如何比较两个对数的大小？

可以根据指对函数的单调性和找中间量两中方法。

先说单调性方法，

1

如果是底数一样可以用此方法，底数大于一，函数单增，指数越大，值越大，底数大于零小于一，函数单减，指数越小，值越大。对于对数函数，也是如此。

2

对于指数函数，如果指数相同，底数不同，实质上应用的是幂函数的单调性。

对于对数函数，如果真数相同，底数不同，如果底数都大于一，那么，告诉你一个规律，对数函数的图像，在x轴以上底数小的在上面，底数大的在下面，在X轴以下相反。这样，画出图像，竖着画一条平行于Y轴的线，就一目了然了。其实，总结一下的话，就是真数相同，底数大于一，底数越小，对数值越大。相反，底数小于一，在x轴以上底数小的在下面，底数大的在上面。

还有一种计算的方法，对于底数不同，真数相同的，可以很快的化同底，运用了一个结论：logm

n=1/logn

m9可用换底公式推。比如log2

5和log7

5，log2

5=1/log

5

2,log7

5=1/log5

7因为log5

7>log

5

2所以1/log5

7<1/log

5

2即log7

5<log2

5

找中间值法，一般是对于对数函数而言的，先看正负，若一正一负，自然好，比如lg2和lg05

若为同号，就和1比，如lg8(＜1）和lg12（＞1）

还有，有时可以先化简再比较，原则是化为同底数，什么样的对数可以化为同底？这里不要使用换底公式的话，一般是底数或真数同为某个数的幂次才行。比如log2

5和log8

27(以八为底），log8

27=log2

3<log2

5

有些情况，对数值符号相同，也都大于一，真数底数都不同，也不能用公式直接化同底，用初等办法就无法做了，高考是不会考的。在此不加赘述。

望采纳！

详细解法如下图：

方法：两边取对数，然后进行求导。

扩展资料

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对数和指数的转换公式是：a^y=xy=log(a)(x)。

对数函数的一般形式为 y=logax，它实际上就是指数函数的反函数，图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数，可表示为x=a^y。

因此指数函数里对于a存在规定：a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。

比较两个指数式或对数式的大小

可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的大小。求函数y=afx的单调区间，应先求出fx的单调区间，然后根据y=au的单调性来求出函数y=afx的单调区间。

求函数y=logafx的单调区间，则应先求出fx的单调区间，然后根据y=logau的单调性来求出函数y=logafx的单调区间。

由公式x=e^lnx（lnx=e的某个值次方等于x，e^（e的某个值次方）等于x，即x=e^lnx） 转化x=e^lnx （m^x代替x，m^x为任意指数，任意指数的值也同等于x）

m^x=e^lnm^x （m^x=x）

m^x=e^[（lnm）x ]（幂法则 loga X^y=ylogaX）

以此任意指数值m^x都可以转变以e为底的对数函数。

指数函数，y=ax(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别。

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)。

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。

扩展资料

1、指数运算

有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式。

在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达到化繁为简的目的。

2、对数运算

(1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法。

(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用lg 5＋lg 2＝1来求解。

(3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简求值。

(4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立。

a^y=x→y=log(a)(x) [y=log以a为底x的对数]

指数式变成对数式的方法如下：

（1）可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的大小

（2）求函数y=af（x）的单调区间,应先求出f（x）的单调区间,然后根据y=au的单调性来求出函数y=af（x）的单调区间．求函数y=logaf（x）的单调区间,则应先求出f（x）的单调区间,然后根据y=logau的单调性来求出函数y=logaf（x）的单调区间

（3）根据对数的定义,可将一些对数问题转化为指数问题来解

（4）通过换底,可将不同底数的对数问题转化为同底的对数问题来解

（5）指数方程的解法：（iii）对于方程f（ax）=0,可令ax=y,换元化为f（y）=0

（6）对数方程f（logax）=0,可令logax=y化为f（y）=0（7）对于某些特殊的指数方程或对数方程可通过作函数图象来求其近似解

扩展资料：

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

函数  叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量。对数函数的定义域是  。

函数基本性质

1、过定点  ，即x=1时，y=0。

2、当  时，在  上是减函数；当  时，在  上是增函数。

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。

当指数  时， 

当指数  ，且n为整数时， 

当指数  时， 

当指数  时，称为平方

当指数  时，称为立方

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ表示n个a连乘。当n=0时，aⁿ=1。

参考资料：

-指数 -对数

函数是OFFICE系统中EXCEL帮助大家简便运算的公式代码

对数的概念

英语名词：logarithms

如果a^b=n，那么log(a)(n)=b。其中，a叫做“底数”，n叫做“真数”，b叫做“以a为底的n的对数”。

log(a)(n)函数叫做对数函数。对数函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

对数的历史

对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：

n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……

2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……

这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。

对数的性质及推导

定义：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3、与（2）类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4、与（2）类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

函数图象

1对数函数的图象都过(1,0)点

2对于y=log(a)(n)函数,

①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1

②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(10)点为轴逆时针转动,但不超过X=1

3与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称

其他性质

性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

推导如下：

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)][log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)][log(b)(a)]}

所以 log(b)(N) = [log(a)(N)][log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

性质二：（不知道什么名字）

log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式[lnx是log(e)(x)e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)÷ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m) = [n×ln(a)]÷[m×ln(b)] = (m÷n)×{[ln(a)]÷[ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）

公式三：log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下：

由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数

log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

参考资料：

http://baikebaiducom/view/356htmlwtp=tt

log是对数函数，是数学里的基本函数！英语名词：logarithms。如果a^b=n，那么log(a)(n)=b。其中，a叫做“底数”，n叫做“真数”，b叫做“以a为底的n的对数”。

log(a)(n)函数叫做对数函数。对数函数中n的定义域是n>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

这些东西在里面都有很清楚的解释。