求椭圆积分资料

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：F(sn(z;k);k) = z其中sn是雅可比椭圆函数之一。

记法

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

模角; 椭圆模; 参数; 上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

幅度x其中 u，其中x= sn u而sn是雅可比椭圆函数之一 规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意u也依赖于m。其它包含u的关系有

和

后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分F定义为

与此等价，用雅可比的形式，可以设 ；则

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符；| \是椭圆积分中的传统做法。

但是，还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik [1], Eq(8111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等；至少当0<x<1时是相等的。

注意

其中u如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

第二类不完全椭圆积分E是

与此等价，采用另外一个记法（作变量替换），

其它关系包括

第三类不完全椭圆积分是

或者

或者

数字n称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。

如果幅度为pi/2或者x=1，则称椭圆积分为完全的。 第一类完全椭圆积分K可以定位为

或者

它是第一类不完全椭圆积分的特例：

这个特例可以表达为幂级数

它等价于

其中n!!表示双阶乘。采用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以采用算术几何平均值计算。特殊值　　第一类完全椭圆积分的导数}-

第二类完全椭圆积分E可以定义为

或者

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

它可以用幂级数表达

也就是

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作特殊值　　第二类完全椭圆积分的导数

第三轮完全椭圆积分Π可以定义为

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的n，也即

第三类完全椭圆积分的导数

1、对于椭圆函数，如果使用隐函数求导法，也就是链式求导法，

可以计算椭圆上的任何点的切线斜率、切线方程、法线方程；

2、如果不使用使用隐函数求导法，也就是说解出方程，成为显

函数，但是求导依然是链式求导；

3、不用隐函数求导，其实并不简洁，会出现正负号问题。

显函数 = explicit function；

隐函数 = implicit function；

椭圆函数 = elliptic function；

链式求导 = chain rule；

切线方程 = equation of tangent line；

法线方程 = equation of normal line。

椭圆的其次方程这个题目啊，我应该会一点，我帮你找一下。其实椭圆的其次方程是非常重要的东西，作文的内容，如果这个学不好的话，那么在高中的数学里面就会造成一个很大的失误，因为这类题目话会经常出现出现在重要的问答题或者选择题里面，这种题目一定要自己把握好。

椭圆的参数方程知识，可以拓宽视野，简化平面解析几何的运算。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用。

一般都是这样定义的：

椭圆的参数方程是（α是参数，）。

特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r>0）。

一、求椭圆的内接多边形的周长及面积

例1 求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。

解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。

，

当且仅当时，，，此时α存在。

二、求轨迹

例2 已知点A在椭圆上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程。

解：由题意知B（0，9），设A（），并且设M（x，y）。

则

，

动点M的轨迹的参数方程是（α是参数），

消去参数得。

三、求函数的最值

例3 设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。

解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且），

则。

当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。

四、求解有关离心率等入手比较困难的问题

例4 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。

解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。

则。而OP⊥AP，

于是，整理得

解得（舍去），或。

因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。

这些都是关于椭圆的，其次方程的例题或者题目，其中的答案和内容的话，都是经过在网上仔细筛选的，如果可以帮助到题主的话，希望题主可以自己好好看一下，自己好好理解这个题目，因为人的方程式非常重要的一个科目。

这么说吧，以前中国的教材难度大，把学生都当成可以成名成家的目标培养的！但难度大也有个缺点，学不会造成厌学…

现在一直在降难度，考题也适中，这适合中上水平的学生、适合女生…尖子生自己想办法加课！

所以，奥数等优秀的学生，大学很受欢迎！

其实大学招生，除了看你掌握的知识，更看重的是你学习能力（智商）！

老外查你的学习能力，用的最多的是：除了母语，会几门外语，会什么外语？英语母语国家要求会非印欧语系的外语才算优秀！第二是数学的微积分…！学会最难最废脑的课程才体现你优势

问题挺简单的，直观答案就是数学系也是分方向的。而所有数学系学生都要学的公共课又不会涉及这么深的知识点。

题主问的领域哪怕在数学系也是比较冷门的存在。一些研究代数几何（Algebraic Geometry）的人才会学这些知识。

通常数学系的学生会有3个大的方向：一，统计：包括分析，统计，金融数学。这个是最热门的。二，理论数学，也叫pure maths，包括代数（群论，数论等等），几何（传统几何，解析几何，拓扑学等等）。三，应用数学。这个是以微积分为基础的，常用来解决物理问题，比如流体动力学。

18-19世纪的时候，各种特殊函数是数学系的重要内容。

研究它们不仅是数学上的兴趣，也有物理等等领域的实际用途。

比如椭圆函数就和单摆的精确运动有关，一大类常微分方程的解都能写成超几何函数。

20世纪以后，各种特殊函数的材料越积累越多，物理应用领域已经基本能满足需求。

实际上，对于物理应用领域而言，一个精巧的等式往往不如一个近似展开有用。

在纯数学角度呢？精巧的等式越来越难找。于此同时，数学本身也不断扩充，更强调抽象化，概况化。

你花时间把椭圆函数、超几何函数的一大堆性质搞熟，能写出一堆别人没见过的等式，解决物理问题不见得比物理系的强，对别的领域也暂时用不上，写论文还很难创新，不如认认真真把抽象代数、泛函分析、拓扑学、微分几何等等理论啃一遍。

数学专业的课程设置也是与时俱进的，不可能一成不变。现在的数学系和几十年前的数学系在课程设置方面差异很大。总的来讲，有广泛应用的热门课程，社会需求强烈的课程，会逐步加进来。比较冷门的一些课程会逐步减弱乃至淘汰。此类课程需要用到的时候，再补起来为时不晚。从总的趋势来看，数学系的课程负担是在加重而不是减轻。这样一来，有些难度较大，而用途较窄的课程就很难保留下来。道理也很简单。因为数学专业也是为社会的发展和进步服务的。过份脱离社会实际，对数学专业的发展和建设是不利的。实际上，有很多研究成果数学系是根本不做任何介绍的。例如，勒让德多项式，它已经有几百年的历史。但始终没有找到它的应用，所以它始终热不起来，数学系的学生不学也很正常，只有少数数学家对它感兴趣。

中国的数学专业，课程设置在世界上不算难度最大。例如俄罗斯的数学专业的课程设置不仅内容比中国多，难度也要大一些。这反映出各国科学教育界对专业设置理解上的差异。

美国的情况也差不多。美国高校数学专业的学生学习的内容比不上俄罗斯。但美国的科学技术，特别是高 科技 却很发达。

数学有著广泛的应用性。每个国家所处的发展阶段不同，国情也不同。都是根据本国的具体情况设置课程的。这其实很正常。本科教育只有四年，面面俱到是不可能的。

我翻看过王竹溪先生的大作《特殊函数概论》，好像还有19世纪英国一本书更如。这本书有这些个东东，太难了，复变函数围道积分处理了很多内容，都极难理解。

大概搞数论和加密算法的人能搞懂吧

1学时有限。其它非专业课，公修课程，职教实践课，校园文化活动等等，所占学时和课外时间太多，学生真正用到专业课上的时间反而占比很少。

2本科大部分为数学与应数学专业而非基础数学专业，有更多应用更广的专业课要学。

那不就是复变函数嘛

这其实是最有用的数学，至少在理论物理中应用广泛。数学系真的不学吗？

反正我认为，现在中国主要是培养工科性质的人才，真正搞科研的太少了。像我们搞动力和通信的，应该来说和这些超越函数打交道比较多。但是，除极少数情况下写文章忽悠人以外，基本用处不大。大多数情况下，只需要引用结果就是了。可以说，百分之九十九的工程情况，都不涉及超越函数这些东西。我大学在西交学动力，数学算学得多的了，后来在重大学通信与电磁场打交道，后来工作科研确实很少用到椭圆函数等超越函数，只是别人说的时候，我大概懂。

推行所谓素质教育

康复训练，减肥健身，心肺功能训练，放松心情。

1、康复训练：椭圆机是一种低冲击力的有氧运动器材，广泛应用于康复训练中。由于椭圆机对身体的冲击力小，适合运动能力较弱或关节有损伤的人使用，可以帮助恢复运动能力和提高身体的适应性。

2、减肥健身：椭圆机是一种全身性的有氧运动器材，可以有效地消耗卡路里，提高新陈代谢，减少体脂肪。因此，广泛应用于减肥和塑形健身中。

3、心肺功能训练：椭圆机是一种可以提高心肺功能的运动器材。使用椭圆机进行有氧运动可以增强心肺功能，改善血液循环，预防心血管疾病。

4、放松心情：使用椭圆机进行有氧运动可以促进身体内多巴胺、内啡肽等神经递质的分泌，从而缓解紧张和焦虑，使人感到放松和愉悦。

　　摘 要：图形函数是C语言函数库中的重要组成部分，利用图形函数可以绘制出非常精美的图形，该文介绍了常用C语言图形函数并通过一个具体的实例介绍了如何利用图形函数设计出完美、漂亮的图形。

关键词：C语言 图形函数 应用

引言

C语言是国际上广泛流行的很有发展前途的计算机高级语言。它既具有一般计算机高级语言的可读性、可移植性的特点，又具有低级语言能够对计算机硬件进行 *** 作的特性，因此，它适合用于 *** 作系统的描述语言，用C语言开发系统软件和应用软件。但在87ANSIC中并没有规定C语言的图形功能，许多C语言教材没有介绍C语言的图形功能，这给许多需要用C语言设计完美、漂亮的用户界面的初学者带来了困难［1－2］。本文旨在通过介绍Turbo C 20的主要图形函数及一个具体的实例简介这些函数的用法。

1 与图形绘制有关的系统硬件［2－3］

要使计算机能够绘制图形，必须有一定的硬件基础作为保障。图形绘制的硬件基础主要是显示器和显示卡。显示器的工作方式一般有文本方式和图形方式。要在屏幕上显示图形，必须将其设置成图形方式。衡量显示器的主要性能指标是点距和分辨率。目前显示器常用的点距有039mm、031mm和028mm三种。高档微机配置的彩色显示器目前流行的是VGA档次，它最低的分辨率为640×480，中档的是800×600，高档的是1024×768。显示器必须与显示卡配套使用才能发挥其图形功能。显示卡所能支持的不同分辨率的显卡类型称为显示模式。下表给出Turbo C中常用的几种显示卡的图形模式：

2 Turbo C 20中与绘图有关的常用图形函数

21 设置图形工作方式的函数：initgraph()。

Turbo C绘图，首先必须设置显示器为图形方式。该函数通过选定参数可确定显卡的类型及图形模式。

如：

int driver，mode；

driver=IBM8514；

mode=IBM8514HI；

initgraph(&driver，& mode，“c：＼temp”)；

将图形方式设置为IBM8514类型，IBM8514HI图形模式，1024×768的分辨率，搜索路径temp为C盘一级子目录。

22 颜色控制函数setbkcolor(int color)及setcolor(int color)。

其中setbkcolor( )设置背景颜色，setcolor( )设置划线颜色。

23 基本绘图函数

A line(int x1，int y1，int x2，int y2)

功能：从点（x1，y1）到点（x2，y2）画一直线。

B arc(int x，int y，int stange，int endangle，int r)

功能：以（x，y）为圆弧的中心，以stange为起始角度，以endangle为终止角度，以r为半径作一圆弧。

C setfillstyle(int pattern，int color)

功能：用参数pattern所确定的填充模式，用参数color确定的颜色进行填充。

D floodfill(int x，int y，int color)

功能：填充一个含有点（x，y）在内的有界封闭区域，这个有界封闭区域的边界由参数color确定，填充模式与填充颜色由函数setfillstyle设定。

24 字符输出函数

A settextstyle(int font，int direction，int size)

功能：在图形方式下设置字符的字体，式样和放大因子。

B outtextxy(int x，int y，char &str)

功能：在窗口（x，y）的位置输出字符或字符串。

C getch( )

功能：从控制台取得一字符且不输出，用来使程序暂停，按任意键后使程序继续运行。

3 绘制一个圆饼型统计图的程序如下

#include

main( )

{ int driver，mode；

driver=VGA；

mode=VGAHI；

initgraph(&driver，&mode，“ ”)；

setbkcolor(0)；

setcolor(15)；

arc(320，240，0，360，180)；

line(320，240，500，240)；

line(320，240，443，112)；

line(320，240，266，70)；

line(320，240，200，374)；

setfillstyle(4，2)；

floodfill(340，230，15)；

setfillstyle(5，9)；

floodfill(340，180，15)；

setfillstyle(7，4)；

floodfill(300，240，15)；

setfillstyle(8，3)；

floodfill(340，280，15)；

setcolor(14)；

settextstyle(1，0，4)；

outtextxy(410，180，“14%”)；

settextstyle(1，0，4)；

outtextxy(330，110，“16%”)；

settextstyle(1，0，4)；

outtextxy(200，200，“34%”)；

settextstyle(1，0，4)；

outtextxy(340，310，“36%”)；}

上述程序在Turbo C 20中上机通过编译、连接、运行，可得到精美的圆饼型图。读者通过阅读并上机调试运行该程序可以对C语言的图形设置、绘制；颜色的控制、填充等函数的应用有一个感性的认识，对复杂枯燥的C函数提高学习兴趣。

结语

目前许多C语言教材很少介绍C语言的图形功能，而许多C语言学习者对C语言的图形功能很感兴趣，为帮助初学者学习C语言绘图函数并提高学习兴趣，本文简单介绍了C语言一些常用的绘图函数及其应用，权当抛砖引玉！还有一些图形函数没有列出，读者若有兴趣可参阅《C语言函数大全》。

参考文献：

［1］徐士良PC机C图形编程手册北京：清华大学出版社，19942

［2］谭浩强C程序设计（第二版）［M］北京：清华大学出版社，1999

［3］MarkFinlayC和C++图形程序设计基础北京：龙门书局，19974

［4］Herbert Schildt著戴健鹏译C语言大全（第二版）［M］北京：电子工业出版社，1994

椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线，它的(仿射)方程，通常称为维尔斯特拉斯方程，可以写成　如果这个域的特征不等于2和3，则可以改写成

或

作为实曲面看，复数域上的椭圆曲线就是带有一个洞的闭曲面－－环面。环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为1。

椭圆曲线和椭圆函数，椭圆积分等内容密切相关。 著名的费马大定理的证明也与此有关。总之，椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。