在概率统计中，什么叫柯西分布

柯西分布也叫作柯西-洛仑兹分布，它是以奥古斯丁·路易·柯西与亨得里克·洛仑兹名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为

f(X;X0,γ)=1/πγ[1+(X-X0)平方/γ平方]

其中 x0 是定义分布峰值位置的位置参数，γ 是最大值一半处的一半宽度的尺度参数。

作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛仑兹分布或者 Breit-Wigner 分布 。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。

x0 = 0 且 γ = 1 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为

f(X;0,1)=1/π[1+X平方]

特性

其累积分布函数为：

F(X;X0,γ)=(1/π)arctan[(X-X0)/γ]+1/2

柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义，它的众数与中值有定义都等于 x0。

取 X 表示柯西分布随机变量，柯西分布的特性函数表示为：

Φx(t;X0,γ)=exp(iX0t-γt的绝对值)

如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话，那么比值 U/V 为柯西分布。

如果 X1, …, Xn 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数（X1 + … + Xn）/n 有同样的柯西分布。为了证明这一点，我们来计算采样平均的特性函数：

Φx拔(t)=E[exp(ix拔t)]

其中，X拔是采样平均值。这个例子表明不能舍弃中心极限定理中的有限变量假设。

柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布。当随机变量X满足它的概率密度函数时，称X服从柯西分布。柯西分布也叫作柯西一洛伦兹分布，它是以奥古斯丁-路易-柯西与亨德里克-洛伦兹名字命名的连续概率分布。

扩展资料

柯西分布具有如下特点：

1、数学期望不存在。

2、方差不存在。

3、高阶矩均不存在。

4、柯西分布具有可加性

根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。

-柯西分布

e(min{|x|,1})=={1-e^(-λ)}/λ

解：本题利用了柯西分布的性质求解。

Σ(x=0~n)e^-λ(λ^x/x!(x+1))

=[(e^-λ)/λ]{Σ(x=0~n)λ^(x+1)/(x+1)!}

={(e^-λ)/λ}(e^λ -1)

={1-e^(-λ)}/λ

扩展资料：

柯西分布具有以下性质：

(1)广义柯西分布不存在一阶矩；当  时，广义柯西分布不存在二阶矩。

(2)当m=1时，广义柯西分布即是常规定义下的柯西分布。对比柯西分布可知， 

(3)在所有的分布中，广义柯西分布具有最大的散布特性。即J1‘义柯两分布具有最大的拖尾概率。

-柯西分布

http://zhadvantacellcom/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E5%88%86%E5%B8%83

柯西分布也叫作柯西-洛仑兹分布，它是以奥古斯丁·路易·柯西与亨得里克·洛仑兹名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为

f(X;X0,γ)=1/πγ[1+(X-X0)平方/γ平方]

其中 x0 是定义分布峰值位置的位置参数，γ 是最大值一半处的一半宽度的尺度参数。

作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛仑兹分布或者 Breit-Wigner 分布 。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。

x0 = 0 且 γ = 1 的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为

f(X;0,1)=1/π[1+X平方]

特性

其累积分布函数为：

F(X;X0,γ)=(1/π)arctan[(X-X0)/γ]+1/2

柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义，它的众数与中值有定义都等于 x0。

取 X 表示柯西分布随机变量，柯西分布的特性函数表示为：

Φx(t;X0,γ)=exp(iX0t-γt的绝对值)

如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话，那么比值 U/V 为柯西分布。

如果 X1, …, Xn 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数（X1 + … + Xn）/n 有同样的柯西分布。为了证明这一点，我们来计算采样平均的特性函数：

Φx拔(t)=E[exp(ix拔t)]

其中，X拔是采样平均值。这个例子表明不能舍弃中心极限定理中的有限变量假设。

这就是我最终的回答，谢谢你的耐心，非常感谢~~

都是柯西分布。

两个相同正态分布，他们相除都得到柯西分布，柯西分布的方程是：设X～N(0,σ1)，Y～N(0,σ2)。令U=X/Y，记d=σ1/σ2，则U的密度函数=d/(π(u^2+d^2))。

根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。

扩展资料：

两种分布的特征

一、正态分布

1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

二、柯西分布

1、数学期望不存在。

2、方差不存在。

3、高阶矩均不存在。

4、柯西分布具有可加性。

-柯西分布

-正态分布

《概率论基础教程》

作者：（美）罗斯

第1章 组合分析

11 引言

12 计数基本法则

13 排列

14 组合

15 多项式系数

16 方程的整数解个数

小结

习题

理论习题

自检习题

第2章 概率论公理化

21 简介

22 样本空间和事件

23 概率论公理

24 几个简单命题

25 等可能结果的样本空间

26 概率：连续集函数

27 概率：确信程度的度量

小结

习题

理论习题

自检习题

第3章 条件概率和独立性

31 简介

32 条件概率

33 贝叶斯公式

34 独立事件

35 P(￠jF) 为概率

小结

习题

理论习题

自检习题

第4章 随机变量

41 随机变量

42 离散型随机变量

43 期望

44 随机变量函数的期望

45 方差

46 伯努利随机变量和二项随机变量

461 二项随机变量的性质

462 计算二项分布函数

47 泊松随机变量

48 其他离散型分布

481 几何随机变量

482 负二项分布

483 超几何随机变量

484 3 (Zipf) 分布

49 随机变量和的期望值

410 分布函数的性质

小结

习题

理论习题

自检习题

第5章 连续型随机变量

51 简介

52 连续型随机变量的期望和方差

53 均匀分布的随机变量

54 正态随机变量

55 指数随机变量

56 其他连续型分布

561 Γ分布

562 威布尔分布

563 柯西分布

564 ˉ 分布

57 随机变量函数的分布

小结

习题

理论习题

自检习题

第6章 随机变量的联合分布

61 联合分布函数

62 独立随机变量

63 独立随机变量的和

631 均匀分布的随机变量

632 Γ随机变量

633 正态随机变量

634 泊松随机变量和二项随机变量

635 几何随机变量

64 离散情形下的条件分布

65 连续情形下的条件分布

66 次序统计量

67 随机变量函数的联合分布

68 可交换随机变量

小结

习题

理论习题

自检习题

第7章 期望的性质

71 引言

72 随机变量和的期望

721 通过概率方法将期望值作为界

722 关于最大数与最小数的恒等式

73 试验序列中事件发生次数的矩

74 协方差、和的方差及相关系数

75 条件期望

751 定义

752 利用条件计算期望

753 利用条件计算概率

754 条件方差

76 条件期望及预测

77 矩母函数

78 正态随机变量进一步的性质

781 多元正态分布

782 样本均值与样本方差的联合分布

79 期望的一般定义

小结

习题

理论习题

自检习题

第8章 极限定理

81 引言

82 切比雪夫不等式及弱大数律

83 中心极限定理

84 强大数律

85 其他不等式

86 用泊松随机变量逼近独立的伯努利随机变量和的概率误差界

小结

习题

理论习题

自检习题

第9章 概率论的其他课题

91 泊松过程

92 马尔可夫链

93 惊奇、不确定性及熵

94 编码定理及熵

小结

理论习题

自检习题

第10章 模拟

101 引言

102 具有连续分布函数的随机变量的模拟技术

1021 反变换方法

1022 舍取法

103 模拟离散分布

104 方差缩减技术

1041 利用对偶变量

1042 利用“条件”缩减方差

1043 控制变量

小结

习题

自检习题