离散型随机变量分布函数性质证明

f(x)=p{x<=x}，p{x<=x}=limp{x<=x+delta

x}(当delta

x右趋于零)，

从而f(x)可表为自身的于点x处的右侧极限，f(x)右连续

离散型随机变量的累积分布函数图像呈阶梯状

所以f(x)在非间断点处处连续，在间断点(基本空间中的事件点对应随机变量取值)处仅左连续

这里f(x)即是分布列（对应连续型随机变量的密度函数），基本空间（必然事件）对应一离散点列（离散随机变量所有可取的值），所以f(1-0)不存在

因为是右连续，所以x取不到5，相应的f(x)也累积不到x=5这一点的概率密度，所以是1/10+3/10

函数极限定义：设函数f（x）在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f（x）-A|<ε成立，那么称A是函数f（x）在x0处的极限。

如limx^3=27X趋近3时的极限：因为x趋近3，只考虑x＝3近旁的X值即可，不妨令|x-3|<12<x<4于是有|x^3-27|=|X-3||x^2+3x+9|<37|x-3|。

因此，对于任意ε>0，总存在正数δ＝min（1，ε/37）取最小值，使得当|x-3|<δ时，|f（x）-27|<ε成立，故，27是函数f（x）=x^3在x=3处的极限。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

一、极限的计算：

就是算出当x无限地趋向于某个值x。时，函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值？

在一般情况下，就是直接代入。

有些情况是无法直接代入的，这就是不定式的七种类型，譬如分子分母都趋向于0，

我们就不能分子分母都代入0。而是要找出它们的比例究竟越来越趋向于什么数，

这样的结果，我们就产生了各种各样的计算极限的方法。

二、极限理论的证明。

这部分不好理解，请楼主细细看看下面的解释，会忽然开通。

1、极限的最早萌芽概念，我们祖先也有过，但是被当成诡辩学而埋葬了。

      时至今日，仍有绝大多数数学教师，一提到诡辩学，立马教条式地彻

      底否认，没有思辨的任何理性空间。

2、鬼子的祖先，也有诡辩学，他们认认真真地研究了paradox，由此而

     建立了极限理论。极限理论是桥梁，桥的这边是初等数学，桥的那边

     是微积分，是高等数学。我们的理论贡献局限在桥这边，桥那边的理

     论世界的建设，我们几乎完全是手无寸功，我们在科研上的落后就是

     从这里开始的。

3、极限的理论究竟是什么呢？

第一，极限的证明理论

这就是我们的大学新生大学伊始时，兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重

的闷棍。极限的理论，其实是吵架的理论，是无止境争辩的过程，也是

无穷列举法的理论化过程。例如：

(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时，x&#178; 就无限趋近于 4。

(2)、你不信，你要我证明给你看。

(3)、我说，那你随便给一个很小的数，你给了05。

(4)、我通过计算，我说只要 x = 210 就行。

(5)、你反悔了，改成了04。

(6)、我重新计算了一下，我说只要 x = 209 就行。

(7)、你又反悔，又改成了03。

(8)、我又重新计算，我说只要 x = 207 就行。

(9)、你再次反悔，再改成02。

(10)、我再次计算，我说只要 x = 204 就行。

、、、、你不断地反悔，不断地提出越来越苛刻的数据，我也不断地计算， 

不断给出越来越接近于2的具体数，也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程

度、、、、、

结果我们都厌烦了。

(11)、我说，别闹了，你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧。

(12)、你给出了一个代号 ε。

(13)、我根据你的代号 ε，经过一番计算，找到了另外一个数字代号 δ。

          我对你说，你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了。

          算了，算了，我把计算公式也给你吧，你自己出 ε，自己去找 δ，

          这样你还有什么话说？

争吵就这样结束了，无穷列出变成了一个理论计算过程，结果就得到了证明。

这个证明逻辑思路是：

只要你给得出一个无论多小的数，ε；

我就能根据你的 ε，算出一个 δ ；

只要将x 的取值，限制在 δ 的范围内，函数值与极限值之差就小于 ε。

由于 ε可以任意的小，两者之差可以无止境的小下去，就证明了极限。

δ 是根据 ε 算出的，我算出一个δ，你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围，

所以，ε是任给的，δ 是根据 ε 推算的，但 δ 不是唯一的，可以有无数个

更严格的、更小的值。所以说，总存在一个 δ，但是这个 δ，必须由我们

去根据 ε找出来。

第二、极限的计算

微积分的前面部分，就是寻找各种计算方法，最典型的是罗毕达法则。

第三、极限的运用

可以说极限是微积分的基础，也可以说，微积分是极限理论的运用。

如果你不能明白极限的理论证明方法，

那么，我们得恭喜你！你真正理解了我们传统的优秀数学史，到了近代数学时，

怎么突然落后了、落伍了。当代理论，我们没有参与建立，迄今为止，我们还

处于三流开外。

如果你明白了极限的理论证明方法，

那么，我们得祝贺你！你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛。体会

到了我们传统的、定性、模棱两可、之乎者也的学风，更现代数学、现代科学、

现代医学、、、、、之间的鸿沟是多么得深，多么得广，多么得不可同日而语。

三、极限的证明示例：

四、极限的计算方法总结

下面是本人平时的用法所做的总结，并配有例题。考研不会超出这个范围。

若看不清楚，请点击放大。