怎么证明函数连续性？

可微定义是在某点存在x+△x，y+△y 增量趋于0

有lim△f(x,y)=fx△x+fy△y+o(√x²+y²)

连续性是指lim f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=lim△f(x,y)=0

已知可微有lim△f(x,y)=fx△x+fy△y+o(√x²+y²)，所以在△x和△y趋近0时， fx△x为0，fy△y为0，而o(√x²+y²)为△x 和△y高阶无穷小，必为0

得到连续性的证明。

没有专门的一个公式或定理，但是我可以总结几个方法给你看看。

如果一个多元函数是连续的，那么一般的做法是这样：通过夹逼法，h(x)<f(x)<g(x)，而h(x)与 g(x)的极限又是相等的，然后通过对比f(x)在某一点的函数值，最后得出结论是否相等。而一般的，这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性，而又往往左边h(x)是0，右边g(x)也是趋于零的。而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。

如果一个多元函数是不连续的，这种最开心了，为什么这么说呢，一般的你可以先设定变量间的关系，比如y = kx，y = kx^2等等，最后发现极限与k相关，k取不同的值极限也取不同的值，所以极限是不存在的。

不知我表达清楚了没有，若由疑问请追问哦

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义，且极限与函数值相等，则函数在x0连续

2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件），则函数在x0连续

3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值，则在x0不连续

4、观察图像（这个不严谨，只适用直观判断）

5、记住一些基本初等函数的性质，大部分初等函数在定义域内都是连续的

6、连续函数的性质：连续函数的加减乘，复合函数等都是连续的

判断函数连续的三种方法如下：

1、求出该点左右极限，若左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则说明函数在此点连续。

2、从图像上看，若图像是一条不断开的曲线，则函数连续，若图像从某点处断开，则函数在该点就不连续。

3、若一个函数在该点处可导，那么这个函数一定连续。

函数连续性的定义：设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若 lim（x-x0）f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0处连续。若函数f（x）在区间的每一点都连续，则称f（x）在区间上连续。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim（x->x0）f（x）=f（x0），则称函数f在x0点连续。

如果定义在区间上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在上连续，此时它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

x>1显然是连续的。

在x=1处：

limf(1-)=limx=1=f(1)

limf(1+)=1，所以limf(1-)=f(1)=limf(1+)，所以在在x=1处连续。

在x=0处：

f(0)=0

f(0-)=0

f(0+)=limx=0

f(0-)=f(0)=f(0+）

所以在在x=0处连续。

所以函数在(-∞,+∞)连续。

该点的左极限=右极限=函数在该点的函数值。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续的。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

另一个不连续函数的例子为符号函数。