线性方程组解的结构。

　　④向量空间

　　向量空间和向量子空间;向量空间的基与维数;向量的内积;线性变换及正交变换;线性变换的核及映像。

　　⑤矩阵的特征值和特征向量

　　矩阵的特征值和特征向量的概念及性质;相似矩阵;一般矩阵相似于对角阵的条件;实对称矩阵的特征值及特征向量;若当标准形。

　　⑥二次型

　　二次型及其矩阵表示;线性替换;矩阵的合同;化二次型为标准形和规范形;正定二次型及正定矩阵。

　　(3)数值分析(分数比例：10%)

　　①插值法

　　拉格朗日插值多项式;拉格朗日插值的唯一性及误差分析;逐次线性插值(三次样条插值;差分差商与牛顿插值。

　　②求解线性方程组的直接法

　　高斯消去法;矩阵的三角分解;矩阵的范数及条件数。

　　③迭代法

　　非线性方程组的简单迭代法和牛顿迭代法;线性方程组的雅可比迭代法和高斯��塞德尔迭代法。

　　④数值积分和数值微分

　　数值求积公式及基本数值微分公式。

　　(4)运筹学(分数比例：15%)

　　①线性规划

　　线性规划问题的标准形;线性规划问题的解的概念;单纯形法(包括大M法和两阶段法);单纯形法的矩阵形式;对偶理论;影子价格;对偶单纯形法;灵敏度分析。

　　②整数规划

　　③动态规划

　　多阶段决策问题;动态规划的基本问题和基本方程;动态规划的基本定理;离散确定性动态规划模型的求解;离散随机性动态规划模型的求解。

　　④排队论

　　排队论的基本概念;输入与输出;生死过程;单服务台的情形M/M/I模型;多服务台的情形 M/M/C模型。

　　⑤决策论

　　风险情况下的决策(最大收益期望值决策准则、最小机会损失期望值决策准则、信息的价值);不确定情况下的决策(乐观法、悲观法、等可能性法、后悔值决策方法 乐观系数法);决策树法;效用;效用曲线;效用曲线的类型及应用。

　　5、参考书： ①《高等数学讲义》(第二篇 数学分析)，樊映川编著，高等教育出版社。 ②《线性代数》，胡显佑，四川人民出版社。 ③《数值分析》，李庆扬、王能超、易大义，华中理工大学出版社1986年12月第3版。 ④《运筹学》(修订版)，1990年，《运筹学》教材编写组，清华大学出版社。

　　除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。

　　(二)科目名称：数学基础II 1、科目代码：02 2、考试时间：3小时 3、考试形式：标准化试题 4、考试内容：

　　(1)概率论(分数比例：45%)

　　事件、样本空间、概率空间的含义;典型概率类型的计算方法 条件概率的计算方法;运用全概率公式和贝叶斯公式求解概率问题 统计独立性的含义;事件的独立性及利用独立条件求解概率问题 随机变量及分布函数;随机变量数字特征数学期望、方差、协方差，矩;随机变量特征函数阶性质;能够利用特征函数求解随机变量的各阶矩;常用的离散型随机变量的分布列(离散型：二项分布、Poisson分布、几何分布等);连续型随机变量的分布函数及其数学期望、方差连续型：均匀分布、指数分布、Г-分布、正态分布、t-分布、F分布、χ2分布等联合分布律;联合分布函数及联合密度函数;边际分布律;边际分布函数及边际概率密度等;条件概率密度及求解条件概率;大数定律及中心极限定理;契比雪夫不等式;运用随机变量的变换得出新的变量的密度函数及概率。

　　(2)数理统计(分数比例：35%)

　　数理统计的基本概念;样本(子样);总体(母体);统计量;样本矩;顺序统计量和经验分布函数;求估计量的两个常用方法(矩方法、最大似然估计方法);无偏估计概念;正态总体样本线性函数的分布及其数学特征;χ2分布、t-分布、F-分布的密度函数及其期望、方差;正态总体样本均值及样本方差的分布;柯赫伦定理;假设经验;正态总体的参数(均值、方差)的检验方法;多项分布的χ2检验方法及联立表的独立性检验;广义似然比检验;线性模型及参数β的最小二乘法估计;剩余平方和的概念及其相关性质;参数β的假设检验方法及其置信区间构造和Y的预测;Y关于x的线性回归函数的性质;单因素方差分析及方差分析表的构造;估计中的一些概念及有效估计的概念;无偏估计的(有)效率;充分统计与完备统计;最大似然估计的性质及参数估计的贝叶斯方法的基本步骤;在二次损失函数下参数的贝叶斯估计量及其计算方法;假设检验的一些基本概念及奈曼一皮尔逊基本引理;顺序统计量及其分布。

　　(3)应用统计(分数比例：20%)

　　多元线性回归模型参数的最小二乘法估计;多元线性回归模型参数的假设检验及置信区间;多元线性回归模型的拟合度及F检验 异方差性问题;序列相关性问题 多重共线性问题;非线性回归模型;指数平滑模型;移动平均模型;自回归模型;ARMA模型及ARIMA模型;自相关函数及偏自相关函数;回归模型预测;时间序列模型预测;预测区间。

　　5、参考书：

　　①《概率论第一册》，复旦大学编，人民教育出版社，1979年4月第1版。

　　②《概率论第二册》(第一、二分册)，复旦大学编，人民教育出版社，1979年8月第1版。

　　③《概率论与数理统计》，陈希孺编著，中国科学技术大学出版社，2000年3月第1版。

　　④《应用线性回归》(美)SWeisberg著，王静龙、梁小筠等译，中国统计出版社，1998年3月第1版。

　　除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。

　　(三)科目名称：复利数学 1、科目代码：03 2、考试时间：2小时 3、考试形式：标准化试题 4、考试内容：利息理论 5、参考书：《利息理论》(中国精算师资格考试用书)，刘占国主编，南开大学出版社，2000年9月第1版。

　　(四)科目名称：寿险精算实务 1、科目代码：07 2、考试时间：3小时 3、考试形式：标准化试题和问答题 4、考试内容：寿险精算实务 5、参考书：《寿险精算实务》(中国精算师资格考试用书)，李秀芳编著，南开大学出版社，2000年9月第1版。

　　(五)科目名称：非寿险精算实务 1、科目代码：08 2、考试时间：3小时 3、考试形式：标准化试题和问答题 4、考试内容：《风险理论与非寿险精算》第一章、第二章、第三章、第九章、第十章、第十一章、第十二章 5、参考书：《风险理论与非寿险精算》(中国精算师资格考试用书)，谢志刚、韩天雄编著，南开大学出版社，2000年9月第1版。

　　(六)科目名称：综合经济基础 1、科目代码：09 2、考试时间：3小时 3、考试形式：标准化试题和问答题 4、考试内容：

　　(1)经济学(分数比例：40%)

　　A、微观经济学

　　供求理论;消费者理论;企业行为与产业组织厂商理论、竞争与非竞争的市场类型;外部性与公共物品。

　　B、宏观经济学

　　国民收入核算体系;国民收入决定;货币与金融体系;IS-LM模型;宏观经济政策理论财政政策、货币政策;通货膨胀与失业理论;经济波动

　　(2)金融学(分数比例：35%)

　　A、货币银行学

　　货币与货币制度;信用;金融市场;金融机构体系;存款货币银行;中央银行;货币需求;货币供给

　　B、国际金融

　　国际收支及其调节机制;国际收支的调节政策和传统的调节理论;国际收支的新理论;汇率与外汇市场;汇率决定与汇率制度;外汇风险与汇率预测;国际储备;国际货币体系的演变

　　(3)财务管理与会计(分数比例：25%)

　　财务制度;成本核算;资金管理;业务核算;利润核算;会计报表;会计报表分析

　　5、参考书：

　　①《现代西方经济学教程》上、下，魏埙、蔡继明、刘俊民、柳欣编著，南开大学出版社，1992年10月第1版。

　　②《货币银行学》国家级重点教材，黄达主编，中国人民大学出版社1999年3月第l版。

　　③《国际金融学》，陈彪如等主编，西南财经大学出版社，1997年1月第2版。

　　④《财务管理》，卢家仪、蒋冀主编，清华大学出版社，1997年4月第1版。

　　⑤《会计学》，张文贤主编，复旦大学出版社，1999年9月第1版。

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强制类型转换是把变量从一种类型转换为另一种数据类型。

例如，如果您想存储一个 long 类型的值到一个简单的整型中，您需要把 long 类型强制转换为 int 类型。您可以使用强制类型转换运算符来把值显式地从一种类型转换为另一种类型。

扩展资料：

举例说明

使用强制类型转换运算符把一个整数变量除以另一个整数变量，得到一个浮点数：

#include <stdioh>int main()

{

  int sum = 17, count = 5;

double mean;

  mean = (double) sum / count;

printf("Value of mean : %f\n", mean );

}

当上面的代码被编译和执行时，它会产生下列结果：

Value of mean : 3400000

-C语言

准精算师部分的考试内容包括：

科目名称 科目代码 科目名称 科目代码中国精算师资格考试

数学基础Ⅰ 01 生命表基础 06中国精算师资格考试

数学基础Ⅱ 02 寿险精算实务 07中国精算师资格考试

复利数学 03 非寿险精算数学与实务 08中国精算师资格考试

寿险精算数学 04 综合经济基础 09中国精算师资格考试

风险理论 05

精算师部分的考试内容包括：

科目代码 课程名称 备注中国精算师资格考试

011 保险公司财务管理 必考中国精算师资格考试

012 保险法及相关法规 必考中国精算师资格考试

013 个人寿险与年金精算实务 必考中国精算师资格考试

014 社会保障 选考中国精算师资格考试

015 资产负债管理 选考中国精算师资格考试

016 高级非寿险精算实务 选考中国精算师资格考试

017 团体寿险 选考中国精算师资格考试

018 意外伤害和健康保险 选考中国精算师资格考试

019 高级投资学 选考中国精算师资格考试

020 养老金计划 选考中国精算师资格考试

021 精算职业后续教育（PD） 必修，

精算师部分要求完成3门必考课程，2门选考课程及精算职业后续教育后，并具有三年以上的精算工作经验，方可具备资格。

本次考试为准精算师部分的九门课程和精算师部分的三门课程，考试科目及内容如下：

（一） 科目名称：数学基础I中国精算师资格考试

1、科目代码：01中国精算师资格考试

2、考试时间： 3小时中国精算师资格考试

3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

4、考试内容：中国精算师资格考试

（1）微积分（分数比例：60%）中国精算师资格考试

①函数、极限、连续中国精算师资格考试

函数的概念及性质 反函数 复合函数 隐函数 分段函数 基本初等函数的性质 初等函数 数列极限与函数极限的概念 函数的左、右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的比较 极限的四则运算 中国精算师资格考试

函数连续与间断的概念 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质中国精算师资格考试

②一元函数微积分中国精算师资格考试

导数的概念 函数可导性与连续性之间的关系 导数的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的导数 高阶导数 微分的概念和运算法则 微分在近似计算中的应用 中值定理及其应用 洛必达（L’Hospital）法则 函数的单调性 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数的最大值和最小值中国精算师资格考试

原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分及导数 不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法 广义积分的概念及计算 定积分的应用中国精算师资格考试

③多元函数微积分中国精算师资格考试

多元函数的概念 二元函数的极限与连续性 有界闭区间上二元连续函数的性质 偏导数的概念与计算 多元复合函数及隐函数的求导法 高阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算 无界区域上的简单二重积分的计算 曲线的切线方程和法线方程中国精算师资格考试

④级数中国精算师资格考试

常数项级数收敛与发散的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数的收敛性 正项级数收敛性的判断 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数 莱布尼茨定理 幂级数的概念 收敛半径和收敛区间 幂级数的和函数 幂级数在收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 泰勒级数与马克劳林级数中国精算师资格考试

⑤常微分方程中国精算师资格考试

微分方程的概念 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 的求解 特解与通解中国精算师资格考试

（2）线性代数（分数比例：30%）中国精算师资格考试

①行列式中国精算师资格考试

n级排列 行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 行列式的计算 克莱姆法则中国精算师资格考试

②矩阵中国精算师资格考试

矩阵的定义及运算 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 几种特殊矩阵 可逆矩阵及矩阵的逆的求法 分块矩阵中国精算师资格考试

③线性方程组中国精算师资格考试

求解线性方程组的消元法 n维向量及向量间的线性关系 线性方程组解的结构中国精算师资格考试

④向量空间中国精算师资格考试

向量空间和向量子空间 向量空间的基与维数 向量的内积 线性变换及正交变换 线性变换的核及映像中国精算师资格考试

⑤特征值和特征向量中国精算师资格考试

矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似矩阵 一般矩阵 相似于对角阵的条件 实对称矩阵的特征值及特征向量 若当标准形中国精算师资格考试

⑥二次型中国精算师资格考试

二次型及其矩阵表示 线性替换 矩阵的合同 化二次型为标准形和规范形 正定二次型及正定矩阵中国精算师资格考试

（3）运筹学（分数比例：10%）

①线性规划中国精算师资格考试

线性规划问题的标准形 线性规划问题的解的概念 单纯形法（包括大M法和两阶段法） 单纯形法的矩阵形式 对偶理论 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 中国精算师资格考试

②整数规划中国精算师资格考试

③动态规划中国精算师资格考试

多阶段决策问题 动态规划的基本问题和基本方程 动态规划的基本定理 离散确定性动态规划模型的求解 离散随机性动态规划模型的求解 中国精算师资格考试

5、参考书：中国精算师资格考试

①《高等数学讲义》（第二篇 数学分析） 樊映川编著 高等教育出版社中国精算师资格考试

②《线性代数》 胡显佑 四川人民出版社中国精算师资格考试

③《运筹学》（修订版） 1990年 《运筹学》教材编写组 清华大学出版社中国精算师资格考试

除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。中国精算师资格考试

（二）科目名称：数学基础II中国精算师资格考试

1、科目代码：02中国精算师资格考试

2、考试时间：3小时中国精算师资格考试

3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

4、考试内容：中国精算师资格考试

（1）概率论（分数比例：50%）中国精算师资格考试

事件、样本空间、概率空间的含义 典型概率类型的计算方法 条件概率的计算方法 运用全概率公式和贝叶斯公式求解概率问题 统计独立性的含义 事件的独立性及利用独立条件求解概率问题 随机变量及分布函数 随机变量数字特征(数学期望、方差、协方差，矩) 随机变量特征函数阶性质 能够利用特征函数求解随机变量的各阶矩 常用的离散型随机变量的分布列 连续型随机变量的分布函数及其数学期望、方差(连续型：均匀分布、指数分布、Г-分布、正态分布、t-分布、F分布、χ2分布等)联合分布律 联合分布函数及联合密度函数 边际分布律 边际分布函数及边际概率密度等 条件概率密度及求解条件概率 大数定律及中心极限定理 契比雪夫不等式 运用随机变量的变换得出新的变量的密度函数及概率 条件期望和条件方差 混合型分布的分布函数、期望和方差中国精算师资格考试

（2）数理统计（分数比例：35%）

数理统计的基本概念 样本（子样） 总体（母体） 统计量 样本矩 顺序统计量和经验分布函数 求估计量的两个常用方法（矩方法、最大似然估计方法） 无偏估计概念 正态总体样本线性函数的分布及其数学特征 χ2分布、t-分布、F-分布的密度函数及其期望、方差 正态总体样本均值及样本方差的分布 柯赫伦定理 假设经验 正态总体的参数（均值、方差）的检验方法 多项分布的χ2检验方法及联立表的独立性检验 广义似然比检验 线性模型及参数β的最小二乘法估计 剩余平方和的概念及其相关性质 参数β的假设检验方法及其置信区间构造和Y的预测 Y关于x的线性回归函数的性质 单因素方差分析及方差分析表的构造 估计中的一些概念及有效估计的概念 无偏估计的（有）效率 充分统计与完备统计 最大似然估计的性质及参数估计的贝叶斯方法的基本步骤 在二次损失函数下参数的贝叶斯估计量及其计算方法 假设检验的一些基本概念及奈曼一皮尔逊基本引理 顺序统计量及其分布 中国精算师资格考试

（3）应用统计（分数比例：15%） 中国精算师资格考试

多元线性回归模型参数的最小二乘法估计 多元线性回归模型参数的假设检验及置信区间 多元线性回归模型的拟合度及F检验 异方差性问题 序列相关性问题 多重共线性问题 非线性回归模型 指数平滑模型 移动平均模型 自回归模型 ARMA模型 自相关函数及偏自相关函数 回归模型预测 时间序列模型预测 预测区间 中国精算师资格考试

5、参考书： 中国精算师资格考试

①《概率论第一册》 复旦大学编 人民教育出版社 1979年4月第1版 中国精算师资格考试

②《概率论第二册》（第一、二分册） 复旦大学编 人民教育出版社 1979年8月第1版中国精算师资格考试

③《概率论与数理统计》 陈希孺编著 中国科学技术大学出版社 2000年3月第1版 中国精算师资格考试

④《应用线性回归》（美）SWeisberg著 王静龙、梁小筠等译 中国统计出版社 1998年3月第1版 中国精算师资格考试

除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。中国精算师资格考试

（三）科目名称：复利数学中国精算师资格考试

1、科目代码：03中国精算师资格考试

2、考试时间：2小时中国精算师资格考试

3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

4、考试内容：利息理论中国精算师资格考试

5、参考书：《利息理论》（中国精算师资格考试用书） 刘占国主编 南开大学出版社 2000年9月第1版中国精算师资格考试

（四）科目名称：寿险精算数学中国精算师资格考试

1、科目代码：04中国精算师资格考试

2、考试时间：4小时中国精算师资格考试

3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

4、考试内容：寿险精算数学中国精算师资格考试

5、参考书：《寿险精算数学》（中国精算师资格考试用书）卢仿先、曾庆五编著，南开大学出版社，2000年6月第一版。中国精算师资格考试

（五）科目名称：风险理论中国精算师资格考试

1、科目代码：05中国精算师资格考试

2、考试时间：2小时中国精算师资格考试

3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

4、考试内容：《风险理论与非寿险精算》第四章、第五章、第六章、第七章、第八章。中国精算师资格考试

5、参考书：《风险理论与非寿险精算》（中国精算师资格考试用书）谢志刚、韩天雄编著，南开大学出版社，2000年9月第一版。中国精算师资格考试

（六）科目名称：生命表基础中国精算师资格考试

1、科目代码：06中国精算师资格考试

2、考试时间：3小时中国精算师资格考试

3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试

4、考试内容：中国精算师资格考试

5、参考书：《生命表的构造理论》（中国精算师资格考试用书）周江雄、刘建华、黎颍芳编著，南开大学出版社，2001年3月第一版。中国精算师资格考试

（七）科目名称：寿险精算实务中国精算师资格考试

1、科目代码：07中国精算师资格考试

2、考试时间：3小时中国精算师资格考试

3、考试形式：选择题和问答题中国精算师资格考试

4、考试内容：寿险精算实务中国精算师资格考试

5、参考书：《寿险精算实务》（中国精算师资格考试用书） 李秀芳编著 南开大学出版社 2000年9月第1版中国精算师资格考试

（八）科目名称：非寿险精算数学与实务中国精算师资格考试

1、科目代码：08中国精算师资格考试

2、考试时间：3小时中国精算师资格考试

3、考试形式：选择题和问答题中国精算师资格考试

4、考试内容：《风险理论与非寿险精算》第一章、第二章、第三章、第九章、第十章、第十一章、第十二章中国精算师资格考试

5、参考书：《风险理论与非寿险精算》（中国精算师资格考试用书） 谢志刚、韩天雄编著 南开大学出版社 2000年9月第1版 中国精算师资格考试

（九）科目名称：综合经济基础中国精算师资格考试

1、科目代码：09中国精算师资格考试

2、考试时间：3小时中国精算师资格考试

3、考试形式：选择题和问答题中国精算师资格考试

4、考试内容： 中国精算师资格考试

(1)经济学（分数比例：40%）中国精算师资格考试

①微观经济学：考生在掌握微观经济学基本原理的基础上，通过建立模型的方法了解经济事件的结构和分析经济活动；增加对市场和经济决策行为的理解。包括：中国精算师资格考试

供给和需求理论，市场均衡价格理论；消费者行为理论；生产者（厂商）行为理论；市场结构理论：完全竞争、完全垄断、垄断竞争和寡头垄断；要素价格和收入分配理论；一般均衡理论；福利经济学（政府作用）。中国精算师资格考试

②宏观经济学：考生在掌握宏观经济学基本原理的基础上，了解重要的经济模型、假设和政策，以及他们与经济周期和商业周期的相互关系。包括：中国精算师资格考试

国民收入的核算、循环和决定；凯恩斯的均衡模型；财政政策；开放的宏观经济模型；宏观经济的行为基础；经济增长和经济周期理论；通货膨胀和失业。中国精算师资格考试

(2)金融学（分数比例：40%）中国精算师资格考试

考生应掌握金融理论和金融实务中的基本概念和主要内容。掌握货币银行的基本内容，了解金融市场和机构的组织形态和基本性能，了解基本的金融调节政策。包括：中国精算师资格考试

①货币银行部分：货币、利率和风险与收益的基本概念；金融体系基本内容，银行（中央银行、商业银行和投资银行）；货币供求与利率决定。中国精算师资格考试

②金融市场、机构与主要工具；金融机构：存款机构、中央银行与非存款金融机构；资产价格的基本分析：定价、利率模型；金融市场：组织与结构、政府债券市场、公司证券市场；金融市场与工具：债券、股票、抵押、衍生产品。中国精算师资格考试

③金融调节政策和手段：货币政策、监管制度中国精算师资格考试

(3)财务会计基础（分数比例：20%）中国精算师资格考试

考生应掌握公司（特别是金融机构）财务会计的基本内容，具有对公司和金融机构财务状况和财务报表进行基本分析的能力；了解会计基本原理。包括：中国精算师资格考试

①会计基本原理与要素：了解会计的基本原理（准则、制度）、会计循环基本内容；掌握各会计要素的概念、内容和有关的计算，以及各要素之间的关系；中国精算师资格考试

②了解会计控制的主要内容和方法。中国精算师资格考试

③会计报表及其财务分析预测：了解一般会计报表的编制方法、合并会计报表的一般原理和方法、各种会计预测的内容、方法和作用；掌握一般会计报表的基本内容和作用；掌握资产负债表、损益表和利润分配表的合并方法和特别注意的问题；掌握会计分析的主要内容和基本方法。中国精算师资格考试

5、参考书：中国精算师资格考试

①《现代西方经济学教程》上、下册 魏埙 蔡继明 刘骏民 柳欣 编著（第二版），南开大学出版社，2001年4月第二版中国精算师资格考试

②《货币银行学》 易纲 吴有昌 著 上海人民出版社 1999年9月第一版：第1章至第12章，第21、22章中国精算师资格考试

③《金融市场与机构通论》（第二版）弗兰克 J 法伯兹 等原著 康卫华 主译东北财经大学出版社 2000年6月 第一版中国精算师资格考试

④《会计学》张文贤 主编 复旦大学出版社 1999年9月第一版中国精算师资格考试

（十）科目名称：保险公司财务管理中国精算师资格考试

1、 科目代码：011中国精算师资格考试

2、 考试时间：4小时中国精算师资格考试

3、 考试形式：选择题和问答题中国精算师资格考试

4、 考试内容：中国精算师资格考试

(1)财务管理基础： 公司组织形式；保险公司偿付能力管理中国精算师资格考试

(2)资本管理: 资本成本和资本结构; 筹资; 利润形成及分配;投资中国精算师资格考试

(3)财务分析: 收入、负债; 财务报表、财务指标; 信用评级中国精算师资格考试

(4)财务控制: 预算体系; 财务控制中国精算师资格考试

(5)战略财务管理: 财务再保险筹资; 并购; 剥离与清算中国精算师资格考试

(6)案例分析中国精算师资格考试

5、 参考书：为方便考生学习，中国保险行业协会精算工作委员会组织编制了《保险公司财务管理》及相关学习资料，请与各考试中心联系预订。中国精算师资格考试

（十一）、科目名称：保险法及相关法规中国精算师资格考试

1、科目代码： 012中国精算师资格考试

2、考试时间： 3小时中国精算师资格考试

3、考试形式： 选择题和问答题中国精算师资格考试

4、考试内容： 本科目考试内容主要涉及保险法、民法、税法、公司法四部分，各部分考察的知识要点列举如下：中国精算师资格考试

(1)保险法（分数比例：50%）中国精算师资格考试

①保险法的概念、内容中国精算师资格考试

保险法的概念 制定保险法的目的和原则 保险法的适用范围 保险法的历史沿革 中国精算师资格考试

②保险合同法中国精算师资格考试

保险合同概述 保险合同的概念 保险合同的分类 保险合同的主体 保险标的 保险利益 保险合同的载明事项 再保险合同 中国精算师资格考试

保险合同的订立和履行 保险合同的订立 保险合同的成立、生效及保险责任的开始 保险合同的变更 保险合同的解除 如实告知义务、明确说明义务、保险合同的解释中国精算师资格考试

财产保险合同 财产保险合同的概念与特征 财产保险合同的转让 保险标的危险程度的变化 合同解除与保险费退还 保险价值与赔偿方式 重复保险 权利转让 代位求偿权 中国精算师资格考试

人身保险合同 人身保险合同的概念与特征 人身保险合同中的保险利益 年龄误告的处理 对死亡保险的限制 关于受益人的规定 人寿保险单的现金价值 合同效力的中止和复效 法定除外责任中国精算师资格考试

③保险业法中国精算师资格考试

保险公司 保险公司的组织形式（股份有限公司、国有独资公司、有限责任公司、外资保险公司） 保险公司的设立（设立条件、设立程序） 保险公司的组织结构 保险公司的解散、破产和清算中国精算师资格考试

保险经营规则 保险公司的业务范围（业务分类、分业经营） 责任准备金、公积金、公益金和保险保障基金 偿付能力（概念、世界主要国家保险公司偿付能力监管比较、我国偿付能力监管的规定） 再保险（概念、再保险的作用、法定最高自留额、法定再保险） 保险公司的资金运用（资金运用原则、方式、范围、限制 我国保险资金运用方式）

保险业的监督管理 保险监管的概念和必要性 保险条款和费率的监管 现场和非现场检查 保险公司的整顿和接管 对外国保险公司分公司的监管 关联交易监管，

指定参考书目：中国精算师资格考试

1．《保险法论》，秦道夫主编，机械工业出版社2000年8月版。中国精算师资格考试

2《各国保险法规制度对比研究》(第四篇、第五篇、第七篇、第十篇)，马永伟主编，中国金融出版社2001版。，

(2)民法（分数比例：30%）中国精算师资格考试

①民法概述中国精算师资格考试

民法的调整对象 民法的基本原则 民事法律关系（概念、构成要素）中国精算师资格考试

②自然人中国精算师资格考试

自然人的民事权利能力 自然人的民事行为能力 自然人的住所 监护 宣告失踪与宣告死亡中国精算师资格考试

③法人中国精算师资格考试

法人概述 法人机关 企业法人的分支机构中国精算师资格考试

④民事法律行为中国精算师资格考试

民事行为与民事法律行为概述 民事行为的成立与生效 民事法律行为的有效要件 附条件与附期限的民事法律行为 无效的民事行为 可变更、可撤销的民事行为 效力未定的民事行为中国精算师资格考试

⑤代理中国精算师资格考试

代理的概念和特征 代理的分类 代理权 无权代理中国精算师资格考试

⑥诉讼时效与期限中国精算师资格考试

诉讼时效 期限中国精算师资格考试

⑦物与物权中国精算师资格考试

物的概念 物的分类 有价证券 物权的概念和效力 物权的变动 所有权 共有 担保物权中国精算师资格考试

⑧债权中国精算师资格考试

债的概念 债的发生原因（合同、侵权行为、无因管理、不当得利） 债的移转和消灭 债的保全和担保中国精算师资格考试

⑨合同中国精算师资格考试

合同的概念、特征 合同的分类 合同的订立 合同的解释 合同的变更 合同的解除 合同责任中国精算师资格考试

⑩亲属中国精算师资格考试

结婚 离婚 夫妻关系 父母子女关系中国精算师资格考试

⑾继承权中国精算师资格考试

继承权概述 法定继承 遗嘱继承 遗赠 遗赠抚养协议中国精算师资格考试

遗产的概念和范围 遗产的处理中国精算师资格考试

⑿侵权行为中国精算师资格考试

侵权行为概述 侵权行为归责原则 一般侵权行为构成要件 共同侵权行为 特殊侵权行为 侵权责任，

指定参考书中国精算师资格考试

《民法》，2001年全国律师资格考试指定用书，法律出版社2001年版。，

(3)税法（分数比例：15%）中国精算师资格考试

①税法概论中国精算师资格考试

税法概念 税法的地位与其他法律的关系 我国税收的立法原则 我国税法的制定与实施 我国现行税法体制 我国税收管理体制中国精算师资格考试

②营业税法中国精算师资格考试

纳税义务人 税目、税率 计税依据 应纳税额的计算 几种经营行为的税务处理 税收优惠 纳税义务发生时间与纳税期限 纳税地点与纳税申报中国精算师资格考试

③印花税法中国精算师资格考试

纳税义务人 税目、税率 应纳税额的计算 税收优惠 征收管理与纳税申报中国精算师资格考试

④企业所得税法中国精算师资格考试

纳税义务人及征税对象 税率 应纳税所得额的计算 资产的税务处理 股权投资与合并分立的税务处理 应纳税额的计算 税收优惠 税额扣除 征收管理与纳税申报中国精算师资格考试

⑤个人所得税法中国精算师资格考试

纳税义务人 所得来源的确定 应税所得项目、税率 应纳税所得额的规定 应纳税额的计算 税收优惠 境外所得的税额扣除 纳税申报及缴纳，

指定参考书中国精算师资格考试

1．2002年注册会计师《税法》指定教材，财政部CPA编委会，经济科学出版社。中国精算师资格考试

2 《税法》（修订本），严振生主编，中国政法大学出版社1999年版。，

(4)公司法（分数比例：5%）中国精算师资格考试

①公司概述中国精算师资格考试

公司的概念与法律特征 公司的种类 中国精算师资格考试

②公司法的基本制度中国精算师资格考试

公司的名称 公司住所 公司的权力能力和行为能力 公司资本、公司资产与股东权益 公司的设立与成立 公司的合并与分立 公司的解散与清算 公司财务、会计 公司债中国精算师资格考试

③有限责任公司中国精算师资格考试

有限责任责任公司的概念与特征 有限责任公司的分类 有限责任公司的设立 有限责任公司的股东及股东出资 有限责任公司的组织机构 转让出资和增减资本 合并、分立和变更公司形式 有限责任公司的解散、清算 国有独资公司中国精算师资格考试

④股份有限公司中国精算师资格考试

概述 股份有限公司的设立 股份、股票、股东权 股东大会 董事会 监事会中国精算师资格考试

⑤关联公司中国精算师资格考试

关联公司的概念和法律特征 关联公司与几种特殊公司 关联公司相互关系的法律调整

指定参考书

《新编公司法教程》(第二版)，江平主编，法律出版社2003年版。

考试不限定时间，过完为止。每年考两次，好像都是在各个高校中报考。应该有大学本科学历。

就这么多你参考一下吧。

(内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特 010051)

摘 要：本文采用基于误差反向传播算法（BP算法）的人工神经网络技术，利用Mat lab神经网络工具箱，建立了固体火箭发动机比冲性能预测的神经网络模型，并利用实验数据进行了验证。结果表明，可以利用该方法开展固体火箭发动机比冲性能的预测。

关键词：固体火箭发动机比冲；

BP算法；

Mat lab神经网络工具箱；

人工神经网络

中图分类号：V435∶TP183 文献标识码：A 文章编号：1007—6921(2007)08—0073—02

固体火箭发动机性能参数预测是发动机设计和研究的基本课题之一，正确预测发动机性能参数是提高发动机性能指标和精度并缩短研制周期的关键和基础。比冲性能的预测目前有两种方法。一种是以历次试验得到的修正系数对新设计的发动机的理论比冲进行修正。另一种是通过计算各种损失来预估比冲。这些方法存在需要样本数据大和预测精度差的缺点。

神经网络理论由于自身固有的超强适应能力和学习能力在很多领域获得了极其广泛的应用，解决了许多传统方法难以解决的问题。由于神经网络学习算法在数学计算上比较复杂过程也比较繁琐，容易出错。因此，采用神经网络软件包成为必然的选择。本文采用现在应用最为广泛的MATLAB神经网络工具箱，利用基于BP算法的人工神经网络建立固体火箭发动机比冲性能预测模型，以提高比冲的预测精度。

1 BP神经网络模型

BP网络由于结构简单，具有较强的非线性映射能力，是应用最为广泛的一类神经网络。BP神经网络的学习过程分为信息的正向传播过程和误差的反向传播过程两个阶段。外部输入的信号经输入层、隐含层的神经元逐层处理向前传播到输出层，给出结果。如果在输出层得不到期望输出，则转入逆向传播过程，将实际值与网络输出之间的误差沿原来联结的通路返回，通过修改各层神经元的联系权值，使误差减少，然后再转入正向传播过程，反复迭代，直到误差小于给定的值为止。

2 MATLAB神经网络工具箱的应用

神经网络工具箱是在Mat lab环境下开发出来的许多工具箱之一，它以人工神经网络理论为基础，用MATLAB语言构造出典型神经网络的激活函数，在网络训练过程中使用的是Mat lab

65 for Windows软件，对于网络的训练使用了Neural Networks Toolbox for Mat lab。美国的Math work公司推出的MATLAB软件包既是一种非常实用有效的科研编程软件环境，又是一种进行科学和工程计算的交互式程序。MATLAB本身带有神经网络工具箱，可以大大方便权值训练，减少训练程序工作量，有效的提高工作效率。

3 影响固体火箭发动机比冲性能的因素

比冲是反映发动机所用推进剂能量高低和内部工作过程完善程度的重要技术指标。影响比冲性能的因素很多，主要包括以下几项：喷管喉径、喷管潜入比、平均扩张比、工作时间、扩散半角、平均工作压强、平均燃速、推进剂密度。由于固体火箭发动机的全尺寸试车需要耗费大量的人力、物力和财力。因此比冲的试验数据比较缺乏，本文共收集了6组数据样本，选定其中的5组作为训练样本，一组作为测试样本。每组数据样本前8项为输入因子，输出因子为实际比冲。利用这6组数据对网络进行训练、测试。

4 网络模型设计

BP网络的设计主要包括输入层、隐层、输出层及各层之间的传输函数几个方面。

41 网络层数。BP网络可以包含不同的隐层，理论上已经证明：具有偏差和至少一个S型隐含层加上一个线性输出层的网络，能够逼近任何有理函数。对隐含层层数的经验选择为：对于线性问题一般可以采用感知器或自适应网络来解决，而不采用非线性网络，因为单层不能发挥出非线性激活函数的特长；

非线性问题，一般采用两层或两层以上的隐含层，但是误差精度的提高实际上也可以通过增加隐含层中的神经元数目获得，其训练效果也比增加层数更容易观察和调整，所以一般情况下，应优先考虑增加隐含层中的神经元数。

42 输入层的节点数和输出层的节点数。输入层起缓冲存储器的作用，它接收外部的输入数据，因此其节点数取决于输入矢量的维数。由于固体火箭发动机比冲性能预测的输入样本为8维的输入向量，因此，输入层一共有8个神经元。

输出层的节点数取决于两个方面，输出数据类型和表示该类型所需的数据大小。由于固体火箭发动机比冲性能预测的输出样本为1维的输出向量，因此，输出层有1个神经元。

43 隐含层神经元的节点数。隐含层神经元的节点数确定是通过对不同神经元数进行训练对比，然后适当的增加一点余量。根据前人经验，可以参照以下公式进行设计：



式中：n为隐层节点数；

n i 为输入节点数；



n 0 为输出节点数；

a为1～10之间的常数。

根据这一原则此BP网络的隐含层神经元的节点数为[KF(]8+1[KF)]+a（a＝1～10），取为13。

44 传输函数。一般情况下BP网络结构均是在隐含层采用S型激活函数，而输出层采用线性激活函数。

45 训练方法的选取。采用附加动量法使反向传播减少了网络在误差表面陷入低谷的可能性有助于减少训练时间。太大的学习速率导致学习的不稳定，太小值又导致极长的训练时间。自适应学习速率通过保证稳定训练的前提下，达到了合理的高速率，可以减少训练时间。

46 学习速率的经验选择。一般情况下倾向于选取较小的学习速率以保证系统的稳定性，学习速率的选取范围在001～08之间。此网络学习速率选取为005。

47 期望误差的选取。一般情况下，作为对比，可以同时对两个不同的期望误差值的网络进行训练，最后通过综合因素的考虑来确定其中一个网络。

综上所述：BP网络拓扑结构为8×13×1的结构。中间层神经元的传递函数为S型正切函数tansig。由于输出已被归一化到区间［0,1］中，输出层神经元的传递函数可以设定为S型对数函数logsig。网络的训练函数采用学习率可变的动量BP算法修正神经网络的权值和阀值函数traingdx。

5 网络的训练与测试

在对神经网络进行学习训练以及预测比冲时，必须先对输入输出数据进行预处理，即归一化或标准化，将网络的输入输出数据限制在［0，1］区间内。进行归一化的主要原因有：①网络的各个输入数据常常具有不同的物理意义和不同的量纲，归一化可使得各输入分量被赋以同等重要的地位；

②某些输入变量的值可能与其它输入变量相差甚远，归一化可避免数值大的变量掩盖数值小的变量；

③可以避免神经元饱和。

6组实测数据样本经过归一化处理后的数据如表1所示。



用仿真函数sim来计算网络的输出，其预报误差曲线如图1。



由图可见，网络预测值和真实值之间的误差是非常小的，均小于3%。完全满足应用要求。

6 结论

神经网络作为一种输入／输出的高度非线性映射，通过对作用函数的多次复合，实现了固体火箭发动机比冲性能参数预测。并得到以下结论：

61 无需建立系统的数学模型，只要有足够的训练样本（由实验数据或仿真数据得到）即可预测。

62 BP网络根据样本数据，通过学习和训练，找出输入与输出之间的关系，从而求取问题的解，而不是依据对问题的经验判断，因而具有自适应功能，克服了统计回归方法分析小样本数据的不足。

63 结果表明，训练好的BP网络模型可以较准确的开展固体火箭发动机比冲性能的预测。

64 模型预测的规律受样本的性质影响，由于固体火箭发动机比冲的实验数据比较缺乏，因此本模型还有待于进一步的试验数据验证。

［参考文献］

［1］ 刘佩进，吕翔，何国强基于人工神经网络的燃速相关性研究［J］推进技术，2004，25(2)：156-158

［2］ 张宇星基于神经网络原理的固体火箭发动机比冲性能的预示研究［D］呼和浩特：内蒙古工业大学硕士研究生论文，2002

［3］ 飞思科技产品研发中心MATLAB65应用接口编程［M］北京：电子工业出版社，2003

［4］ 闻新，周露，王丹力，等Mat lab神经网络应用设计［M］北京：科学出版社，2000

［5］ 蒋宗礼人工神经网络导论［M］北京：高等教育出版社，2001

P01: 01背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max。

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[N][V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(NV)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1N，每次算出来二维数组f[i][0V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1N

for v=V0

f[v]=max;

其中的f[v]=max一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

总结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

P02: 完全背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max。这跟01背包问题一样有O(NV)个状态需要求解，但求解每个状态的时间则不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。

将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

转化为01背包问题求解

既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]2^k、价值为w[i]2^k的若干件物品，其中k满足c[i]2^k<V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。 但我们有更优的O(VN)的算法。 O(VN)的算法 这个算法使用一维数组，先看伪代码： <pre class"example"> for i=1N for v=0V f[v]=max;

你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max，将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

总结

完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。

P03: 多重背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则：f[i][v]=max。复杂度是O(V∑n[i])。

转化为01背包问题

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为∑n[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V∑n[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分02^k-1和2^kn[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V∑log n[i])的01背包问题，是很大的改进。

O(VN)的算法

多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片上。

小结

这里我们看到了将一个算法的复杂度由O(V∑n[i])改进到O(V∑log n[i])的过程，还知道了存在应用超出NOIP范围的知识的O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法，自己证明一下它的正确性，并用尽量简洁的程序来实现。

P04: 混合三种背包问题

问题

如果将P01、P02、P03混合起来。也就是说，有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。应该怎么求解呢？

01背包与完全背包的混合

考虑到在P01和P02中最后给出的伪代码只有一处不同，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(VN)。伪代码如下：

for i=1N

if 第i件物品是01背包

for v=V0

f[v]=max;

else if 第i件物品是完全背包

for v=0V

f[v]=max;

再加上多重背包

如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出O(VN)的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话，用P03中将每个这类物品分成O(log n[i])个01背包的物品的方法也已经很优了。

小结

有人说，困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论，但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来01背包、完全背包、多重背包都不是什么难题，但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实，领会三种基本背包问题的思想，就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。

P05: 二维费用的背包问题

问题

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

算法

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：f[i][v][u]=max。如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用顺序的循环，当物品有如完全背包问题时采用逆序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。

物品总个数的限制

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0V][0M]范围内寻找答案。

另外，如果要求“恰取M件物品”，则在f[0V][M]范围内寻找答案。

小结

事实上，当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

P06: 分组的背包问题

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有f[k][v]=max。

使用一维数组的伪代码如下：

for 所有的组k

for 所有的i属于组k

for v=V0

f[v]=max

另外，显然可以对每组中的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。

小结

分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如P07），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

P07: 有依赖的背包问题

简化的问题

这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说，i依赖于j，表示若选物品i，则必须选物品j。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。

算法

这个问题由NOIP2006金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法，将不依赖于别的物品的物品称为“主件”，依赖于某主件的物品称为“附件”。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。

按照背包问题的一般思路，仅考虑一个主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一个也不选，仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选择两个附件……无法用状态转移方程来表示如此多的策略。（事实上，设有n个附件，则策略有2^n+1个，为指数级。）

考虑到所有这些策略都是互斥的（也就是说，你只能选择一种策略），所以一个主件和它的附件集合实际上对应于P06中的一个物品组，每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品，其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法，因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。

再考虑P06中的一句话： 可以对每组中的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。 这提示我们，对于一个物品组中的物品，所有费用相同的物品只留一个价值最大的，不影响结果。所以，我们可以对主件i的“附件集合”先进行一次01背包，得到费用依次为0V-c[i]所有这些值时相应的最大价值f'[0V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于V-c[i]+1个物品的物品组，其中费用为c[i]+k的物品的价值为f'[k]+w[i]。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的，通过一次01背包后，将主件i转化为V-c[i]+1个物品的物品组，就可以直接应用P06的算法解决问题了。

更一般的问题

更一般的问题是：依赖关系以图论中“森林”的形式给出（森林即多叉树的集合），也就是说，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每个物品最多只依赖于一个物品（只有一个主件）且不出现循环依赖。

解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的是，由于附件可能还有附件，就不能将每个附件都看作一个一般的01背包中的物品了。若这个附件也有附件集合，则它必定要被先转化为物品组，然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。

事实上，这是一种树形DP，其特点是每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次DP以求得自己的相关属性。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完P08后，你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。

小结

NOIP2006的那道背包问题我做得很失败，写了上百行的代码，却一分未得。后来我通过思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解，还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系：物品不能既作主件又作附件，每个主件最多有两个附件，可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组，这便揭示了问题的某种本质。

我想说：失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。

P08: 泛化物品

定义

考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。

更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中，泛化物品是一个定义域为0V中的整数的函数h，当分配给它的费用为v时，能得到的价值就是h(v)。

这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0V]，给它费用v，可得到价值h[V]。

一个费用为c价值为w的物品，如果它是01背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当v被c整除时有h(v)=v/cw，其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品，那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/cw仅当v被c整除且v/c<=n，其它情况函数值均为0。

一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0V中的v，若物品组中不存在费用为v的的物品，则h(v)=0，否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P07中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。

泛化物品的和

如果面对两个泛化物品h和l，要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用v，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于0V的每一个整数v，可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即f(v)=max。可以看到，f也是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0V的函数，也就是说，f是一个由泛化物品h和l决定的泛化物品。

由此可以定义泛化物品的和：h、l都是泛化物品，若泛化物品f满足f(v)=max，则称f是h与l的和，即f=h+l。这个运算的时间复杂度是O(V^2)。

泛化物品的定义表明：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s，则答案就是s[0V]中的最大值。

背包问题的泛化物品

一个背包问题中，可能会给出很多条件，包括每种物品的费用、价值等属性，物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说，给定了所有条件以后，就可以对每个非负整数v求得：若背包容量为v，将物品装入背包可得到的最大价值是多少，这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言，求得这个泛化物品的一个子域（例如0V）的值之后，就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。

综上所述，一般而言，求解背包问题，即求解这个问题所对应的一个函数，即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。

小结

本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说，是我在学习函数式编程的 Scheme 语言时，用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象，也许在“模型的抽象程度”这一方面已经超出了NOIP的要求，所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的OI之路逐渐延伸，有一天你会理解的。

我想说：“思考”是一个OIer最重要的品质。简单的问题，深入思考以后，也能发现更多。

P09: 背包问题问法的变化

以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。

例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。

还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。

下面说一些变化更大的问法。

输出方案

一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。

还是以01背包为例，方程为f[i][v]=max。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）：

i=N

v=V

while(i>0)

if(g[i][v]==0)

print "未选第i项物品"

else if(g[i][v]==1)

print "选了第i项物品"

v=v-c[i]

另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[i][v]的值实时地求出来，也即不须纪录g数组，将上述代码中的g[i][v]==0改成f[i][v]==f[i-1][v]，g[i][v]==1改成f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]也可。

输出字典序最小的最优方案

这里“字典序最小”的意思是1N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出01背包最小字典序的方案为例。

一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品1的最优方案，那么答案一定包含物品1，原问题转化为一个背包容量为v-c[1]，物品为2N的子问题。反之，如果答案不包含物品1，则转化成背包容量仍为V，物品为2N的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以iN而非前所述的1i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。

在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从N到1输入时，如果f[i][v]==f[i-v]及f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立，应该按照后者（即选择了物品i）来输出方案。

求方案总数

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是01背包中的物品，转移方程即为f[i][v]=sum，初始条件f[0][0]=1。

事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。

最优方案的总数

这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。还是以01背包为例。

结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：f[i][v]意义同前述，g[i][v]表示这个子问题的最优方案的总数，则在求f[i][v]的同时求g[i][v]的伪代码如下：

for i=1N

for v=0V

f[i][v]=max

g[i][v]=0

if(f[i][v]==f[i-1][v])

inc(g[i][v],g[i-1][v]

if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])

inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])

如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。

小结

显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于NOIP，应该也不难想出算法。

触类旁通、举一反三，应该也是一个OIer应有的品质吧。