二叉排序树（二叉搜索树）【C++】

树

本次整理树的部分大概包括：二叉树、二叉搜索树、AVL树、红黑树、B树、T树。

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第二部分 二叉排序树（BST） 1、定义：

二叉排序树，又称二叉搜索树。二叉排序树是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

• 每个节点都有一个作为搜索依据的关键码（key），所有节点的关键码互不相同。
• 左子树（如果存在）上所有节点的关键码的值都小于根节点的关键码
• 右子树（如果存在）上所有节点的关键码的值都大于根节点的关键码
• 左子树和右子树也是一棵二叉排序树

例如：

2、二叉排序树的存储

和二叉树相似，二叉排序树的链式存储如下：

//二叉排序树
typedef int Elemtype;
typedef struct BstNode
{
    Elemtype data;
    struct BstNode* leftchild;
    struct BstNode* parent;
    struct BstNode* rightchild;
}BstNode, * BstTree;

区别点在于，结点多了一个parent域，方便查找结点的父节点。

二叉排序树的创建
实际上每次插入一个新的结点，都是按照下面的步骤来执行的：
①首先判断树的根空不空，若为空，则创建新根，否则到第二步；
②寻找这棵树中是否已经相同关键码的结点，若有则不插入，返回；否则继续执行；
③若不含有相同关键码的结点，经过第2步，找到的位置就应该是此关键码即将要插入的位置；
④申请新节点，进行初始化，插入这棵树种（完善节点间指向关系）

//申请新结点
BstNode* Buynode()
{
    BstNode* s = (BstNode*)malloc(sizeof(BstNode));
    if (s == NULL) exit(1);
    //memset(s, 0, sizeof(BstNode));
    s->data = 0;
    s->parent = NULL;
    s->leftchild = NULL;
    s->rightchild = NULL;
    return s;
}

BstNode* MakeRoot(Elemtype kx)
{
    BstNode* s = Buynode();
    s->data = kx;
    return s;
}
bool Insert(BstTree& ptr, Elemtype kx)
{
    if (ptr == NULL)
    {
        ptr = MakeRoot(kx);
        return true;
    }
    BstNode* pa = NULL;
    BstNode* p = ptr;
    while (p != NULL && p->data != kx)
    {
        pa = p;
        p = kx < p->data ? p->leftchild : p->rightchild;
    }
    if (p != NULL && p->data == kx) return false;//找到了不插入

    p = Buynode();
    p->data = kx;
    p->parent = pa;
    if (pa==NULL)
    {
        ptr = p;
    }
    else
    {
        if (p->data < pa->data)
        {
            pa->leftchild = p;
        }
        else
        {
            pa->rightchild = p;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    BstTree root = NULL;

    int ar[] = { 53,17,78,9,45,65,87,23,81,94,88,100 };
    int n = sizeof(ar) / sizeof(ar[0]);
    for (int i = 0 ; i < n; ++i)
    {
        cout << Insert(root, ar[i]) << endl;
    }
}

二叉排序树的遍历

//先序遍历（递归）
void PreOrder(BstNode* ptr)
{
    if (ptr != NULL)
    {
        cout << ptr->data<<" ";
        PreOrder(ptr->leftchild);
        PreOrder(ptr->rightchild);
    }
    
}
//中序遍历（递归）
void InOrder(BstNode* ptr)
{
    if (ptr != NULL)
    {
        InOrder(ptr->leftchild);
        cout << ptr->data << " ";
        InOrder(ptr->rightchild);
    }

}

//按照关键码从小到大遍历
void NiceOrder(BstNode* ptr)//小——>大
{
    for (BstNode* p = First(ptr); p != NULL; p = Next(p))
    {
        cout << p->data << " ";
    }
    cout << endl;
}
//按照关键码从大到小遍历
void Nicereverse(BstNode* ptr)
{
    for (BstNode* p = Last(ptr); p != NULL; p = Pre(p))
    {
        cout << p->data << " ";
    }
    cout << endl;
}

寻找二叉排序树的第一个元素结点
因为二叉排序树的定义是要这样的，每个节点其左子树的所有节点的关键码都小于其值；其右子树的所有节点的关键码都大于其值。因此，一棵二叉排序树的第一个元素结点一定是最左的那个叶结点。
同理，二叉排序树得到最后一个元素结点一定在其最右边的叶子结点上。

BstNode* First(BstNode* ptr)
{
	while(ptr!=NULL && ptr->leftchild!=NULL)
	{
		ptr=ptr->leftchild;
	}
	return ptr;
}
BstNode* Last(BstNode* ptr)
{
    while (ptr != NULL && ptr->rightchild != NULL)
    {
        
        ptr = ptr->rightchild;
    }
    return ptr;
}

寻找某结点的上一个元素结点，若给结点有左子树，上一个元素结点就是其左子树的Last()结点；若没有左子树，则向上回溯，若此节点是父节点的右孩子，则返回父节点，反之一直向上回溯。
同理，寻找某结点的下一元素结点，若该节点有右子树，则下一结点就是右子树的第一个元素结点；否则，向上回溯，若此节点是父节点的左孩子，返回父节点，反之一直向上回溯。

BstNode* Pre(BstNode* ptr)
{
    if (ptr == NULL) return NULL;
    if (ptr->leftchild != NULL)
    {
        return Last(ptr->leftchild);
    }
    else//左孩子为空
    {
        BstNode* pa = ptr->parent;
        while (pa != NULL && pa->rightchild != ptr)
        {
            ptr = pa;
            pa = pa->parent;
        }
        return pa;
    }
}
BstNode* Next(BstNode* ptr)
{
    if (ptr == NULL)return NULL;
    if (ptr->rightchild != NULL) return First(ptr->rightchild);
    else
    {
        BstNode* pa = ptr->parent;
        while (pa != NULL && pa->leftchild != ptr)
        {
            ptr = pa;
            pa = pa->parent;
        }
        return pa;
    }
}

二叉排序树的删除：
首先，判断该二叉排序树中是否有该节点，若无，则返回；
若存在，且当前节点是双分支，则找到该节点的下一元素结点，交换两节点值，这样就变成了删除某个叶子结点；
此时，要删除的结点要么是叶结点，要么是个单分支节点：删除其父节点即可。

bool Remove(BstNode* ptr,Elemtype kx)
{
    if (ptr == NULL) return false;
    BstNode* pa = nullptr;
    BstNode* p = ptr;
    while (p != NULL && p->data != kx)
    {
        p = kx > p->data ? p->rightchild : p->leftchild;
    }
    if (p == NULL) return false;//未找到kx值

    if (p->leftchild != nullptr && p->rightchild != NULL) //双分支
    {
        BstNode* q = First(p->rightchild);//找next(p)
        p->data = q->data;
        p = q;//替换去删
    }
    //p ->leaf叶子
    pa = p->parent;
    BstNode* child = p->leftchild ? p->leftchild : p->rightchild;//要么是单要么是空
    if (child != NULL)
    {
        child->parent = pa;
    }
    else
    {
        if (pa->leftchild == p)//p本来是pa的左孩子
        {
            pa->leftchild = child;
        }
        else
        {
            pa->rightchild = child;
        }
    }
    free(p);
    return true;
}

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