真值函数的联结词的完备集

一、n元真值函数 n元函数就是有n个自变量的函数。 n元真值函数就是自变量和函数值都是真值（即0或1）的函数。　一元真值函数有四个，如表25

表25　1元真值函数

二元真值函数有16个，如表26

表26　2元真值函数

一般地，n元真值函数共有多少个呢？

每个自变量有2个取值方式，n个自变量共有2 个不同取值方式。对n个自变量的每个取值方式，函数值有2个取值方式，即为0或1，故n元真值函数共有个。

例如，3元真值函数共有=256个。

一般地，函数F:{0,1}→{0,1}称为n元真值函数，其中：{0,1}为{0，1}的卡氏积。

陈述或命题被称为是真值泛函的628如果它的真值由它的部件的真值来决定。比如，＆quot；Paulos停幔颍簦椋睢≡冢玻埃埃茨辏丛拢玻叭帐羌幽么笫紫啵Γ瘢酰铮簦弧∈钦娴模Γ瘢酰铮簦唬牵澹铮颍纾濉。拢酰螅琛≡冢玻埃埃茨辏丛拢玻叭帐敲拦芡常Γ瘢酰铮簦弧∫彩钦娴模院先。海Γ瘢酰铮簦唬校幔酰臁。停幔颍簦椋睢∈羌幽么笫紫唷∮搿。牵澹铮颍纾濉。拢酰螅琛。玻埃埃茨辏丛拢玻叭帐敲拦芡常Γ瘢酰铮簦弧∈钦娴摹T谡飧鼍渥又校Γ瘢酰铮簦挥耄Γ瘢酰铮簦弧〕涞闭嬷岛O喾吹模冢Γ瘢酰铮簦唬粒臁牵铮颍濉≡冢玻埃埃茨辏丛拢玻叭帐敲拦芡常Γ瘢酰铮簦弧『汀Γ瘢酰铮簦唬拢颍椋簦睿澹。樱穑澹幔颍蟆∠嘈拧。粒臁。牵铮颍濉≡冢玻埃埃茨辏丛拢玻叭帐敲拦芡常Γ瘢酰铮簦弧V狼罢卟皇钦娴暮秃笳叩恼嬷抵涿挥泄叵担骸。拢颍椋簦睿澹。樱穑澹幔颍蟆∠嘈拧。粒臁。牵铮颍濉∈亲芡痴飧雒獾恼嬷1不是由　Al　Gore　在那天不是总统的事实来决定的84　所以，词语＆＃39；相信＆＃39；不是真值函数。

我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。

命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。

　定义11 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：

　（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。

　（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。

　（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。

　命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。

　例18 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。

　为使公式的表示更为简练，我们作如下约定：

　（1）公式最外层括号一律可省略。

　（2）联结词的结合能力强弱依次为 ┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。

　（3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。

　例如， ┐p→q∨（r∧q∨s） 所表示的公式是 （（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s）））

　设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。

　如对公式A：┐p→q∨（r∧q∨s），则p， ┐p ，q ， （r∧q∨s） 及q∨（r∧q∨s）都是公式A的子公式，而┐q， ┐p→q， 虽然是公式，但确不是A的一部分，因此不是A的子公式；q∨（r∧虽然是公式A的一部分，但不是公式，因而也不是A的子公式。

　如果公式A含有命题变元p1，p2，…，pn，记为A（p1，…，pn），并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1，…，pn的真值函数。对任意给定的p1，…，pn的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母a，b等表示，A均有一个确定的真值。当A对取值状况 a 为真时，称指派a弄真A，或a是A的成真赋值，记为a （A） = 1；反之称指派a弄假A，或a是A的成假赋值，记为a （A） = 0对一切可能的指派，公式A的取值可能可用表17来描述，这个表称为真值表（truth table）。当A（p1，…，pn）中有k个联结词时，公式A的真值表应为2n行、k+n列（不计表头）。

　例19 作出公式┐（p→（q∧r））的真值表。

　表17

p　 q　 r　 q∧r P→（q∧r）　 ┐（p→（q∧r）　

0

0

0

0

1

1

1

1　 0

0

1

1

0

0

1

1　 0

1

0

1

0

1

0

1　 0

0

0

1

0

0

0

1　 1

1

1

1

0

0

0

1　 0

0

0

0

1

1

1

0　

　　表17即为所求。可见指派（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1）及（1，1，1）均弄假该公式，而指派（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）都弄真这一公式。

运算法则公式如下：

1、lnx+ lny=lnxy

2、lnx-lny=ln(x/y)

3、lnxⁿ=nlnx

4、ln(ⁿ√x)=lnx/n

5、lne=1

对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。对数运算，实际上也就是指数在运算。

扩展资料

对数运算法则(rule of logarithmic operations）一种特殊的运算方法。指积、商、幂、方根的对数的运算法则。在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。

在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

参考资料

--对数

公式：G2=IF（F2<10，"是"，"否"）。

在筛选判断一群人的分数与是否及格的关系中，必须要用到IF函数，IF函数是excel表格中最常用的用于多条件判断的函数公式，IF函数的公式是=IF（需要判断的单元格数值，真值，假值）。其中，真值和假值都是条件值，一般是字符形式的。

历史评价

命题变元所取的真或假两个值。亦称命题的逻辑值，或简称命题的真值。真假是命题放重要的一种性质。命题逻辑一般只考虑命题的真假含义，不考虑命题的其他意义内容。真和假都是命题变元p的真假，而形式逻钳虽然认定任一命题都具真假值。但它并不去研究每一具体命题事实上是真的还是假的，而主要研究制约一个命题真假的逻辑条件。

-真假值

逻辑函数,函数的一种与常见的数学函数（如线性函数、反比例函数、一元二次函数、指数函数等）相比,区别是：

（1）以上初等数学函数的自变量只有一个 x；而逻辑函数的自变量通常有很多,比如你给的例子 F1 的自变量就有 3 个：A、B、C；

（2）普通数学函数的定义域和值域通常为实数域（或它的一个子集）,通常是连续的,是个无穷集合；而逻辑函数“每个自变量的取值范围”和函数的值域都只有两个元素：{真,假},它还有很多等价的表示方法：{T, F}、{0, 1}；而“整个函数的定义域”则为所有自变量取值集合的“笛卡儿积”；比如你给的例子 F1 的定义域就是：

{0, 1} × {0, 1} × {0, 1}

= {, , , , , , , }

基于以上区别,两类函数的表示方法就有所不同除了所有函数都通用的表达式方法外,普通函数通常用函数图像表示；而逻辑函数则可以用真值表来表示——因为它的定义域和值域中的元素个数都比较少,而且很有规律

真值表作为逻辑函数的表示方法,目的就是将函数定义域中每个元素（即自变量元组）与它所对应的函数值一一列出所以真值表的行数（R）是由自变量的个数（n）确定的：

R = 2 ^ n；

而真值表的列是由自变量列和函数值列组成的,所以列数（C）为：

C = n + 1；

当然,就像多个函数的图像可以画在同一个坐标系中一样,多个函数的真值表也可以合并为一张真值表这时,真值表的定义域就应该是所有函数的定义域的并集对于 m 个逻辑函数,如果它们共包含 N 个自变量,那这些函数的真值表的行数和列数分别为：

R = 2 ^ N；

C = N + m；

前面已说过,画真值表就是要建立逻辑函数定义域中每个元素与其函数值的对应关系其过程为：

第1步：根据函数个数和自变量个数建立空表,一般是要加个表头的；——这一步相当于画坐标系；

第2步：填入定义域元素,即：填写所有自变量的取值组合；——这一步相当于标记定义域；

第3步：为每个逻辑函数,计算定义域的每个元素的函数值,并填入；——这是唯一需要计算的地方,相当于画函数图像上的每个点；

对于你的例子,F1 = ABC + A'B'C'；（A' = 非A）,F1 的真值表是一个 8 行（不算表头）4 列的表格前两步就不说了,唯一有难度的地方就是函数值的计算比如,当自变量为时,函数值为：

F1 = 0 · 0 · 0 + 0' · 0' · 0' = 0 + 1 · 1 · 1 = 0 + 1 = 1；

其他的函数值可自行求解

补充：关于真值表的制作,最难也最麻烦的地方就是函数值的计算不过由于逻辑函数的特殊性,使得它的表达式和真值表直接有着很有规律的联系,我们可以直接从函数表达式得出真值表中的函数值列只不过需要将表达式转化为标准形式,即：积之和式（又叫析取范式）从逻辑函数的积之和式,可以直接看出真值表中 “函数值为 1 的行”,剩下的行的函数值自然就是 0 了

分析：不管是表达式还是真值表,都是要表示自变量与函数值直接的取值关系对于积之和式,只要它的任何一个“与项”的取值为 1,函数值就为 1所以：使得任何一个“与项”为 1 的“自变量取值组合”,必然使得整个函数取值为 1,这样的自变量组必然对应真值表中函数值为 1 的行；反之,不能使任何一个与项为 1（即：使得每个与项都为 0）的自变量组,必然使整个函数的值为 0,这样的自变量组必然对应真值表中函数值为 0 的行

每个“与项”（用 p 表示）都会有一个或多个使它取值为 1 的自变量组,它（们）构成一个集合：P我们只要依次分析每个“与项”（p1、p2、p3…）,就可以得到相应的自变量组的集合：P1、P2、P3…而这些集合的并集,就是所有函数值为 1 的自变量组构成的集合通过例子说明：

例：F = A + A'B；

（1）p1 = A：当 A = 1时,无论B、C取何值,该项的结果为 1；而 A = 0时,该项也必为0；所以,它所对应的自变量组集合为：P1 = {, }；

（2）p2 = A'B：当且仅当 A = 0、B = 1时,该项 = 1；P2 = {}；

现在,规律很明显了：对于每个与项,分析函数的每个变量：当变量以“原变量”形式出现时,记为 1；当以“反变量”形式出现时,记为 0；当变量不出现时,应当考虑它（们）所有的 0、1 组合由此就能得到使该与项为 1 的自变量组（或自变量组的集合）

对于你给的例子：F1 = ABC + A'B'C'；

（1）p1 = ABC：P1 = {}；

（2）p2 = A'B'C'：P2 = {}；

所以,在F1的真值表中,就只有和两行的函数值为1,其他行为0；

一分钟了解一元一次方程02:10

初中数学数与代数—一元一次方程12:14

系数含参的一元一次方程03:12

解一元一次方程（二）02:16

整数解问题视频讲解02:56

一元一次方程

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审阅专家 尚轶伦

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。[1]

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期[1]。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题[2]。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程[1]。

中文名

一元一次方程

外文名

linear equation with one unknown

标准形式

ax+b=0或ax=b（a≠0）

类型

整式方程、线性方程

创立者

韦达

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概念定义求根方法研究应用价值意义

历史溯源

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。[1]

约公元前1650年，古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题，题目为：“一个量，加上它的

等于19，求这个量。”解决了形为

的一次方程，即单假设法解决问题。

花拉子米

公元前1世纪左右，中国人在《九章算术》中首次加入了负数，并提出了正负数的运算法则，解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11～13世纪时传入阿拉伯地区，并被称为“契丹算法”。

9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。

12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。

13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。

韦达

16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。

16世纪时，明代数学家程大位（1533-1606）在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。

1859年，中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。[1]

概念定义

只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两面都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。[1]其一般形式是：

有时也写作：

可以通过等式性质化简而成为一元一次方程的整式方程（如

）也属于一元一次方程。一元一次方程是一种线性方程，且只有一个根。

求根方法

一般方法

解一元一次方程有五步，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，所有步骤都根据整式和等式的性质进行。[1]

以解方程

为例：

去分母，得：

去括号，得：

移项，得：

合并同类项，得：（常简写为“合并，得：”）

系数化为1，得：

在一元一次方程中，去分母一步通常乘以各分母的最小公倍数，如果分母为分数，则可化为该一项的其他部分乘以分母上分数的倒数的形式。[2]

以方程

为例：

消除分母上的分数，可化简为：

进而得出方程的解。

如果分母上有无理数，则需要先将分母有理化。

求根公式法

基本公式

对于关于

的一元一次方程

，其求根公式为：

推导过程

解：移项，得：

系数化为1，得：

图像法

对于关于

的一元一次方程

可以通过做出一次函数

来解决。一元一次方程

的根就是它所对应的一次函数

函数值为0时，自变量

的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。[3]

一次函数

以方程

为例：

如图，作出函数

的图象。

由图像知函数图象与x轴交于点

可得原方程的根是

研究应用

基本应用

一元一次方程通常可用于做数学应用题，[1]也可应用于物理、化学的计算。

如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过

公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。例如计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得100010h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强