信号与系统 卷积和 题目 最后三步为什么？

倒数第三步是冲激函数的卷积性质

倒数第二步是冲激函数的定义   其中k=0时  a的0次幂为1

最后一步就是冲激函数的值为1

 

门函数本身由单位阶跃信号和延时的单位阶跃信号构成，多用来截取某信号一个时间段。没什么尺度变换，就算它前面有个系数，感觉它的幅值不再是1，其实你可以把它前面的统统看做一个函数，是在对这个函数进行变换，它本身幅值永远为1，“单位”二字嘛。

冲击信号在0处为无界函数，按理说幅值为无穷，我们一般说的1表示他的冲击强度，其实是他在整个时间域上的面积！

这两个函数都是人为规定的，你不必纠结于这些概念的细节的东西上，只要会用他去变换其他函数就行了。不知道你理解怎么样？

卷积积分是一种数学运算，那么既然是数学运算，那么就得有数学的特性——定义、性质、定理。

本文将从卷积积分的理论、案例、求解方法、知识图谱四方面介绍卷积积分！

· 卷积积分定义：

• 卷积积分理解：

卷积积分定义描述得如此抽象，能不能给个生动点的描述？有的，看下文！

字面上理解：

卷积： 卷，把蛋卷起来，叫蛋卷，卷积，就是把多个蛋卷 积起来，求重叠部分面积！

符号： 卷积是一种数学运算，我们学过的数学运算有加减乘除，那么我们来看看，卷积的符号和加号、乘号的关系！

故事上理解：

• 卷积积分性质：

微积分性质和时移特性最喜欢被冲激函数和阶跃函数使用：阶跃函数的导数为冲激函数

· 案例1：与冲激函数的卷积

· 案例2：与阶跃函数的卷积

求解卷积积分的方法应结合多种方法一起用

· 公式法求解卷积积分：

公式法包括了：定义法和性质法

图解法举例：

http://wwwdocincom/p-875032548htmldocfrom=rrela

花了这么久学的一个知识，我们总得知道他所处的知识体系的位置吧！废话不多说，看图！

卷积本身的知识图谱：

卷积在信号与系统中的位置：

1、筛选性质

如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数，则有

上式表明，信号x(t)与冲激函数相乘，筛选出连续时间信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀)，可以理解为冲激函数在t=t₀时刻对函数x(t)的一瞬间的作用，其值是冲激函数和x(t₀)相乘的结果，瞬间趋于无穷大。

2、取样性质

如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数，则有

冲激信号的取样特性表明，一个连续时间信号x(t)与冲激函数相乘，并在时间域

上积分，其结果为信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀) 。该式可以理解为冲激函数作用于函数x(t)，趋于稳态时最终作用的结果，即得到信号x(t)在t₀时刻的值x(t₀)。

3、导数性质

冲激函数的导数性质如下：

其证明如下：

4、尺度变换

冲激函数的尺度变换性质如下：

其推论明如下：

（1）

（2）

（3）当a=-1时 

（4）

为偶函数。

（5）

为奇函数

-冲激函数

首先要知道，Delta冲激函数是偶函数，所以实际上就是Delta(k-1)

卷积变成：Sigma求和{[方括号内不变]乘以Delta(n-k-1)}----Sigma是对k求和

然后可以看到u(k+1)造成求和区间变成-1到正无穷

而Delta(n-k-1)的存在，意味着只有在坐标n-1才有一个脉冲，根据n的取值不同，结果不同。

那么结果就是上述那个序列当n-1=-1（即n=0）时候才有第一个有值的结果，并且就等于原函数在-1的值，再往后面也是一样。

所以结果就是(05)^n 乘上u(n)---只是我习惯用n做自变量

如果你知道Delta冲激函数的性质就更简单了，刚才说了Delta冲激函数是偶函数，所以实际上就是Delta(k-1)，

任何一个函数卷积Delta(k)等于原函数，所以如果是(05)^n 乘上u(n)卷积Delta(k)，结果为原函数。

如果卷积的两个函数有时间轴上的移动（比如第一个函数相当于(05)^n 乘上u(n)左移了1，Delta(k-1)相当于右移了1），那么两者的移动会叠加到结果上。因此结果还是原函数[(05)^n 乘上u(n)]不变。

乘法我就打的“乘上”，没用，以免跟卷积混淆