正弦函数与反正弦函数的作图分别是怎样的？

由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称：知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

作图：先画出函数

在

上的图像，用平板玻璃或透明纸描好图像，翻转过来。

扩展资料：

在数学中，反三角函数（偶尔也称为弓形函数（arcus functions），反向函数（antitrigonometric functions）或环形函数（cyclometric functions）是三角函数的反函数（具有适当的限制域）。 

具体来说，它们是正弦，余弦，正切，余切，正割和辅助函数的反函数，并且用于从任何一个角度的三角比获得一个角度。 反三角函数广泛应用于工程，导航，物理和几何。

反正弦函数（反三角函数之一）为正弦函数y=sinx（x∈[-½π,½π]）的反函数，记作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

参考资料：

-反正弦函数

简介：

反三角函数中的反正切。意思为:

tan(a) = b; 等价于 Arctan(b) = a。

计算性质：

tan(arctan a ) = a

arctan(-x) = -arctan x

arctan A + arctan B= arctan(A+B)/(1-AB)

arctan A - arctan B= arctan(A-B)/(1+AB)

arctan x + arctan (1/x) =π/2

反三角函数在无穷小替换公式中的应用:

当x→0时，arctanx~x

　作为一名教师，常常要写一份优秀的教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。那么应当如何写教案呢？以下是我整理的正弦函数、余弦函数的图象教案，欢迎大家分享。

正弦函数、余弦函数的图象教案1

　 一、教材分析：

　本节课是高中新教材《数学》第一册（下）§48《正弦函数、余弦函数的图象和性质》 的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法．为今后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用．

　 二、学情分析：

　在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。

　 三、教学目标：

　依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标：

　知识目标是：1．理解几何法作图原理（难点）；

　2．掌握五点法作图（重点）；

　3．了解三角函数图象的变换作图．

　能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、

　解决问题的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想．

　发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于

　探索、勇于创新的精神，提高综合素质．

　 四、设计理念：

　教无定法，贵在得法．诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞．为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣．采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法；教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法．体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则．使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣．也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．

　 五、教学程序：

　本节课的教学过程设计，主要是从“三性”即“课堂流程的可 *** 作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整个教学过程作如下安排：

　教学程序图如下：

　第一部分：导入．先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣．指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象．如何作出该曲线呢？

　以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动．

　第二部分：几何法作图．引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图．先作出 y＝sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出 y＝sinx，x∈R的图象．同法得出 y=cosx，x∈R的图象．

　第三部分：多媒体展示．教师利用多媒体展示用Flash动画制作的>课件，规范作图过程和步骤,统一认识y＝sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。

　第四部分：“五点法”作图．曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤．

　第五部分：总结．让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充．这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用．

　如此设计，联系了新旧知识，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律在这种螺旋式上升的过程中，学生将通过自己的亲自动手实践,不仅学到本节课的知识，而且还将提高思维水平和认知能力．同时也体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展"的教学思想．同时在教学过程中配以多媒体>课件的展示，图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率．

　为了突破几何法作图这个难点，制作了多媒体>课件，将 y＝sinx，x∈R

　和 y＝cos x，x∈R图象的作法分解为三个问题来解决，降低了难度．通过展示>课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣，调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的)．及时让学生跟着演示作图，提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力．直观的动画，不仅使学生愉快地接受新知识，而且将激发学生的创造性思维和想象力，使学生充分发挥其思维潜能，拓展思维空间．

　用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点．第一步设疑：“几何法作图．由于取点个越多，画出的图象也就比较精确，但也较为麻烦．在精确度要求不高的前提下，能否少定一些点，作出其简图呢？”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心，激起学生强烈的求知欲．第二步引导：让学生观察正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]和余弦函数y＝ cosx，x∈[0，2π]的图象，启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢？引导学生寻找出五个关键点．体现教师的主导作用；第三步小结：让学生分组讨论，互相补充，归纳出五点法作图步骤．教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题，然后小结：“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图，对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用．这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为教学的主体．

　应用：画出下列函数的简图：

　(1)y=1+sinx x∈［0,2π］;

　(2)y=－cosx x∈［0,2π］

　解:(1)按五个关键点列表:

　利用正弦函数的性质描点画图(如下图)

　(2)按五个关键点列表:利用余弦函数的性质描点作图(如下图)

　反馈练习:

　1在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[－ , ]的简图通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就可以得到前者

　2观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间:

　(1)sinx＞0 (2)sinx＜0 (3)cosx＞0 (4)cosx＜0

　（例题、练习都用>课件展示）

　本节例题仍选用教材上的例题，但解答除“五点法”之外，又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图．通过一题多解，可帮助学生加深对知识的认知程度，培养灵活的思维方式．学会遇到新问题时，善于调动所学过的旧知识，运用新旧知识间的联系，增强分析问题和解决问题的能力．

　反馈练习设计层次分明：练习1为巩固基础知识型，对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);练习2为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用，由易到难，体现因材施教重效果,循序渐进促发展的教学理念．

　最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达到发展和升华，能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫，提高综合素质．

　 六、板书设计：(略)

　 七、布置作业：(略)

正弦函数、余弦函数的图象教案2

　 一、教材分析

　1、教材的地位与作用

　《正弦函数、余弦函数的图象与性质》是高中《数学》第一册（下）第四章第八节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数的图象与性质，为今后正切函数的图象与性质、函数的图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。

　2、教学重点和难点

　教学重点：正弦函数、余弦函数的图象的形状及“五点作图法” 。

　教学难点：（1）利用单位圆画正弦函数图象；

　（2）利用正弦函数图象和诱导公式画出余弦函数图象。

　 二、目标分析

　根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下。

　1、知识目标

　（1）利用正弦线画出正弦函数的图象。

　（2）利用正弦函数的图象和诱导公式画出余弦函数的图象。

　（3）用“五点作图法”画正弦函数、余弦函数的简图。

　2、能力目标（1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；

　（2）掌握正弦函数图象的“五点作图法”；

　（3）培养观察能力、分析能力、归纳能力、表达能力；

　（4）培养数形结合和化归转化的数学方法。

　3、德育目标

　（1）渗透由抽象到具体的，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点；

　（2）培养学生勇于探索、勤于思考的；

　（3）使学生懂得数学是源于生活，服务于生活的数学特点。

　4．美育目标

　通过作图，使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学生体会事物周期变化的奥秘，激发学生学习数学的兴趣。

　 三、教法、学法分析

　1．教学方法

　教学形式是为教学内容服务的，不同的教学形式会产生不同的效果。以“开放、多样、互动”为主旨的教学形式必然使教学过程丰富多彩。以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者，指导者、帮助者和促进者的作用，利用情景，协作发挥学生的主动性、创造性，最终达到使学生有效的对所学知识，自主建构。本节采用建构主义学习环境下的启发式教学模式。

　2．学习方法

　建构主义认为，学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其自身己有的知识和经验为基础的主动建构。教学过程的实质是学生主动探索、主动建构的过程。本节课引导学生采用以下两种学习方式：

　（1）．交流合作的学习方式：

　学生与学生、学生与教师之间交流，讨论，合作实践学习任务。

　（2）．抽象归纳的学习方式：

　学生由具体的演示过程，分析归纳，并从中抽象出数学方法和结论。

　3．教学手段：

　课堂教学中，积极运用现代化教学手段，充分地发挥多媒体的形象性，直观性，同时也充分利用传统教学手段，在教学中体现教学手段的多样式，为学生的发展科学地、有效地保障。图文并茂的表现形式使学生更易吸收、消化。本节课利用多媒体演示“正弦函数的几何作图法”以及图象变换。

　 四、教学程序

　教 学 过 程

　设 计 意 图

　（一）创设情景。

　1。实物演示：

　“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”

　思考：

　问题一：1、该曲线是何曲线？

　2、你有办法画出该曲线的图象吗？

　2。复习

　弧度制、函数相关知识、正弦线、作图法、图象的平移。

　（二）探究新知。

　1、课件演示：“正弦函数图象的几何作图法”

　2、

　教师引导：在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确），过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、……、等角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到这一段（≈6。28）分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数，的图象。

　因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数

　在的图象与函数，的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每

　次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象，即正弦曲线。

　问题二：1、函数，的图象中起着关键作用的点是哪些点？

　2、几何作图法虽然比较精确，但是不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？

　五个关键点：

　事实上，描出这五个点，函数，的图象的形状就基本确定了。今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们把这种方法称为“五点作图法”。

　课件演示：“正弦函数图象的五点作图法”

　用变换法作余弦函数y=cosx

　是同一个函数；余弦函数的图象可由正弦曲线向左平移个单位

　图中的五个关键点：

　与画函数，的简图类似，通过这五个点，可以画出函数，的简图。

　例1：用“五点作图法”画出函数

　，的简图。

　课堂练习：

　（1） y = — cosx ，x∈[0，2π]

　（2） y = sinx—1，，x∈[0，2π]

　7、课堂

　（1）正弦函数图象的几何作图法；

　（2）正弦函数、余弦函数图象的五点作图 法；使学生通过作业进一步掌握和巩固本节内容。

　（3）正弦函数与余弦函数图象间的联系。

　8、布置作业：

　1、习题4。8第1题、第8题

　 五、板书设计

　一 、正弦函数的图象

　1、代数描点法

　2、几何描点法（多媒体课件展示）

　3、函数y=sinx， xR的图象

　二、 余弦函数的图象

　函数y=cosx，xR的图象

　三、 五点作图法

　四、例1。y = sinx+1，x∈[0，2π]

　五、 课堂练习（1） y = — cosx x∈[0，2π]

　（2） y = sinx—1 x∈[0，2π]

　六、

　七、作业习题4。8第1题、第8题

　 六、分析

　本课教学设计力求体现以教师为主导、以学生为主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学。又要体现知识的发现过程，培养学生的创新意识和探索实践能力，突出以下几点：

　1。注重目标控制，面向全体学生，启发式教学。

　2。学生参与知识的形成过程，使学生听有所思，思有所获，增强学生学习数学的信心和兴趣。

　3。注重师生双边交流，学生间协作交流。

　让学生观察，了解日常生活中的实际问题，使学生领悟到“数学源于生活，服务于生活的特点” 从而培养学生的兴趣，激发学习的热情。

　为后面的学习作为铺垫。

　通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点。培养学生观察能力、分析能力。

　注意渗透由抽象到具体的，促进学生数学方法的形成，引导学生确实掌握“数形结合”的方法。

　让学生交流、讨论、合作，由具体的演示过程分析归纳，从中抽象出数学结论。

　通过问题引导学生思考、分析，培养学生数形结合的数学方法。

　图象中起关键作用的五点，学生可能说不全，应进行耐心引导。

　重在培养学生掌握研究问题的方法，让学生在学习中自主建构。

　让学生感觉正弦函数的图象的形状。帮助学生理解五个关键点。并且提高学生的审美情趣和对数学浓厚的兴趣。

　“五点作图法”的一般步骤：列表、描点、连线。应注意在图中标出关键点的横、纵坐标。

　对学生提问，由学生讨论，培养学生的归纳能力、表达能力。

　然后教师重新演示课件，进行和补充。

　通过对比、分析、引导学生学会化归转化的数学方法。

　通过例题的方式巩固学生的学习，将知识转化为能力。

　让两个学生板演，重在检验学生理解知识、

　运用知识的能力情况。

　培养学生合作学习和数学交流的能力。渗透由具体到抽象的。

　作业布置注意分层，满足不同层次学生的需要。

正弦函数、余弦函数的图象教案3

　 学习目标

　1、了解利用正弦线作正弦函数图象的方法；

　2、掌握正、余弦函数图象间的关系；

　3、会用“五点法”画出正、余弦函数的图象。

　预习课本P30———33页的内容

　新知自学

　知识回顾：

　1、正弦线、余弦线、正切线：

　设角α的终边落在第一象限，第二象限，…

　则有向线段 为正弦线、余弦线、正切线。

　2、函数图像的画法：

　描点法：列表，描点，连线

　新知梳理：

　1、正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段_________叫做角α的正弦线，有向线段___________叫做角α的余弦线。

　2、正弦函数图象画法（几何法）：

　（1）函数y=sinx，x∈的图象

　第一步：12等分单位圆；

　第二步：平移正弦线；

　第三步：连线。

　根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为______，就得到y=sinx，x∈R的图象。

　感悟：一般情况下，两轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的“胖瘦不一”，形状各不相同。

　（2）余弦函数y=cosx，x∈的图象

　根据诱导公式 ，还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移 单位即得余弦函数y=cosx的图象。

　探究： 正弦函数曲线怎么变换可以得到余弦曲线？方法唯一吗？

　3、正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

　4、“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图：

　（1）正弦函数y=sinx，x∈的图象中，五个关键点是：

　（0，0），__________， （p，0），

　_________，（2p，0）。

　（2） 余弦函数y=cosx，x？的图象中，五个 关键点是：

　（0，1），_________，（p，—1），__________，（2p，1）。

　对点练习：

　1、函数y=cosx的图象经过点（ ）

　A、（ ） B、（ ）

　C、（ ，0 ） D、（ ，1）

　2、 函数y=sinx经过点（ ，a），则的值是（ ）

　A、1 B、—1 C、0 D、

　3、 函数y=sinx，x∈的图象与直线y= 的交点个数是（ ）

　A、1 B、2 C、0 D、3

　4、 sinx≥0，x∈的解集是________________________、

　合作探究

　典例精析：

　题型一：“五点法”作简图

　例1、作函数y=1+sinx，x∈ 的简图。

　变式1、画出函数y＝2sinx ，x∈〔0，2π〕的简图。

　题型二：图象变换作简图

　例2、用图象变换作 下列函数的简图：

　（1）y=—sinx；

　（2）y=|cosx|，x 、

　题型三：正、余弦函数图象的应用

　例3 利用函数的图象，求满足条件sinx ，x 的x的集合。

　变式2 、求满足条件cosx ，x 的x的集合。

　课堂小结

　知识&nbs

　p； 方法 思想

　当堂达标

　1、函数y=—sinx的图象经过点（ ）

　A、（ ，—1） B、（ ，1）

　C、（ ，—1） D、（ ，1）

　2、函数y=1+sinx， x 的图象与直线y=2的交点个数是（ ）

　A、0 B、1 C、2 D、3

　3、方程x2=cosx的解的个数是（ ）

　A、0 B、1 C、2 D、3

　4、求函数 的定义域。

　课时作业

　1、用“五点法”画出函数y=sin x—1，x 的图象。

　2、用变换法画出函数y=—cosx， x 的图象。

　3、 求满足条件cosx （x 的x的集合。

　4、在同一 坐标系内，观察正、余弦函数的图象，在区间 内，写出满足不等式sinx≤cos的集合。

　延伸探究

　5、方程sinx=x的解的个数是_____________________、

　6、画出函数y=sin|x|的图象。

这类题主要要记住正切函数的图像，从图中可得，当tanx>0时，x属于(kπ，kπ+π/2)；当tanx=0时，x=kπ；当tanx<0时，x属于(kπ-π/2，kπ)。3x不等于kπ+π/2，所以x等于kπ/3+π/6。

三角函数中：

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

1正弦公式是

sin(a)

=

直角三角形的对边比斜边

放到圆里,斜边r为半径,对边y平行Y向,邻边x平行X向

斜边与邻边夹角a

sin(a)

=

y

/

r

无论y>x

或

y<=x

无论a多大多小

2余弦=勾长/弦长

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点。

3在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanA=a/b，即tanA=BC/AC。

4直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比,叫做该锐角的余切。

假设∠A的对边为a、邻边为b，那么:

cot

A=

b/a(即邻边比对边)。