黎曼将zeta函数的定义域解析开拓到整个复平面上，但是除了什么之外

方法很多，我只说两个Riemann原始的方法吧。

方法一：他证明Γ(s)ζ(s)是x^(s-1)/(e^x-1)dx从0到无穷大的积分，然后他把后者解析开拓，因为Γ(s)是熟知的，所以将ζ(s)解析开拓至复平面（除了s=1）。

方法二：他借助一个Jacobi为研究椭圆函数和模函数而引入的θ函数（Riemann记为ψ(x)），由Jacobi的一个等式（此等式是Poisson求和法的一个直接结果）推出函数方程，然后得到解析开拓。

附带一说，Zeta函数和模函数的联系是深刻而微妙的，除了上面所说的，还可以举出Deligne证明Weil猜想中的Riemann猜想类比的一个副产物就是证明了一个模函数的Ramanujan猜想。

在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。

定义

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在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。发散级数（英语：Divergent Series）指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数

和

，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。

如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数

调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明。[1] 

可和法

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在实际的数学研究以及物理、天文等其它学科的应用中，经常会自然地涉及各种发散级数，所以数学家们便试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和，并在这种意义之下研究所涉及的发散级数。每一种定义都被称为一个可和法，也被理解为一类级数到实数或复数的一个映射，通常也是一个线性泛函，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法与波莱尔可和法等。

可和法通常保持收敛级数的收敛值，而对某些发散级数，这种可和法和能额外定义出相应级数的和。例如切萨罗可和法将格兰迪级数

可和到1/2。大部分可和法与相应幂级数的解析延拓相关，每个适当的可和法试图描述的是序列趋于无穷时的平均表现，这种意义下也可以理解为无穷序列的均值。[2] 

历史

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19世纪前，欧拉以及其他数学家广泛地应用发散级数，但经常引出令人困惑与矛盾的结果。其中，主要的问题是欧拉的思想，即每个发散级数都应有一个自然的和，而无需事先定义发散级数的和的含义。柯西最终给出了（收敛）级数的和的严格定义，从这过后的一段时间，发散级数基本被排除在数学之外了。直到1886年，它们才在庞加莱关于渐进级数的工作中再次出现。在1890年，切萨罗意识到可以对一类发散级数的和给出严格定义，从而定义了切萨罗和。（这并不是第一次应用到切萨罗和，弗罗贝尼乌斯在1880年曾经使用过；切萨罗关键的贡献并不是发现了这个可和法，而是由于他认为“应当给出发散级数和的精确定义”的思想。）在切萨罗的论文发表的后一年，其他的一些数学家陆续给出了发散级数和的其他定义，不过这些定义并不总是相容的：不同的定义可能对相同的发散级数给出不同的和。所以，当提及发散级数的和时，需要具体指明所使用的是哪个可和法，尽管大部分常用的可和法某种意义上是彼此相容的。[3] 

关于发散级数求和的可和法定理

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我们说可和法M是正则的，是指它对每个收敛级数求的和，均与其原本柯西意义下的和一致。这类结果被称为M的阿贝尔型定理，它以阿贝尔定理为原型。更有趣，并且通常也更微妙的是这个结果的部分逆，被称为陶伯型定理，它以陶伯证明的一个定理为原型。这里所谓的部分逆，准确的说是若M可和级数Σ，并且Σ满足一些附加条件，则Σ本来就是收敛的。但要是没有任何附加条件，这种结果说的便是M只可和收敛级数（这使其作为发散级数的可和法而言是无用的）。

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

发散级数的求和作为数值技巧也与插值法和序列变换相关，这类技巧的例子有：帕德近似、Levin类序列变换以及与量子力学中高阶微扰论的重整化技巧相关的依序映射。[4] 

传统意义下的可和法

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常规收敛和绝对收敛是级数在传统意义下的两个可和法，这里只是出于完整性的考虑才加以讨论；严格来说，它们并不算是发散级数的可和法，这是因为只有当这些可和法失效时，我们才说一个级数发散。大部分发散级数的可和法都是这两个可和法在更大一类序列上的延拓。

级数的和

柯西对级数a0+a1+ 的和的经典定义为部分和序列a0+ +an的极限。通过两个实数之间加法运算的定义，再依据数学归纳法，我们不难自然地定义出有限个实数间的加法。但是有限个实数间的加法有定义并不意味着我们能直接地导出级数的和的定义，因为此时我们并没有定义无限项相加的概念，只有借助极限进行额外定义才能明确级数的和的概念。

绝对收敛

给定收敛到s的收敛级数a，倘若任意置换级数a的项得到级数a′后，a′收敛也总是收敛到s，则称级数a是绝对收敛的。在这个定义之下可以证明，一个级数收敛当且仅当取它每一项绝对值后得到的新级数在经典意义下收敛。有些地方会将后者作为绝对收敛的定义，但由于不涉及绝对值的概念，所以前者的定义更有一般性。[5] 

Nørlund平均

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概述

取从p0起的正项序列pn，并且满足

我们用序列p变换序列s，给出加权平均，也就是取

当m趋于无穷时，tm的极限倘若存在，则称其为s的Nørlund平均或者Nørlund和Np(s)，相应的可和法称为Nørlund可和法。

Nørlund可和法是全正则、线性、稳定的。令人惊讶的是，任意两个Nørlund可和法都是相容的。

切萨罗可和法

最特别的Nørlund可和法是切萨罗可和法。

考虑级数

，记

为它的部分和，再记

。如果

，则称这个级数的切萨罗和为

。这显然是一个Nørlund可和法。

作为推广，取p为

我们定义N(p)(s)为切萨罗和Ck(s)，k不必总为整数。当k≥ 0时，切萨罗和也是Nørlund和，从而是全正则、线性、稳定并且两两相容的。其中C0是常规的和，C1是经典的切萨罗和。进一步的，若h>k，则Ch强于Ck。[5] 

阿贝尔型可和法

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假定λ= {λ0,λ1,λ2,}是严格递增趋于无穷的序列，并且λ0≥ 0。倘若

对每个实数x>0收敛，则定义其阿贝尔型平均\阿贝尔型可和法Aλ为

更一般地说，如果级数f只对大的x收敛，但能解析延拓到每个正的实x上，那么依旧能以上述方式定义出相应的可和法。

这类级数也被称为广义狄利克雷级数；在物理应用中，这被称为热核正则化方法。

阿贝尔型可和法是正则、线性的，但不稳定，并且两个不同的阿贝尔型可和法也不总是相容的。不过，其中一些可和法是非常重要的。

阿贝尔可和法

如果取λn=n，我们便得到了阿贝尔可和法。并且

其中z=exp(−x)。因此当x右趋于0时，f(x)的极限恰为z左趋于1时，幂级数f(z)的极限。所以阿贝尔和A(s)也可以定义为

阿贝尔可和法某种意义上非常有趣，因为它和每个切萨罗可和法相容且更有力，即总有A(s) =Ck(s)，只要后者有定义。阿贝尔和是正则、线性、稳定的，并且与切萨罗可和法相容。

林德勒夫可和法

如果取λn=nlog(n)，我们便得到了林德勒夫可和法（指标从1算起），有

于是L(s)或者说林德勒夫和，是x右趋于0时f(x)的极限。林德勒夫和是非常有力的可和法，倘若应用在有正收敛半径的幂级数上，那么在这个幂级数的米塔-列夫勒星形域上处处都是可和的。

准确的说，如果g(z)是在原点解析的解析函数，从而有相应正收敛半径的麦克劳林级数，并且在其米塔-列夫勒星形域上总有L(G(z)) =g(z)。进一步的，L(G(z))在这个星形域的每个紧集上一致收敛到g(z)。[5] 

解析延拓

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有一些可和法涉及了对相关函数的解析延拓的讨论。

幂级数的解析延拓

如果Σanx对小的复x收敛，并且能沿着某条路径从x=0延拓到x=1，则可以把级数的和定义为延拓后的函数在x=1处的值。这个值可能会依赖于路径的选取。

欧拉可和法

欧拉可和法本质上是解析延拓的精确形式。如果一个幂级数对小的复z收敛，并且能从半径为−1/(q+1)的圆解析地延拓到半径为1的圆上，而且在z=1处连续，则此处的值被称为级数a0+的欧拉和或是(E,q)和。欧拉在解析延拓被定义前普遍地应用这个概念，并且给出了幂级数解析延拓的精确形式。

欧拉变换的 *** 作能被重复上好几次，它本质上等价于考虑幂级数在z=1处的解析延拓。

狄利克雷级数的解析延拓

考虑狄利克雷级数

解析延拓到s=0处的值，如果存在便是唯一的，将其定义为相应级数的和便给出了一个可和法。这个可和法有时会被混同于zeta函数的正则化。

zeta函数的正则化

如果级数

(对于正的an)对大的实s收敛，并且能沿着实线解析地延拓到s=−1，则它在s=−1处的值被称为级数a1+a2+的zeta正则和，这种广义和是非线性的。在应用中，ai有时会是有紧分解的自伴算子A的特征值，从而f(s)是A的迹。例如，若A有特征值 1, 2, 3, 则f(s)是黎曼zeta函数，ζ(s)在s=−1处的值是−112，这为发散级数1 + 2 + 3 + 4 + …指派了相应的和。其它的s处的值，也能以此被理解为定义了相应的广义和，像是ζ(0) = 1 + 1 + 1 + = −12、ζ(−2) = 1 + 4 + 9 + = 0。一般而言，

其中Bk是伯努利数。[5]

=n!zeta(n+1)

zeta为黎曼zeta函数

zeta(n)=(1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+)

需要过程的话去看zeta(x)到zeta(n)的推导过程

这个式子基本就是黎曼zeta函数的定义