什么仪器可以快速分析金属化合物、混合物粉末中的金属含量

金属成分分析仪是采用XRF（荧光光谱分析）原理，对金属材料成分进行快速检测的仪器。由于X射线波长很短，因此是不可见的。但它照射到某些化合物如磷、铂氰化钡、硫化锌镉、钨酸钙等时，由于电离或激发使原子处于激发状态，原子回到基态过程中，由于价电子的能级跃迁而辐射出可见光或紫外线，这就是荧光。X射线使物质发生荧光的作用叫荧光作用，荧光强弱与X射线量成正比。该仪器能够快速分析金属材料成分及含量。

主要功能

可用于检测碳钢中的铬含量，检测精度可达到003%的含量 - 用于评估流速促进型腐蚀(FAC)的情况。

可适应高达800° F的检测温度。

可用于分析铁基合金、镍基合金、钴基合金、铜基合金、钛基合金、混杂合金。

可以十分有把握地识别各种复杂的合金，例如304与321， P91与9铬，7级钛与纯钛。

对6061/6063铝合金具有非凡的识别能力与分析效果。

主要优点：

便捷，友好的软件界面：三种 *** 作模式选择，化学分析，等级鉴定和快速合格/不合格分类；

设计：尖嘴部分的设计符合人体工学，便于使用在一些很难测试的地方或焊接点；

通用性：交流电源，便利的 *** 作平台，并可升级到个人电脑的桌面；

智能分析：对不规则或很小的样品测试进行自动补偿，包括焊接点的细条、缝、拐角；

快速：2-3秒内身份等级鉴定；

高效：无资源消耗及防止扩散费用，小型X-射线管技术消除了对付放射性材料的费用和麻烦；

美国伊诺斯公司是一家专业生产和制造通用型和高性能的便携式X-射线荧光分析仪(XRF)的全球知名公司。Alpha系列分析仪为目前市场上提供体积最小、分析速度最快、功能最多、精度最高的对材料进行可靠性鉴别(PMI)和确认的便携式多用途掌上型X射线荧光光谱分析仪，该分析仪可适用于任何场所，从而确保材料质量，确保材料无放射性， 在对几种常见的合金进行分析时，测试时间可持续20秒钟。快速分析持续测试间是2至3秒。该分析仪重量轻（16 kg）， *** 作简单，一键式按钮、长时间工作无疲劳感，可适用于-10°C至+50°C任何场所。该分析仪带有手握把和可以延伸的探头，因此可以用来探测管道内部、焊缝、法兰及其它平常难以接触的位置的合金材料。

主要特点编辑

合金分析仪的主要特点：

1它使用极小的X射线管代替放射性同位素来解决更换资源和放射性扩散的问题。

2无危险原料限制，可以应用到任何地方或者随意运输。

3合金分析仪具有小型的电脑软件平台，对合金分析非常灵活。用户可自编辑升级的元数库，用户可自定义的分析和分类方法，多种数据输入，直接下载结果到数据库及扩展程序。X-射线管、小型电脑软件，高分辩探测器使合金分析仪成为最先进，最高效， *** 作最简单的合金分析系统。

4合金分析仪能够记忆所有元素的光谱，这个强大的分析仪能够解决最困难的分析问题，同时它又是一个全天候直观、快速的合金分析仪。

智能光束 (SmartBeam)技术：

智能光束 (SmartBeam)技术既X射线管专门技术和多光束过滤技术，使合金分析仪达到非凡的稳定性、检测速度和使用寿命并具有极好的升级潜力。智能分析使其对不规则或很小的样品测试进行自动补偿，包括焊接点的细条、缝、拐角。选用智能光束技术Ti ,V 精度可达 005-05%。

复杂合金等级的鉴定：

可用于鉴定数千个不同的合金等级。标准库包含了250种合金，用户可自定义300种合金，可根据各种合金的通用名称、统一标准编号（UNS）、美国机械工程师协会编号（ASME）、以及军事规范等各种属性进行检索。

尖端PDA技术：

标准合金元素：

21种标准元素 Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn, Zr, Nb, Mo, Hf, W, Ta, Re, Pb, Ag, Sn, Bi, & Sb。Innov-X ALPHA-2000合金分析仪所配置的标准元素还可以增加或更换。

合金家族：

铁合金系列：不锈钢、铬/钼合金钢、低合金钢；

镍基合金系列：镍合金、镍/钴超合金；

钴基合金系列：

钛基合金系列：

铜基系列：青铜、黄铜、铜镍合金；

高温合金：钼钨合金；

铝合金

机械加工中常用的材料有Q235、45号钢等。

Q235材料性能：

d性模量（E/Gpa）：200~210

泊松比（ν）：025~033

抗拉强度（σb/MPa）：375-500

伸长率（δ5/%）：

≥26（a≤16mm）

≥25（a>16-40mm）

≥24（a>40-60mm）

≥23（a>60-100mm）

≥22（a>100-150mm）

≥21（a>150mm）

其中 a 为钢材厚度或直径。

在板材里，是最普通的材质，属普板系列。过去的一种叫法为：A3。

执行标准：外部标准为：GB/T709-2006《热轧钢板和钢带的尺寸、外形、重量及允许偏差》，内部标准为：GB/T3274-2007 《碳素结构钢和低合金结构钢热轧厚钢板和钢带》

45号钢为优质碳素结构用钢，硬度不高易切削加工，模具中常用来做模板，梢子，导柱等，但须热处理。

1 45号钢淬火后没有回火之前，硬度大于HRC55（最高可达HRC62)为合格。

实际应用的最高硬度为HRC55（高频淬火HRC58)。

245号钢不要采用渗碳淬火的热处理工艺。

共分为八大领域（6+2），技术领域和产品目录完全不同分别是：一、电子信息-----8个分类 二、生物与新医药------7个分类 三、航空航天-----2个分类 四、新材料------------6个分类 五、高技术服务---8个分类 六、新能源与节能------4个分类 七、资源与环境---8个分类 八、先进制造与自动化--9个分类

说明：没有食品、农业、建筑等领域，其他任何领域，其他各类技术，无论先进与否都不支持。食品、咨询、美容、传媒、工程建设等关注

在《国家重点支持的高新技术领域》中，根据主要高技术产品，找准和确定企业的“专项技术”非常重要。技术领域体现四级结构层次：技术领域（一级） ，技术分类（二级），关键技术（三级）， 专项技术（四级），企业需找到本企业核心技术所对应的第四级专项技术，并在研究开发项目和高新技术产品(服务)情况表中说明，这是企业申报高企的关键。

例如：电子信息：（一）软件--1基础软件--通用及专用数据库管理系统生物与新医药：（六）轻工和化工生物技术--2微生物发酵技术--高发酵率的代谢工程技术新材料；（一）金属材料--1精品钢材制备技术--高温合金制备技术高技术服务：（六）电子商务与现代化物流技术--2物流与供应链管理技术--建立现代化物流管理和供应链系统集成平台一定要正确理解领域中的逗号和分号的技术定义

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计算机在材料科学中的应用复习资料

考试题型：

不定项选择：20分；

填空：20分；

名词解释：12分；

简答：30分；

计算：18分（1个）

考试时间地点：

7月5日（20周周二）下午14：00—16：00 江安综C504

复习内容：

选填、名解：

1、材料的分类：

根据其组成和结构，分为金属材料、无机非金属材料、有机高分子材料和复合材料等；

根据其性能特征和作用，分为结构材料和功能材料等；

根据用途，分为建筑材料、能源材料、电子材料、耐火材料、医用材料和耐腐蚀材料等。

2、曲线拟合和最小二乘法：

最小二乘法：在方差意义下对实验数据实现最佳拟合的方法。

曲线拟合：根据一组数据，即若干点，要求确定一个函数，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。（目的：根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。）

3、建立数学模型的基本步骤：

1）建模准备(收集相关信息数据，弄清背景和目的)

2）建模假设(目的性、简明性、真实性、全面性)

3）构造模型(区分参量，选择恰当的工具和构造方法)

4）模型求解(设计或选择求解模型的数学方法和算法)

5）模型分析(稳定性分析、灵敏度分析、误差分析)

6）模型检验(是否符合客观)

7）模型应用(建模的宗旨，对模型最客观，公正的检验)

4、有限差分法（FDM）基本原理、实质：

基本原理：有限差分法(FDM)将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。FDM通过Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

实质：以有限查分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。

5有限元法（FEM）的基础、基本思想，网格划分方法：

有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本思想是把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为有限域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。

有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对d性体进行必要的简化，再将d性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。

6、名词解释：节点、单元

节点：用于确定单元形状、表述单元特征及连接相邻单元的点称为节点。节点是有限元模型中的最小构成元素。多个单元可以共用一个节点，节点起连接单元和实现数据传递的作用。

单元：有限元模型中每一个小的块体称为一个单元。根据其形状的不同，可以将单元划分为以下几种类型：线段单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元和六面体单元等。

7FDM与FEM的区别：

　1）有限元法处理物理问题，不需要建立微分方程这一步骤，并且其物理问题在离散化的整个过程中就始终具有明确的物理意义。而有限差分法则不然。两种方法处理问题的数学方法有较大差别。

　2）有限差分法和有限元法在对区域的离散化方法上也有明显的差别。有限元法的三角形划分区域配置比较任意，其对边界和界面的逼近良好，有较好的计算精度。计算格式复杂，但其可以计算机化，程序也易标准化，故不影响其实际应用。

　3）有限元法用统一的观点对区域内的节点和边界节点列出计算格式。这样各节点的计算精度总体比较协调。而有限差分法各节点精度总体上不够一致。

　4）有限元法要求计算机内存量较大，需要准备输入的数据量也比较大，这是它的缺点之一。事实上，有限差分法比有限元法使用的更广法，有很多物理问题目前不能用有限元法处理，但总能可以用有限差分法处理。特别是在边界形状比较规则时，采用有限差分法是最合适的。

8、Monte Carlo方法的随机数生成法，伪随机数检验的两个最基本原则：

　物理方法：用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机的固有噪声。

　数学方法：在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是数学方法，即用递推公式产生随机数序列。对于给定的初始值ξ1,ξ2…，ξk，确定ξn+k，n=1，2，…。经常使用的是k=1的情况，对于给定的初始值ξ1，确定ξn+1，n=1,2…

　由于用数学方法产生的随机数存在两个问题，常称用数学方法产生的随机数为伪随机数。用数学方法产生的伪随机数容易在计算机上得到，可以进行复算，而且不受计算机型号的限制。因此，这种方法虽然存在着一些问题，但仍然被广泛地在计算机上使用，是在计算机上产生伪随机数的主要方法。

　如今比较流行的，并用的最多的是同余产生器，其通过如下线性同余关系式来产生数列

　其中，x0称为种子。a,c,x0,m为大于零的整数，分别称为乘子，增量，初值和模。使用时需要仔细挑选模数m和乘子a，使得产生出的伪随机数的循环周期要尽可能的长。c0时能实现最大的周期，但是得到的伪随机数特性不好。通常选取x0为任意的非负整数，乘子a和增量c取如:a=4q+1，c=2p+1 p,q为正整数。p, q, x0, m值选择一般是通过定性分析和计算机实验来选择，使得到的伪随机数列具有足够长的周期，而且独立性和均匀性都能通过一系列的检验。

　伪随机数特性好坏是通过各种统计检验来确定的，这些检验包括均匀性检验，独立性检验，组合规律检验，无连贯性检验，参数检验等等。最基本的是均匀性和独立性的好坏检验。

9、分子动力学中的势函数及其基本限制：

势函数：对势(双体势)认为原子之间的相互作用是两两之间的作用，与其他原子的位置无关，在分子晶体，离子型化合物以及部分金属的模拟计算之中取得了比较大的成功。如Lennard-Jones势(下图) 常用于描述气体分子或水分子间的作用力；Morse势和Johnson势常用于描述金属。但对于过渡金属，由于金属键中还含有一定的共价键，所以遇到困难。

MD法和随机模拟法一样，面临两个基本限制：一是有限观测时间的限制；二是有限系统大小限制。

10、傅立叶导热方程：

　法国数学家Fourier通过对导热数据和实践经验的归纳研究，将导热规律总结为Fourier定律，即单位时间内通过等温面的热流量与温度梯度及传热面积成正比：

dQ为单位时间内通过等温面的热流量(W)；k为材料导热系数(W/mK)；n为边界法向；s为等温面面积(m2)；T为温度(K)。

11、应力场及应力—应变关系：

1) 应力

材料在外力作用下，其尺寸和几何形状会发生改变，在产生“变形”的同时，材料内部各部分之间会产生“附加内力”，简称“内力”。截面上某点处的应力，也就是这点处分布内力的集度，反映了截面上此点处内力的大小和方向。一点处的应力可以看作是该点位置坐标及所取截面方向的函数。

为描述d性材料中一点P处的应力状态，围绕P点取出一个棱长为dx，dy，dz的微单元体，由于dx，dy，dz趋于无限小，这个单元体可等同于要考察的P点，因此研究单元体各个截面上的应力，也就等同于研究P点的应力状态。如下图：

d性力学证明，六个切应力分量具有如下关系：

因此，如果已知材料任一点P处的x, y, z, xy , zy , zx这六个应力分量，就可以求出经过此点任意截面的正应力与切应力。也就是说这六个应力分量相互独立，能够唯一确定材料内任意一点处的应力状态。

2) 应变

描述物体受力发生变形后相对位移的力学量称为应变。应变分为正应变和切应变，由六个应变分量表示，分别为x, y, z, xy, yz, zx。正应变是指平行六面体各边的单位长度的相对伸缩；切应变是指平行六面体各边之间直角的改变，以弧度表示。对于正应变，伸长时为正，缩短时为负；对于切应变，两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小时为正，变大时为负。

3）物理方程(应力应变关系方程)

d性体的应力应变关系可用Hooke定律描述。在三维情况下，d性体内任意一点独立的应力分量有六个，其应力应变关系可以由广义Hooke定律表示为：

式中：E为d性模量，v为泊松比，

12、金属中扩散规律：

Fick第一定律：

　不均匀体系中，各自独立的分子群从高浓度区域迁移到低浓度区域的过程称为扩散。在稳态扩散条件下，扩散物质垂直穿过第i个单位截面的扩散通量(Ji)跟穿过扩散方程的浓度梯度(ci/ x)及其扩散系数(Di)有直接关系：

　这就是Fick第一扩散定律的一维形式，负号表示通量是往浓度减少的方向。造成梯度的原因主要是浓度分布不均。

Fick第二定律：

实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化。为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在Fick第一定律基础上推导了Fick第二定律，即：

　如果Di为常数，得到：

　如果是三维情况，则在x,y,z方向上的扩散系数分别为Dx,Dy,Dz，得到:

　当为各向同性时，即Dx=Dy=Dz=D，得到：

13、数据库组成与特征：

数据库系统是指由数据库，数据库管理系统，应用程序，数据库管理员，用户等构成的人机系统。现代数据库系统至少包括以下三个部分：i)数据库，一个结构化的相关数据的集合，包括数据本身和数据间的联系，它独立于应用程序而存在，是数据库系统的核心和管理对象；ii)物理存储器，保存数据的硬件介质，如磁盘，光盘等大容量存储器；iii)数据库软件，负责对数据库管理和维护的软件。具有对数据进行定义，描述， *** 作和维护的功能，接受并完成用户程序及终端命令对数据库的不同请求，负责保护数据免受各种干扰和破坏。

主要特征：和文件管理方式相比，计算机数据库系统管理数据有以下几个特征：

a) 数据共享

b) 数据独立性

c) 减少数据冗余

d) 数据的结构化

e) 统一的数据保护功能

14、专家系统的组成：

专家系统由知识库、综合数据库、推理机、知识获取机制、解释机制和人机接口六个部分组成。

知识库是问题求解所需要的领域知识的集合，包括基本事实、规则和其他有关信息。

综合数据库主要由问题的有关初始数据和系统求解期间所产生的中间信息组成。

推理机是实施问题求解的核心执行机构，它实际上是对知识进行解释的程序，根据知识的语义，对按一定策略找到的知识进行解释执行，并把结果记录到动态库的适当空间中。

知识获取机制负责建立、修改和扩充知识库，主要是为了实现专家系统的自我学习，在系统使用过程中能自动获取知识，不断完善扩大现有系统功能。

解释机制是对求解过程做出说明，并回答用户的提问。两个最基本的问题是“Why”和“How”。

人机接口的主要功能是实现系统与用户之间的双向信息转换，即系统将用户的输入信息翻译成系统所熟悉的信息表达方式。

专家系统的工作过程是系统根据用户提出的目标，以综合数据库为出发点，在控制策略的指导下，由推理机运用知识库中的有关知识，通过不断的探索推理以实现求解的目标。

15、材料设计的概念及其三个层次：

定义：运用高性能计算机和功能强大的材料专业软件对材料科学与工程学科的基本要素及各要素之间的关系进行定量或半定量表征，在计算机上进行材料的成分和工艺设计，并预测其结构和性能，这就是所谓材料设计与模拟，又名计算材料学。

　材料设计的研究层次，目前未有统一和严格的划分。一般来说，可按研究对象的空间尺度划分为三个层次：微观设计层次，空间尺度约为1nm；连续模型层次，尺度约为1m；工程设计层次，尺度对应宏观材料，涉及大块材料的加工和使用性能。

16、第一性原理的概念：

　所谓第一性原理，是指只需要5个基本物理常数(电子质量me、电子电量e、普朗克常数h、真空的光速c和玻尔兹曼常数kB)以及原子种类和原子在空间中的位置安排(即晶体结构)，不需要其它经验参数，就可以非常精确地计算出体系的总能、微观结构与状态。

二、简答

1、计算机在材料科学与工程中的五大应用：(课本2—5页，自己总结归纳)

1）用于新材料和新合金的设计：

2）用于材料科学研究中的模拟：

3）用于材料工艺过程的优化及自动控制：

4）用于材料组成和微观结构的表征：

5）用于数据和图像处理及其他：

2数学模型的含义和分类：

数学模型定义：

以相应的客观原型作为背景加以抽象的数学概念、数学式子、数学理论等叫做数学模型。或者是那些反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统叫做数学模型。其目的是解决实际的问题。

数学模型分类：

按建立模型的数学方法分类：图论模型、微分方程模型、随机模型、模拟模型等。

按模型的特征分类：离散模型、连续性模型、线性模型和非线性模型等。

3、FDM和FEM的解题步骤：

FDM解题步骤：

1)建立微分方程

根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。

2)构建差分格式

首先对求解区域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局、差分形式和步长；然后以有限差分代替无限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。

3)求解差分方程

差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括：精确法和近似法。精确法又叫直接法，主要包括矩阵法、Gauss消元法及主元素消元法等；近似法又叫间接法，以迭代法为主，包括直接迭代法、间接迭代法以及超松弛迭代法。

4)精度分析和检验

对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。

FEM解题步骤：

有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。

1）网格划分

有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对d性体进行必要的简化，再将d性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。

　通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。

2）单元分析

对于d性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

　由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。

3） 整体分析

　对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以d性力学的平面问题为例，如右图所示，在边界结点i上受到集中力作用。结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。

4专家系统的分类：

按照工程中求解问题的不同性质，将专家系统分为下列几类：

1）解释专家系统：通过对已知信息和数据的分析和解释，确定它们的含义，如图像分析、化学结构分析和信号解释等。

2）预测专家系统：通过对过去和现在已知状况的分析，推断未来可能发生的情况，如天气预报、人口预测、经济预测、军事预测。

3）诊断专家系统：根据观察到得情况来推断某个对象机能失常（即故障）的原因，如医疗诊断、软件故障诊断、材料失效诊断等。

4）设计专家系统：工具设计要求，求出满足设计问题约束的目标配置，如电路设计、土木建筑工程设计、计算机结构设计、机械产品设计和生产工艺设计等。

5）规划专家系统：找出能够达到给定目标的动作序列或步骤，如机器人规划、交通运输调度、工程项目论证、通信与军事指挥以及农作物施肥方案等。

6）监视专家系统：对系统、对象或过程的行为进行不断观察，并把观察到行为与其应当具有的行为进行比较，以便发现异常情况，发出警报，如核电站的安全监视等。

7）控制专家系统：自适应地管理一个受控对象的全面行为，使之满足预期的要求，如空中交通管制、商业管理、作战管理、自主机器人控制、生产过程控制。

三、计算：

有限差分法在热传导方面的应用：

FDM解题示例

1 问题

设有一炉墙，厚度为 ，炉墙的内壁温度T0=900C，外壁温度Tm=100 C，求炉墙沿厚度方向上的温度分布。

2 分析

这是一个一维稳态热传导问题，其边界条件为T0=900C， Tm=100 C，可以用有限差分法求得沿炉墙厚度方向上的若干个节点的温度值。

FDM的数学基础：

在数值计算中，函数(function)被考虑成两列表格的形式。一列是独立变量的(离散)值xi,一列是xi处相应的函数值，记为fi或f(xi)。

采用算子(operator)的观点，定义三种算子：

(向前差分算子): fi fi+1 fi

(向后差分算子): fi fi fi1

(中心差分算子): fi fi+1/2 fi1/2

其中，fi1 = f(xih), fi1/2 = f(xih/2), xi+1xi=h,对所有i相同。

上述对应于一阶导数的差分称为一阶差分，相应的对应于二阶导数的差分称为二阶差分：

2fi =( fi+1 fi)=fi+22fi+1+fi

2fi = ( fi fi1)=fi2fi1+fi2

2fi =fi+12fi+fi1

三种算子有关系： 2= 。其余高阶差分可以依次类推。

函数的差分与自变量的差分之比，称为函数对自变量的差商。以二阶为例，其三种形式为：

向前差商：

向后差商：

中心差商：

多元函数的差分与差商也可用类似方法得到。

有限差分法的本质是用差分代替微分，用差商代替微商的几何意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真实变化率。对于一阶微商，存在以下三种典型的差分形式：

向前差商：

向后差商：

中心差商：

根据泰勒级数，可以计算出上述三种差分形式的误差，分别为：

从这三式可以看出，用不同方法定义的差商代替微商所引起的误差是不同的。用向前差商或向后差商代替微商，其阶段误差为O(x)，是x的一次方的数量级；用中心差商代替微商，其截断误差为O(x)2，是x二次方的数量级，即用中心差商代替微商比用向前差商或向后差商代替微商的误差小一个数量级。

因此，在应用FDM进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。

注意：1、选节点数目要适当4—5个为宜；

2、要严格依照解题步骤答题，尤其不要遗漏最后的精度分析和检验步骤。

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