反三角函数公式有哪些？关于反三角函数定义域及值域

　不积跬步无以至千里，不积小流无以至江海，知识是需要一点一滴积累起来的，下面由我为你精心准备了“反三角函数公式有哪些？关于反三角函数定义域及值域”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！

　 反三角函数公式有哪些？

　arcsin（-x）=-arcsinx

　arccos（-x）=π－arccosx

　arctan（-x）=-arctanx

　arccot（-x）=－arccotx

　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

　sin（arcsinx）=x=cos（arccosx）=tan（arctanx）=cot（arccotx）

　当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin（sinx）=x

　当x∈〔0，π〕，arccos（cosx）=x

　x∈（—π/2，π/2），arctan（tanx）=x

　x∈（0，π），arccot（cotx）=x

　x〉0，arctanx=arctan1/x，arccotx类似

　若（arctanx+arctany）∈（—π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan（x+y/1-xy）

　反三角函数定义域及值域

　反正弦函数

　正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

　反余弦函数

　余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1]， 值域[0，π]。

　反正切函数

　正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。

　反余切函数

　余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。

　反正割函数

　正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。

　反余割函数

　余割函数y=cscx在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。

麦克劳林级数为: tanx 其他级数可见于: 这里的: 是 n 次上/下数, 是 n 次伯努利数, (下面的)是 n 次欧拉数。 tan(t) = t + t^3/3 + (2 t^5)/

反双曲函数的泰勒级数展开式可以表示为：

反双曲正弦函数的泰勒级数展开式：

arcsinh(x) = x + 1/6 x^3 + 3/40 x^5 + 5/112 x^7 +

反双曲余弦函数的泰勒级数展开式：

arccosh(x) = ln(x + (x^2 - 1)^(1/2)) = ln(2x) + 1/2 (1/2^2) (x^2 - 1) - 1/4 (1/2^4) (x^2 - 1)^2 + 3/8 (1/2^6) (x^2 - 1)^3 -

反双曲正切函数的泰勒级数展开式：

arctanh(x) = x - 1/3 x^3 + 1/5 x^5 - 1/7 x^7 +

下面我们分别来证明这三个展开式：

反双曲正弦函数的泰勒级数展开式

由于反双曲正弦函数的导数是

(arcsinh(x))' = 1 / (1 + x^2)^(1/2)

因此，可以将反双曲正弦函数表示为以下积分形式：

arcsinh(x) = ∫[1, x] dt / (1 + t^2)^(1/2)

将被积函数展开成泰勒级数形式：

1 / (1 + t^2)^(1/2) = 1 + (-1/2) t^2 + (-1/2) (-3/2) t^4 + (-1/2) (-3/2) (-5/2) t^6 +

将展开式代入积分式中：

arcsinh(x) = ∫[1, x] dt (1 - 1/2 t^2 + 1/2 3/2 t^4 - 1/2 3/2 5/2 t^6 + )

积分后，得到反双曲正弦函数的泰勒级数展开式：

arcsinh(x) = x + 1/6 x^3 + 3/40 x^5 + 5/112 x^7 +

反双曲余弦函数的泰勒级数展开式

因为反双曲余弦函数是反双曲正弦函数的反函数，所以可以将反双曲余弦函数表示为：

arccosh(x) = ln(x + (x^2 - 1)^(1/2))

对 x 进行展开：

x + (x^2 - 1)^(1/2) = x + x(1 - 1/2 x^2 + 3/8 x^4 - 5/16 x^6 + )

将上式代入 arccosh(x) 的定义式中：

arccosh(x) = ln(x + x(1 - 1/2 x^2 + 3/8 x^4 - 5/16 x^6 + ))

化简可得：

arccosh(x) = ln(2x) + 1/2 (-1/2) (1/2) x^2 + 1/4 (-1/2) (-3/2) (1/2)^2 x^4 + 1/6 (-1/2) (-3/2) (-5/2) (1/2)^3 x^6 +

因此，反双曲余弦函数的泰勒级数展开式为：

arccosh(x) = ln(2x) + 1/2 (1/2^2) (x^2 - 1) - 1/4 (1/2^4) (x^2 - 1)^2 + 3/8 (1/2^6) (x^2 - 1)^3 -

反双曲正切函数的泰勒级数展开式

因为反双曲正切函数是反双曲正弦函数的反函数，所以可以将反双曲正切函数表示为：

arctanh(x) = ∫[0, x] dt / (1 - t^2)

将被积函数展开成泰勒级数形式：

1 / (1 - t^2) = 1 + t^2 + t^4 + t^6 +

将展开式代入积分式中：

arctanh(x) = ∫[0, x] dt (1 + t^2 + t^4 + t^6 + )

积分后，得到反双曲正切函数的泰勒级数展开式：

arctanh(x) = x - 1/3 x^3 + 1/5 x^5 - 1/7 x^7 +

因此，反双曲函数的泰勒级数展开式得证。

f(z)=1/(z+1)(z+2)在z=2的领域内展成c的解答过程如下：

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。

通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

扩展资料：

泰勒级数的发现历史：

希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 -芝诺悖论。后来，亚里士多德相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被德谟克利特接手以及后来的阿基米德。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。

进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。没到1715年，布鲁克泰勒 （Brook Taylor） 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。