二元函数极值问题？

这道题的解答之前都已经求出来了，x=3 a，y=3a，z=3a，就是在三个方向的极值点，把这三个值代入以后就得到极值是27a^3。又因为x，y，z>0时，xyz<=[(x+y+z)/3]^3，当x=y=z的时候取等号，所以(3a，3a，3a)是极小值点。

当A>0或C>0时，取极小值；反之，极大值。

y = ax^2 + bx + c ，x0 = -b/2a，y0 = (4ac-b^2) / (4a) ，

当 a > 0 时，函数在 x = x0 处取最小值 y0，

当 a < 0 时，函数在 x = x0 处取最大值 y0 。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

扩展资料：

与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}

与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f表示二元函数的记号f也是可以任意选取的，例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等。

-二元函数

∂z/∂x=3x²-6x-9=0

∂z/∂y=-3y²+3=0

解得四个驻点：(3,1)，(3,-1)，(-1，1)，(-1，-1)

A=∂²z/∂x²=6x-6

B=∂²z/∂x∂y=0

C=∂²z/∂y²=-3

对于(3，1)，AC-B²<0，不是极值点

对于(3，-1)，AC-B²<0，不是极值点

对于(-1，1)，AC-B²>0，A<0，极大值

对于(-1，-1)，AC-B²>0，A<0，极大值

所以本题选D

具体问题具体分析

一个函数能够取到极值的充要条件是

(1) 在该点处 f' = 0。

(2) 在 f' = 0 处的点的左右两旁导数的符号相反。

在极值点两旁，

若 f'左 > 0，f'右 < 0，则为极大值。

若 f'左 < 0，f'右 > 0，则为极小值。

如果有限制条件,例如限制条件为ψ（x,y）=0,那么有两种方法：

1、升维：构造拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法作为必要条件求解,然后在验证是否取得极值。

2、降维：这种方法多种多样,比如利用参数化求解又或者例如u（x,y,z）=0,限制条件为ψ(x,y,z)=0那么就会得出一个关于z的表达式为：z（x,y）=0,将其带入u(x,y,z)中,这样的话,原函数就由3维降到了2维，就比较方便了。

-极值

题里给了一个极限，说明f(x,y)-xy和(x^2+y^2)^2是等价无穷小，那么f(x,y)-xy=0，f(0,0)=0由保号性可得(f(x,y)-xy)/(x^2+y^2)^2>0，又因为(x^2+y^2)^2≥0，所以f(x,y)-xy>0

在x→0，y→0的过程中，xy有可能为正，有可能为负，所以f(x,y)有可能为正，有可能为负，而f(0,0)=0，所以在趋近过程中有时f(x,y)大于f(0,0)，有时小于，故它不是极值点。