考研伽马函数公式是什么?

如下图：

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

相关信息：

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,,我们可以计算2!,3!,是否可以计算25!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

（1）在实数域上伽玛函数定义为：

（2）在复数域上伽玛函数定义为：

扩展资料

伽马函数产生的背景：

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛 函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

-伽玛函数

具体见：

是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

扩展资料：

伽玛函数的定义（或叫第二类欧拉积分）：

Γ（x）＝积分：e＾（－t）＊t＾（x－1）dt

（e的负t次方乘以的（x－1）次方），积分区间是0到正无穷，x＞0

而可以把x延拓到复平面上，除了0和负整数的点．这里，利用Γ函数在x＞0的区间上的性质Γ（x＋1）＝xΓ（x）

，可以定义：

Γ（z）＝Γ（z＋n＋1）／z（z＋1）（z＋2）．．．（z＋n）

在正整数的范围内，由于Γ（x＋1）＝xΓ（x）

关系，Γ（n＋1）＝n！

这样，因为z可以取非整数，我们就用伽玛函数延拓了阶乘的定义．定义x！＝Γ（x＋1），这里x可以取非整数。

参考资料：

就是伽玛函数。　

伽玛函数(Gamma Function)作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成Γ(x)　当函数的变量是正整数时，函数的值就是前一个整数的阶乘，或者说Γ(n+1)=n!。

如Γ（5）=4321。

伽马函数(1/2)的值可以根据余元公式算出，余元公式的定义是对0-1之间的数，有

将1/2代入得到伽玛函数（1/2）的值是Π^(1/2)。

扩展资料

余元公式是求解伽玛函数的重要公式，对于数值在0-1之间的实数，可以方便简单地求解函数的值，对于研究伽玛函数的性质有重要的作用。由此可以推出以下重要的概率公式：

伽玛函数也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

参考资料-伽玛函数

具体见：

是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

扩展资料：

在Matlab中的应用

其表示N在N-1到0范围内的整数阶乘。

公式为：gamma(N)=(N-1)(N-2)21

例如：

gamma(6)=54321

ans=120

性质：

1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：

Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

2、与贝塔函数的关系：

3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：其中  。

4、对  ，有这个公式称为余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：　　

5、对于  ，伽马函数是严格凹函数。

6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在  处的留数为。

参考资料：

Γ(x)称为伽玛函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。

伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！

阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。

含义

在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。

当P>0且Q>0时贝塔函数收敛。贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外需要注意的是伽玛函数和贝塔函数之间的关系。