三角函数的应用

只知一角一边，是无法得到一个固定三角形的，只有得知三边或两角一边才能确立一个三角形，接着可用余弦定理或正弦定理解决。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

比如直角弯管处的接口，如果用两张铁皮制成圆管，并用两棵来垂直相接，那么铁皮的接口处的切线就是它的一部分，只有这样拼接厚才能保证是垂直相接的。

扩展资料：

对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ

-三角函数

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也可以说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数 是 基本初等函数 之一 ， 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为 自变量 ，角度对应 任意角 终边与 单位圆 交点坐标或其比值为 因变量 的函数。也可以等价地用与 单位圆 有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和 圆 等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在 数学分析 中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是 复数 值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、 半正矢函数 、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为 双曲正弦函数 、 双曲余弦函数 等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

中文名

三角函数

外文名

trigonometric

function

提出者

印度数学家

提出时间

公元五世纪

适用领域

函数及图像

应用学科

数学

目录

[if !supportLists]         [endif]1  发展历史

[if !supportLists]         [endif]▪ 起源

[if !supportLists]         [endif]▪ 古希腊历史

[if !supportLists]         [endif]▪ 阿拉伯历史

[if !supportLists]         [endif]▪ 弦表的发明

[if !supportLists]         [endif]▪ 传入中国

[if !supportLists]         [endif]2  定义

[if !supportLists]         [endif]▪ 直角三角形三角函数定义

[if !supportLists]         [endif]▪ 基本三角函数关系的速记方法

[if !supportLists]         [endif]▪ 变化规律

[if !supportLists]         [endif]▪ 任意角三角函数定义

[if !supportLists]         [endif]▪ 单位圆定义

[if !supportLists]         [endif]▪ 级数定义

[if !supportLists]         [endif]3  三角学

[if !supportLists]         [endif]4  特殊角

[if !supportLists]         [endif]5  几何性质

[if !supportLists]         [endif]▪ 函数图象

[if !supportLists]         [endif]▪ 最小正周期

[if !supportLists]         [endif]6  诱导公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 公式内容

[if !supportLists]         [endif]▪ 推导方法

[if !supportLists]         [endif]7  关于三角恒等式

[if !supportLists]         [endif]▪ 两角和与差

[if !supportLists]         [endif]▪ 和差化积

[if !supportLists]         [endif]▪ 积化和差

[if !supportLists]         [endif]▪ 二倍角公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 三倍角公式

[if !supportLists]         [endif]▪ n倍角公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 半角公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 辅助角公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 万能公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 降幂公式

[if !supportLists]         [endif]▪ 三角和

[if !supportLists]         [endif]▪ 幂级数

[if !supportLists]         [endif]▪ 泰勒展开式

[if !supportLists]         [endif]▪ 傅里叶级数

[if !supportLists]         [endif]8  概念

[if !supportLists]         [endif]9  推广

[if !supportLists]         [endif]10  复数性质

[if !supportLists]         [endif]11  相关定理

[if !supportLists]         [endif]▪ 解释

[if !supportLists]         [endif]▪ 正弦定理

[if !supportLists]         [endif]▪ 余弦定理

[if !supportLists]         [endif]▪ 正切定理

[if !supportLists]         [endif]▪ 广义射影定理

[if !supportLists]         [endif]▪ 三角恒等式

[if !supportLists]         [endif]12  函数介绍

[if !supportLists]         [endif]▪ 正弦函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 余弦函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 正切函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 余切函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 正割函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 余割函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 正矢函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 余矢函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 半正矢函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 半余矢函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 外正割函数

[if !supportLists]         [endif]▪ 外余割函数

[if !supportLists]         [endif]13  记忆口诀

发展历史

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起源

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个 计算工具 ，是一个附属品，但是 三角学 的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

三角学中” 正弦 ”和” 余弦 ”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比 托勒密 更精确的正弦表。

我们已知道，托勒密和 希帕克 造出的弦表是 圆 的全 弦 表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（ AC ）与全弦所对弧的一半（ AD ）相对应，即将 AC 与 ∠AOC 对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

印度人 称连结 弧 （ AB ）的两端的弦（ AB ）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（ AC ） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪， 阿拉伯文 被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。 [1]

古希腊历史

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。 古希腊 三角术的奠基人是公元前2世纪的 喜帕恰斯 。他按照 古巴比伦 人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的 弧度制 不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。 梅涅劳斯 在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的 梅涅劳斯定理 。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的 托勒密 时代达到了高峰，托勒密在《 数学汇编 》（ Syntaxis Mathematica ）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。

古希腊文化传播到 古印度 后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家 阿耶波多 提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（375°）的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了 正切 和 余切 、 正割 和 余割 的概念，并计算了间隔10分（10′ ） 的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。

阿拉伯历史

进入15世纪后， 阿拉伯数学 文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的 三角函数值 表。 哥白尼 的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒（10″ ） 的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将 古希腊 有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。 弗朗索瓦·韦达 给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。

18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的 无穷级数 表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。 莱布尼兹 在1673年左右也独立得到了这一结果。 欧拉 的《无穷小量分析引论》（ Introductio in Analysin Infinitorum ，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了 欧拉公式 ，还有使用接近现代的简写 sin 、 cos 、 tang 、 cot 、 sec 和 cosec 。

弦表的发明

根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列 直角三角形 ，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 （Hipparchus，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个固定的 圆 内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把 圆周 360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae

secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为角和时间的度量上” 分 ”和” 秒 ”这两个单位得起源。

建立了半径与圆周的度量单位以后， 希帕克 和 托勒密 先着手计算一些特殊 圆弧 所对应的弦长。比如 60°弧（1/6圆 周长 ）所对的弦长，正好是内接 正六边形 的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的1/60为一个单位）；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的” 托勒密定理 ”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。

传入中国

三角学 输入中国，开始于明 崇祯 4年（1631年），这一年， 邓玉函 、 汤若望 和 徐光启 合编《 大测 》，作为 历书 的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大 测 》中，首先将sine译为”正半弦”，简称” 正弦 ”，这就成了“正弦” 一词 的由来。 [2]

定义

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直角三角形三角函数定义

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个 直角三角形 ，其中∠ACB为 直角 。对∠BAC而言， 对边 （opposite）a=BC、 斜边 （hypotenuse）c=AB、 邻边 （adjacent）b=AC，则存在以下关系：

基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述 [if !vml][endif] 三角形

正弦函数 sine sin a/c ∠A 的对边比斜边

余弦函数 cosine cos b/c ∠A 的邻边比斜边

正切函数 tangent tan a/b ∠A 的对边比邻边

余切函数 cotangent cot b/a ∠A 的邻边比对边

正割函数 secant sec c/b ∠A 的斜边比邻边

余割函数 cosecant csc c/a ∠A 的斜边比对边

注：正切函数、余切函数曾被写作 tg 、 ctg ， 现已不用这种写法 。

基本三角函数关系的速记方法

[if !vml][endif] 六边形

如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ

3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：

[if !vml]

[endif]

 ；

[if !vml]

[endif]

 ；

[if !vml]

[endif]

 。

变化规律

正弦 值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而增大（减小），在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而减小（增大）；

余弦值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而增大（减小），在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而减小（增大）；

正切 值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而增大（减小）；

余切值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而减小（增大）。

注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

函数名 与常见函数转化关系  

正矢函数 [if !vml]

[endif]

[if !vml][endif] versin

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[endif]

余矢函数 [if !vml]

[endif]

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[endif]

半正矢函数 [if !vml]

[endif]

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[endif]

半余矢函数 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

外正割函数 [if !vml]

[endif]

外余割函数 [if !vml]

[endif]

任意角三角函数定义

在 平面直角坐标系 xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，令∠β=∠α，则：

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

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[endif]

 。

单位圆定义

[if !vml][endif] 三角函数

六个三角函数也可以依据 半径 为1中心为原点的 单位圆 来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于 直角三角形 。但是 单位圆 定义的确允许三角函数对所有 正数 和 负数 辐角都有定义，而不只是对于在 0  和 π/2 弧度 之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都 包含 了。根据 勾股定理 ，单位圆的 方程 是：对于圆上的任意点（ x,y ）， x²+y²=1 。

图像中给出了用 弧度 度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是 正角 ，而顺时针的度量是 负角 。设一个过 原点 的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cosθ 和 sinθ 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y /1和 cosθ = x /1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于 2π  的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π 的 周期函数 ：对于任何角度 θ 和任何 整数 k 。

周期函数的 最小正周期 叫做这个函数的“ 基本周期 ”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在 正切函数 的图像中，在角 k π 附近变化缓慢，而在接近角 （ k + 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （ k + 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （ k + 1/2）π 的时候函数接近 正无穷 ，而从右侧接近 （ k + 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

[if !vml][endif] 三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的 弦 AB ，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ 是 AC （半弦），这是印度的 阿耶波多 介入的定义。cos θ 是水平距离 OC ，versin θ =1-cos θ 是 CD 。tan θ 是通过 A 的 切线 的 线段 AE 的长度，所以这个函数才叫 正切 。cot θ 是另一个切线段 AF 。sec θ = OE 和csc θ = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。 DE 是exsec θ =sec θ -1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出 正割 和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ接近零的时候发散。

依据单位圆定义，可以做三个 有向线段 （ 向量 ）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是 α 的 终边 与单位圆上的交点，M点是 P 在 x 轴的投影， A （1,0）是圆O与x轴 正半轴 的交点，过A点做过圆O的 切线 。

那么向量 MP 对应的就是 α 的 正

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

三角函数

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

——三角函数

很高兴为您解答

在定义上讲三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数也就是说以角度为自变量,角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值

在分类上讲常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式

在具体应用上讲三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数,叫做双曲函数常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率,也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们扩展到任意正数和负数值,甚至是复数值

比如：在简谐运动中,运动轨迹可以用三角函数表示,其中的代数具有物理意义(角度、振幅） 电磁学中,发电机或者电动机的转子转动也可以用三角函数表示

以三角函数计算出按旋转的旋矩和其旋转的周速度等一写列问题

总而言之,三角函数作为一种工具性知识,在很多专业领域发挥着其重要的作用

如果还有不明白的地方,

我是山古您的采纳是对我最大的鼓励和支持!

反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：

常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域，并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总

利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导，并详细总结了其值域、定义域等内容

本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

一、常用三角函数与反三角函数

常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示

图1三角函数及其对应三角形

反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y 调换位置则得到反三角函数的图示：

图2反三角函数及其对应三角形

上述反三角函数的图象如下图所示：

图3反三角函数的图象

在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

表1 反三角函数的定义值及值域 

二、反三角函数的导数的推导过程

反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数

反函数的导  数等于直接函数的导数的倒 数。

先给结论：

表2 反三角函数的导数及其定义域

接下来依次证明：

1、反正弦函数的导数

2、反余弦函数 的导数

证法I： 类似推导

证法II：由，于是

3、反正切函数  的导数

4、反余切函数  的导数

证法I：类似3，略。

证法II： 类似2，由，于是

5、反正割函数  的导数

标 部分主要是要把上一步完全由  表示，由于有以下恒等关系

i) 

因此: 

ii) 这时必须注意到  的取值范围  (见表1）。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到：

 时： 都大等于

 时：  都小等于 

因此： 

综上：标 步的写法可以保证这一不等关系始终成立。

6、反余割函数  的导数

证法I：类似5，略。

证法II： 类似2，由，于是

小结

本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。

因为它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

常见的三角函数包括：

正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

最基本的便是数形结合解决问题

三角函数将 三角形由平面几何问题转移到平面直角坐标系中，是三角形中比值关系与角度关系的相互映射。

具体的运用：几何中的向量乘法（二维、三维）；解三角形（里说到，用于天文、农业等；但是那时古时候，如今是学生赚分的工具）；求角度（arc反三角函数）；

关于诱导公式：这个东西是 在单位圆中各种象限角的三函关系

各种公式：和化差、积化差、倍角、降幂、万能公式大多是可以自己推导出来的（代数），几何推导比较费劲，有兴趣可以试试。

正弦公式、余弦公式：解三角形的必要工具

反三函：求角的必要工具，物理中常用

三函图像：类似于简谐振动的函数图像，反映的还是单位圆中的东西。

写到这我要解释一下：第一，我不明白您问的是什么方面的用途。若是解决实际问题，这是一种工具，可以解决生产生活中关于角度的大部分问题。数学此时是人类求知的智慧结晶，有些时候没有实际用途的需要也能产生，比如《几何原本》。若是解决数学问题，上面便是我的回答。第二，我的学识不够深，若有兴趣可以看看 或者是《数学——高中人教版必修四》