转换为科学记数法时出现双精度误差

概述转换为科学记数法时出现双精度误差 @H_301_0@我正在构build一个程序来将双精度值转换为科学值格式（尾数，指数）。 然后我注意到下面

@H_301_0@369.7900000000000 -> 3.6978999999999997428 68600000 -> 6.8599999999999994316

@H_301_0@我也注意到了其他几个值的相同模式。 最大分数误差是

@H_301_0@0.000 000 000 000 001 = 1*e-15

@H_301_0@我知道在计算机中代表双精度值的不准确性。 这可以得出结论：我们得到的最大分数误差是1*e-15 ？ 什么是重要的呢？

@H_301_0@我经历了堆栈溢出中浮点精度问题的大部分问题，但是我没有看到有关64位的最大分数误差的问题。

@H_301_0@为了清楚我做的计算，我也提到了我的代码片段

@H_301_0@double norm = 68600000; if (norm) { while (norm >= 10.0) { norm /= 10.0; exp++; } while (norm < 1.0) { norm *= 10.0; exp--; } }

@H_301_0@现在我明白了

@H_301_0@norm = 6.8599999999999994316; exp = 7

@H_301_0@您得到的数字与double数据类型的机器epsilon有关。

@H_301_0@一个double是64位长，1位为符号，11位为指数，52位为尾数部分。 double的价值是由

@H_301_0@1.mmmmm... * (2^exp)

@H_301_0@由于尾数只有52位，所以当加到1.0时，任何低于2^-52 double值都会完全丢失，因为它的意义小。 在二进制中， 1.0 + 2^-52就是

@H_301_0@1.000...00 + 0.000...01 = 1.000.....01

@H_301_0@显然，任何更低的值都不会改变1.0的值。 你可以自己验证一个程序中的1.0 + 2^-53 == 1.0 。

@H_301_0@这个数字2^-52 = 2.22e-16被称为机器epsilon，并且是一个浮点运算期间出现的相对误差的上界，因为具有double值的舍入误差。

@H_301_0@同样， float的尾数为23位，所以它的机器epsilon是2^-23 = 1.19e-7 。

@H_301_0@你得到1e-15的原因可能是因为当你执行许多算术运算时积累的错误，但我不能说，因为我不知道你正在做的确切的计算。

@H_301_0@编辑 ：我已经看着你的问题68600000相对错误。

@H_301_0@首先，您可能有兴趣知道，如果您将步骤分解为四舍五入错误，则可能会改变您的计算结果：

@H_301_0@686.0/10.0 = 68.59999999999999431566 686.0/10.0/10.0 = 6.85999999999999943157 686.0/100.0 = 6.86000000000000031974

@H_301_0@在第一行中，最接近68.6的double低于实际值，但在第三行中，我们看到最接近6.86的double 。

@H_301_0@如果我们看看程序的绝对错误 e_abs = abs(v-v_approx) ，我们看到它是

@H_301_0@6.8600000 - 6.85999999999999943156581139192 ~= 5.684e-16

@H_301_0@然而， 相对误差 e_abs = abs( (v-v_approx)/ v) = abs(e_abs/v)将是

@H_301_0@5.684e-16 / 6.86 ~= 8.286e-17

@H_301_0@这确实低于我们的2.22e-16机器epsilon。

@H_301_0@如果你想知道关于浮点运算的所有细节， 这是一篇你可以阅读的着名论文。

总结

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