函数的要素有哪些

自变量、对应法则和因变量。函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系，即输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

函数基本3要素：定义域、对应法则、值域函数的定义域和对应法则是函数的两个基本要素,值域是派生要素定义域是自变量x的取值范围,对应法则是y的值随x变化的规律,值域是与自变量x的取值范围相对应的y值的集合

函数是数学中的一种对应关系,是从非空数集A到实数集B的对应简单地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数精确地说,设X是一个非空集合,Y是非空数集 ,f是个对应法则 ,若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ,就称对应法则f是X上的一个函数,记作y＝f（x）,称X为函数f（x）的定义域,集合{y|y=f（x）,x∈R}为其值域（值域是Y的子集）,x叫做自变量,y叫做因变量,习惯上也说y是x的函数

对应法则和定义域是函数的两个要素

一、函数

1 常量、变量和函数

在某一过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在整个过程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数．一般地，设在变化过程中有两个互相关联的变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量．

2 函数的两要素

(1)函数的定义域

(2)对应法则

3 函数的表示方法

(1) 解析法

就是用一个等式来表示一个变量是另一个变量的函数，这个等式叫做这个函数的解析表达式(函数关系式)．

(2) 列表法

(3) 图像法

4 函数的值域

一般的，当函数f(x)的自变量x取定义域D中的一个确定的值a时，函数都有唯一确定的对应值，这个对应值称为x=a时的函数值，简称函数值，记作：f(a)．

5 函数的图像

若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x))，这些点构成一个图形F，这个图形F就是函数y=f(x)的图像．

知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表，描点，连线三个步骤．

二、正比例函数与反比例函数

1 正比例函数

一般地，函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做变量y与x之间的比例常数，确定了比例常数k，就可以确定一个正比例函数．

正比例函数y=kx有下列性质:

(1) 当k>0时，它的图像经过第一、三象限，y随着x的值增大而增大；当k<0时，他的图像经过第二、四象限，y随着x的增大而减小．

(2)随着比例常数的绝对值的增加，函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴，因此，比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此，k叫做直线y=kx的斜率．

2 反比例函数

一般地，函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数．

反比例函数y=k/x有下列性质:

(1) 当k>0时，他的图像的两个分支分别位于第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的值增大而减小；当k<0时，它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

(2) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．

三、一次函数

1 一次函数及其图像

形如y=kx+b(k，b为常数)的函数叫一次函数．

如果k=0时，函数变形为y=b，无论x在其定义域内取何值，y都有唯一确定的值b与之对应，这样的函数我们称它为常函数．

直线y=kx+b与y轴交与点(0，b)，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称纵截距．

2 一次函数的性质

函数y=f(x)，在a < x < b上，如果函数值随着自变量x的值增加而增加，那么我们说函数f(x)在a < x < b上是递增函数；如果函数值随着自变量x的值增大而减小，那么我们说函数y=f(x)在a < x < b上是递减函数．

如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像，交点的坐标就是这个方程组的解，这种求二元一次方程组的解法叫图像法．

3 一次函数的应用

初中数学知识点归纳——二次函数篇

一、定义

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数．二次函数表达式的右边通常为二次三项式．

二、二次函数的三种表达式

一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

顶点式：y＝a(x－h)2＋k ，抛物线的顶点为P(h，k)，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，其顶点坐标为(－b/2a，(4ac－b2)/4a)．

交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) ，此时仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线，其中x1＝(－b±√b2－4ac)/2a，x2＝(－b±√b2－4ac)/2a．

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h＝－b/2a＝(x1＋x2)/2，k＝(4ac－b2)/4a；

与x轴交点：x1，x2＝(－b±√b2－4ac)/2a．

三、二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线．

★四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形．对称轴为直线x＝－b/2a．

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P．

特别地，当b＝0时，抛物线的对称轴是y轴，即直线x＝0，此时函数解析式变形为y＝ax2＋c(a≠0)．

2．抛物线有一个顶点P，坐标为P (－b/2a ，(4ac－b2)/4a ) ．

当－b/2a＝0时，P在y轴上；

当Δ＝ b2－4ac＝0时，P在x轴上．

3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；

当a＜0时，抛物线向下开口．

|a|越大，则抛物线的开口越小．

当a＞0时，函数在x＝－b/2a处取得最小值f(－b/2a)＝(4ac－b2)/4a；

当a＜0时，函数在x＝－b/2a处取得最大值f(－b/2a)＝(4ac－b2)/4a．

4．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．

5．常数项c决定抛物线与y轴交点．

抛物线与y轴交于(0，c)．

6．抛物线与x轴交点个数

Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点．

Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点．

Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

7．函数值的变化特征

若a＞0，抛物线开口向上，当x＜－b/2a时，y随着x的增大而减小；

当 x＞－b/2a时，y随着x的增大而增大；函数值y≥(4ac－b2)/4a．

若a＜0，抛物线开口向下，当x＜－b/2a时，y随着x的增大而增大；

当 x＞－b/2a时，y随着x的增大而减小；函数值y≤(4ac－b2)/4a．