函数可积的条件

可积函数的函数可积的充分条件：

1、函数有界；

2、在该区间上连续；

3、有有限个间断点。

函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

扩展资料：

勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。

最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。

但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

这个是Riemann可积性的重要的例子，用定义来证明两函数的可积性。

Riemann积分的定义，就是对区间任意分划，当分划无限加细时，Riemann（有限）和式收敛。

对Dirichlet函数（你举的后一函数），容易看出，当分划点都取有理数时，Riemann和为1，而分划点都取无理数时，Riemann和为0，再注意到有理数和无理数的稠密性，知Riemann和不可能收敛（有子列收敛于不同的数）。从而Dirichlet函数是Riemann不可积的。

但对Riemann函数（前一个函数），像一般教科书上讲的，Riemann和收敛于0。事实上直观地看，取一定大小的分母，Riemann和式中，只有与分母大小相关那么多项函数值比较大，但这部分分划的小区间宽度很小；而大部分项则函数值很小，分划小区间长总和则不超过大区间长1：从而总的Riemann和可以控制得任意小。因而可以证明Riemann函数在[0, 1]区间上的定积分存在，值为0。

两个函数看似相似，但有本质的区别，就是连续性不同。

一般教材中讲连续性的部分往往也会举这两个函数的例子。事实上容易看出，Dirichlet函数点点不连续；而又不难证明，Riemann函数在所有的无理数点都是连续的（把无理数直观地看成分母为“无穷大”的分数可能有助于理解）。

也就是说，Dirichlet函数连续性十分地差，不连续的函数直观上也不可积的；另一方面，Riemann函数的连续性有了很大的改观，它只有可数无穷个点是不连续的（有理点）。我们知道实数轴上的无理数是不可数的，比有理数点多得多，因而Riemann函数“几乎”就是连续的。

事实上，在实变函数的理论中，可以证明更一般的结论：有界函数在区间上Riemann可积（定积分存在）的充分必要条件就是函数在区间上“几乎处处”连续，即不连续点集是零测集（[0, 1]上的有理数就是零测集）。我们看出正是连续性的差异使两个函数的可积性有巨大的差异。

关于上面两个函数可积性证明的细节，还是请你仔细阅读教材，我只能在此粗略地给出一个直观的证明思路。大部分数学分析的教材都有这两个函数的例子，如果还不明晰，多找几本数学分析的教材做参考是有好处的。

原式=1/2∫[2xe^（x^2） dx

=1/2∫e^（x^2） d（x^2）

=1/2e^（x^2）+C

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

扩展资料：

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

——不定积分

正方形的面积更大。

可通过以下计算进行验证：

1、假设长方形（正方形）的周长为2z，那么长a+b可以表示为a+b=z；

2、长方形的面积等于长乘以宽，即：S=ab=a×（z-a）=-a²-az。

3、S=-a²-az=-（a-z/2）²+x，当a=z/2时，函数有最大值，此时a=b，即该四边形为正方形时面积有最大值。

扩展资料：

正方形的性质：

1、两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直。

2、四个角都是90°，内角和为360°。

3、对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。

4、既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

6、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性。

7、在正方形里面画一个最大的圆（正方形的内切圆），该圆的面积约是正方形面积的785%[4分之π]； 完全覆盖正方形的最小的圆（正方形的外接圆）面积大约是正方形面积的157%[2分之π]。

8、正方形是特殊的矩形，正方形是特殊的菱形。

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函数的性质有哪些

原创经验

变幻的不等式 545

性质一：对称性

数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴X和Y轴对称。

原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函数上点的坐标的坐标值互为相反数。

关于一点对称：这种类型和原点对称颇为相近，不同的是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任意一点。

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性质二：周期性

所谓周期性也就是说，函数在一部分区域内的图像是重复出现的，假设一个函数F(X)是周期函数，那么存在一个实数T，当定义域内的X都加上或者减去T的整数倍时，X所对应的Y不变，那么可以说T是该函数的周期，如果T的绝对值达到最小，则称之为最小周期。

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性质三：奇偶性

奇偶性是指函数关于原点还是Y轴对称。

奇偶性成立的条件是定义域关于原点对称，如果定义域为[-1，9]，那么就没有必要考虑奇偶性，直接就可以定义为非奇非偶函数。

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性质四：单调性

这一性质是在函数运算中运用最为广泛的

它的主要用途在于计算函数定义域，值域，和最大最小值。

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如何计算极值：最直观的方法是看图，在学习到导数时，变幻的不等式将讲

　　如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

　　函数可积的判断：

　　定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

　　定理2：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

　　定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

书名：组合数学

ISBN：9787302261261

作者：周炜

定价：21元

出版日期：2011-9-1

出版社：清华大学出版社 本书是作者多年教学和研究成果的结晶，系统地研究了组合计数、组合设计以及相关数学理论。全书分为10章： 集合与函数，排列组合与多项式定理，整除性理论，数论函数，不定方程，同余式，线性递归方程与母函数，鸽巢原理和Ramsey（拉姆齐）定理，Burnside（伯恩赛德）引理和Pólya（波利亚）定理，相异代表组和区组设计。

本书可以作为计算机科学与技术、数学、密码学和其他相关专业研究生和本科生的教材使用，也可作为广大师生和工程技术人员的自学用书或参考书。 第1章集合与函数

11集合论基础

111集合的基本概念

112集合的代数运算及性质

113集合的运算性质

12函数、置换的循环分解

121函数的基本概念和一般性质

122置换的循环分解

13集合的基数、对合映射不动点定理

14集合上的二元关系

141二元关系的基本概念

142几种特殊的简单二元关系

143等价关系、商集

15容斥原理及应用

151容斥原理

152错位排列问题

153容斥原理应用举例

16Abel恒等式

17习题

第2章排列组合与多项式定理

21排列组合及其性质

211无重复排列和无限可重复排列

212无重复组合及其性质、多项式反演定理

213无重复有序分组、无重复无序分组

214无限可重复分组、无限可重复组合、多项式定理

215有限可重复组合与有限可重复排列

22排列组合应用举例

23Stirling公式

231Wallis公式

232Stirling公式

24习题

第3章整除性理论

31整数的整除性

32最大公约数和最小公倍数

33连分数

331实数的连分数表示

332实数的近似分数

333近似分数的既约性

334近似分数的误差估计

335整数线性组合ax-by=1的生成

34素数、二平方定理、算术基本定理

35习题

第4章数论函数

41[x]与{x}

42积性函数

43因子数τ(n)与因子和S(n)

44Euler函数(n)

45Mbius函数和Mbius反演定理

451Mbius函数及其性质

452Mbius反演定理

453圆排列问题

46习题

第5章不定方程

51二元一次不定方程

52三元一次不定方程

53勾股数定理

54习题

第6章同余式

61同余式的定义与性质

62完全剩余系和缩剩余系

63一元一次同余方程

64一元一次同余方程和方程组、中国剩余定理

65一元多项式同余方程

66习题

第7章线性递归方程与母函数

71递归方程

711线性递归方程解的结构、降阶定理

712常系数齐次线性递归方程的通解

713常系数非齐次线性递归方程的求解

714线性递归方程求解举例

72Fibonacci数列

721Fibonacci问题的求解

722Fibonacci数列的性质

723Fibonacci数列在优选法中的应用

73母函数及其性质

731母函数的定义

732母函数的一般性质

74错位排列和禁位排列

741错位排列问题

742棋盘多项式与禁位排列

75正整数分拆和Ferrers图

751正整数分拆

752Ferrers图

76Stirling数

761第一类Stirling数

762第二类Stirling数

763Stirling反演定理

77Catalan数

78Bernoulli数

79习题

第8章鸽巢原理和Ramsey定理

81鸽巢原理

82无向完全图的着色问题

83Ramsey定理

84Ramsey数的性质

85习题

第9章Burnside引理和Pólya定理

91群的基本知识

911半群、亚群、元素的阶

912群、陪集、Lagrange定理

92Burnside引理和Pólya定理

921Burnside引理

922简化的Pólya定理

923Pólya基本定理

93习题

第10章相异代表组和区组设计

101相异代表组

102公共代表组

103完全区组设计与拉丁方

104有限域基础

105正交拉丁方

106均衡不完全区组设计(BIBD)

1061BIBD的概念

1062三连组系

1063对称BIBD

1064由对称BIBD构造其他BIBD

107Hadamard矩阵

108习题

参考文献