做出有一个(-1,1)到(负无穷大,正无穷大)的一一对应,并写出这一对应的解析表达式

反双曲正切函数 y=arcth(x) = ln[(1+x)/(1-x)]/2

定义域 (-1,1) 值域 (-∞,+∞)

例如 ：函数 y=tan(πx / 2) x ∈(-1,1)，它的最小正周期是 T=π /（π/2）=2 ，是在（-1，1）上的单调递增的函 数，符合一一对应关系。

数学定义

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X，即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

函数图像判断技巧如下：

技巧一：定义域 影响函数定义域的限制条件主要有： ①分式中的分母不为0 ②偶次方根下的式子大于等于0 ③对数函数的真数大于0 ④ 0的非正数次方无意义 ⑤正切函数y=tanx，x≠kπ+π/2(k∈Z) 。

技巧二：奇偶性 在函数定义域关于y轴对称的前提下，判断f(x)与f(-x)的关系： 如果f(x)+f(-x)=0，则为奇函数，函数图像关于原点对称 如果f(x)=f(-x)，则为偶函数，函数图像关于y轴对称 。利用函数的奇偶性判断函数图像是关于原点对称还是关于y轴对称。

技巧三：特殊值点 根据函数表达式，当x取特殊值时，确定y的取值，从而确定函数的图像 。特殊值一般包括端点值和断点处的函数值。

技巧四：极限思想 当x￫+∞，x￫-∞，x￫a+或x￫a-时，先确定函数表达式的正负，然后再判断大小。这是“根据函数表达式判断函数图像”非常重要的解题思想。

技巧五：求导 对函数表达式进行求导，从而确定函数的单调性和极值情况。 

备注： 利用函数表达式确认函数图像，通常需要结合上面五种方法中的2-3种进行判断。

一、关系：

方程与函数都是由代数式组成。几何含义上函数与方程存在着联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图像与X轴交点；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

二、区别：

1、意义不同：方程重在说明几个未知数之间的在数字间的关系。函数重在说明某几个自变量的变化对因变量的影响。

2、求解不同：方程可以通过求解得到未知数的大小。特定的自变量的值就可以决定因变量的值。

3、变换不同：方程可以通过初等变换改变等号左右两边的方程式。函数只可以化简，但不可以对函数进行初等变换。

扩展资料：

初等函数：

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。

-方程

-数学函数

-初等函数

函数的表达方法有：列表法、图象法、解析式法。

用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。用图像的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。

1、解析式法。并不是所有函数都有解析式，对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的。

优点：能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系。

缺点：求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

2、列表法。第一，在已知函数部分性质的情况下，通过表中的数据比较函数的增减性；第二，通过数据进行函数的拟和或者求函数。

优点：通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值。

缺点：只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。

3、图像法。所有函数都有图像，但并不是所有图像都有函数，比如圆的方程，因为函数要满足一一对应性。在解决线性问题的时候，准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。

优点：通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来。

缺点：从图象观察得到的数量关系是近似的。

函数的范围比方程范围小，即方程包括函数。亦即函数本身即是特殊的方程，但方程不一定是函数。

方程——含有未知数的等式；

函数——把方程中的未知数分为自变量（可以有多个）和函数值（只有一个）两类，如果任意给定一组自变量的值能唯一得到一个函数值，那么这个方程就成为函数。即能“一一对映”

由平移公式可得

x'=x+h

y'=y+k

(

h=1,k=-1)

由于已知平移后的方程所以将x'和y'带入得，

y-1=(x+1)²-2(x+1)+2

化解可得y=f（x)=x²+2

标准解法拉，

最佳，谢谢。