有哪位大哥,大姐知道复变函数与拉普拉斯变换是讲什么的 ,学习的重点应该是哪儿,具体是哪个内容?

第八章 拉普拉斯变换

基本要求：

1 掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；

2 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；

3 利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。

引言：所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使用的教学工具就是拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。下面回顾“变换”的概念。

1、对数与指数的变换

为求乘积ab

可先取对数 ln(ab)= lna+lnb

再取指数运算

2、相量与正弦量的变换

为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。

其中 此复数的模 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。这种对应关系就是一种变换。

§8-1 拉普拉斯变换

讲述要点：1 拉普拉斯变换的定义

2常见函数的拉普拉斯变换

一．拉普拉斯变换

定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数

其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；

右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为

其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

二．拉普拉斯反变换

这是复变函数的积分

拉氏变换和拉氏反变换可简记如下

F(S)=L[f(t)] ； f(t)=L-1[F(s)]

三．拉氏变换的收敛域：

例8-1-1 单边指数函数 （其中a为复常数）

当 ＞0时，结果为有限值即

具体的说,即Re[s]- Re[a]=σ- Re[a] > 0 有σ> Re[a]这时eatε(t)的拉氏变换存在。我们称σ> Re[a]的s=σ+jω的范围为该函数的拉氏变换的收敛域，一般而言，对一个具体的单边函数f(t)，并非所有的σ值都能使f(t)eσt绝对可积，即把能使用f(t)eσt绝对可积的s的范围称为单边函数f(t)的拉氏变换的收敛域。

收敛域可以在s平面上表示出来，如下图。

如前例变换的收敛域为:σ> Re[a]=σO

例8-1-2， 单位冲激函数δ(t)的象函数

收敛域为整个s平面

例8-1-3 单位阶跃函数ε（t）的象函数

收敛域σ>0 , 右半s平面

§8-2 拉普拉斯变换的基本性质

讲述要点：微分定理，积分定理， 时域卷积定理

假定以下需进行拉氏变换的函数，其拉氏变换都存在

1、线性组合定理

L[af1(t)±bf2(t)]=aL[f1(t)]±b[f2(t)]

若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合。

例8-2-1 求sinωtε(t)的象函数

同理可得L[cosω(t)]=

此二函数的拉氏变换收敛域为

2、微分定理 设 L[f(t)]=F(s)，则有

证明：

其中 这是可以进行拉氏变换的条件，即f(t)乘上 必衰减为零(t→∞)才能绝对可积。于是有

=SL[f(t)-f(0-) 得证！

f(t)的二阶导数的象函数，可重复利用微分定理

=S {sL[f(t)]-f(0-)}- f/(0-)

=S2L[f(t)]-Sf(0-)-f/(0-)

f(t)的n阶导数的象函数应为

记入f(0-)到f(n-1)(0-)共n个原始值

例8-2-2 某动态电路的输入—输出方程为

原始值为r(0-)及r/(0-) ，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。

解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有

E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)]

两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得

[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)

整理合并得

（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0

反变换得 r(t)=L-1[R(s)]

3、积分定理

设 L[f(t)]=F(s)，则有

积分上限也应为0-

例8-2-3 根据单位阶跃函数的象函数确定 的原函数

解：

·ε（t）的象函数为 ，

·ε（t）的积分为单边倾斜函数，即

而

同理

进而有

；

反过来有

4、时域位移定理

设 L[f(t)ε(t)]=F(s)，则有

L[f(t-t0)ε(t-t0)]= F(s)

此定理表明f(t)推迟t0出现则象函数应乘以一个时延因子

5、时域卷积定理

设 L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)

则有 L[f1(t) f2(t)]= F1(s) F2(s)

例8-2-5 图2-2-5所示电路中，电压源为 ，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)

解：令激励电压为单位冲激电压δ (t)，则初值为

冲激响应电流为

h(t)=

零状态响应电流为卷积积分

i(t)=u(t) h(t)=u(t) 图2－2－5

进行拉普拉斯变换 L[i(t)]=U(s)H(s)=U(s)×L[h(t)]

故

查表8-2-1第13项，得

终值定理：设L[f(t)]=F(s)，则有

例：已知L[f1(t)]=F1(s) ，求f1(∞)；L[f2(t)]=F2(s) ，求f2(∞)

解：

参考资料：

http://wwwjpkccqeducn:8080/s/word/shoukejiexuan8doc

一般只需要高数基础，留数就是复变函数里面的知识。总的来说，在大学工科课程里面，高数都是最重要的，后期所用的数学模型都是以高数为基础。而复变函数和积分变换是电路、自动控制等相关专业课程的基础，做时域和频域分析时必不可少，能使数学问题分析得到极大的简化。总的来说，建议学好一点，对后期学习帮助很大！如果你是工科生，那就常年要用到

　　拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。

　　如果定义：

　　f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,；

　　s, 是一个复变量；

　　mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。

　　则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出：

　　F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

　　拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。

　　拉普拉斯逆变换的公式是：

　　对于所有的t>0,；

　　f(t)

　　= mathcal ^ left

　　=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds

　　c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。

　　为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

　　用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：

　　如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。

　　函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

　　在工程学上的应用

　　应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。