哈希表详解

哈希表：即散列存储结构。

散列法存储的基本思想：建立记录关键码字与其存储位置敏芹的对应关系，或者说，由关键码的值决定数据的存储地址。

这样，不经过比较，一次存取就能得到所查元素的查找方法

优点：查找速度极快（O(1)）,查找效率与元素个数n无关！

哈希方法(杂凑法)

选取某个函数，依该函数按关键字计算元素的存储位置并按此存放；查找时也由同一个函数对给定值k计算地址，将k与地址中内容进行比较，确定查找是否成功。

哈希函数(杂凑函数)

哈希方法中使用的转换函数称为哈希函数(杂凑函数).在记录的关键码与记录的存储地址之间建立的一种对应关系

有数据元素序列(14，23，39，9，25，11)，若规定每个元素k的存储地址H（k）＝k ， H(k)称为散列函数,画出存储结构图。

根据散列函数H（k）＝k ，可知元素14应当存入地址为14的单元，元素23应当存入地址为23的单元，……，

根据存储时用到的散列函数H(k)表达式，迅即可查到结果！

例如，查找key=9,则访问H(9)=9号地址，若内容为9则成功；

若查不到，应当设法返回一个特殊值，例如空指针或空记录。

很显然这种搜索方式空间效率过低。

哈希函数可写成：addr(ai)=H(ki)

选取某个函数，依该函数按关键字计算元素的存储位置并按此存放；查找时也由同一个函数对给定值k计算地址，将k与地址中内容进行比较，确定查找是否成功。哈希方法中使用的转换函数称为哈希函数(杂凑函数).在记录的关键码与记录的存储地址之间建立的一种对应关系。

通常关键码的集合比哈希地址集合大得多，因而经过哈希函数变换后，可能将不同的关键码映射到同一个哈希地址上，游拿激这种现象称为冲突。

有6个元素的关键码分别为：（14，23，39，9，25，11）。

选取关键码与元素位置间的函数为H(k)=k mod 7

根据哈希函数算出来发现同一个地址放了多个关键码，也就是冲突了。

在哈希查找方法中，冲突是不可能避免的，只能尽可能减少。

所以，哈希方法必须解决以下两个问题：

1）构造好的哈希函数

（神袜a）所选函数尽可能简单，以便提高转换速度；

（b）所选函数对关键码计算出的地址，应在哈希地址内集中并大致均匀分布，以减少空间浪费。

2）制定一个好的解决冲突的方案

查找时，如果从哈希函数计算出的地址中查不到关键码，则应当依据解决冲突的规则，有规律地查询其它相关单元。

从上面两个例子可以得出如下结论：

哈希函数只是一种映象，所以哈希函数的设定很灵活，只要使任何关键码的哈希函数值都落在表长允许的范围之内即可

冲突：key1≠key2，但H(key1)=H(key2)

同义词：具有相同函数值的两个关键码

哈希函数冲突不可避免，只能尽量减少。所以，哈希方法解决两个问题：

构造好的哈希函数；

制定解决冲突基本要求：

要求一：n个数据原仅占用n个地址，虽然散列查找是以空间换时间，但仍希望散列的地址空间尽量小。

要求二：无论用什么方法存储，目的都是尽量均匀地存放元素，以避免冲突。

Hash(key) = a·key + b(a、b为常数)

优点：以关键码key的某个线性函数值为哈希地址，不会产生冲突.

缺点：要占用连续地址空间，空间效率低。

例.关键码集合为{100，300，500，700，800，900}，

选取哈希函数为Hash(key)=key/100，

则存储结构（哈希表）如下：

Hash(key)=key mod p(p是一个整数)

特点：以关键码除以p的余数作为哈希地址。

关键：如何选取合适的p？p选的不好，容易产生同义词

技巧：若设计的哈希表长为m，则一般取p≤m且为质数

（也可以是合数，但不能包含小于20的质因子）。

Hash(key)= ⎣ B ( A key mod 1 ) ⎦

(A、B均为常数，且0<A<1，B为整数)

特点：以关键码key乘以A，取其小数部分，然后再放大B倍并取整，作为哈希地址。

例：欲以学号最后两位作为地址，则哈希函数应为：

H(k)=100 (0.01 k % 1 )

其实也可以用法2实现： H(k)=k % 100

特点：选用关键字的某几位组合成哈希地址。选用原则应当是：各种符号在该位上出现的频率大致相同。

例：有一组（例如80个）关键码，其样式如下：

讨论：

① 第1、2位均是“3和4”，第3位也只有“ 7、8、9”，因此，这几位不能用，余下四位分布较均匀，可作为哈希地址选用。

② 若哈希地址取两位（因元素仅80个），则可取这四位中的任意两位组合成哈希地址，也可以取其中两位与其它两位叠加求和后，取低两位作哈希地址。

特点：对关键码平方后，按哈希表大小，取中间的若干位作为哈希地址。(适于不知道全部关键码情况)

理由：因为中间几位与数据的每一位都相关。

例：2589的平方值为6702921，可以取中间的029为地址。

特点：将关键码自左到右分成位数相等的几部分（最后一部分位数可以短些），然后将这几部分叠加求和，并按哈希表表长，取后几位作为哈希地址。

适用于：关键码位数很多,且每一位上各符号出现概率大致相同的情况。

法1：移位法 ── 将各部分的最后一位对齐相加。

法2：间界叠加法──从一端向另一端沿分割界来回折叠后，最后一位对齐相加。

例：元素42751896,

用法1： 427＋518＋96=1041

用法2： 427 518 96—>724+518+69 =1311

7、随机数法

Hash(key) = random ( key ) (random为伪随机函数)

适用于：关键字长度不等的情况。造表和查找都很方便。

小结：构造哈希函数的原则：

① 执行速度（即计算哈希函数所需时间）；

② 关键字的长度；

③ 哈希表的大小；

④ 关键字的分布情况；

⑤ 查找频率。

设计思路：有冲突时就去寻找下一个空的哈希地址，只要哈希表足够大，空的哈希地址总能找到，并将数据元素存入。

1）线性探测法

Hi=(Hash(key)+di) mod m ( 1≤i <m )

其中：

Hash(key)为哈希函数

m为哈希表长度

di 为增量序列 1，2，…m-1，且di=i

关键码集为 {47，7，29，11，16，92，22，8，3}，

设：哈希表表长为m=11；

哈希函数为Hash(key)=key mod 11；

拟用线性探测法处理冲突。建哈希表如下：

解释：

① 47、7是由哈希函数得到的没有冲突的哈希地址；

② Hash(29)=7，哈希地址有冲突，需寻找下一个空的哈希地址：由H1=(Hash(29)+1) mod 11=8，哈希地址8为空，因此将29存入。

③ 另外，22、8、3同样在哈希地址上有冲突，也是由H1找到空的哈希地址的。

其中3 还连续移动了（二次聚集）

线性探测法的优点：只要哈希表未被填满，保证能找到一个空地址单元存放有冲突的元素；

线性探测法的缺点：可能使第i个哈希地址的同义词存入第i+1个哈希地址，这样本应存入第i+1个哈希地址的元素变成了第i+2个哈希地址的同义词，……，

因此，可能出现很多元素在相邻的哈希地址上“堆积”起来，大大降低了查找效率。

解决方案：可采用二次探测法或伪随机探测法，以改善“堆积”问题。

2） 二次探测法

仍举上例，改用二次探测法处理冲突，建表如下：

Hi=(Hash(key)±di) mod m

其中：Hash(key)为哈希函数

m为哈希表长度，m要求是某个4k+3的质数；

di为增量序列 1^2，-1 ^2，2 ^2，-2 ^2，…，q ^2

注：只有3这个关键码的冲突处理与上例不同，

Hash(3)=3，哈希地址上冲突，由

H1=(Hash(3)+1 ^2) mod 11=4，仍然冲突；

H2=(Hash(3)-1 ^2) mod 11=2，找到空的哈希地址，存入。

3） 若di＝伪随机序列，就称为伪随机探测法

基本思想：将具有相同哈希地址的记录(所有关键码为同义词)链成一个单链表，m个哈希地址就设m个单链表，然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动态的结构。

设{ 47, 7, 29, 11, 16, 92, 22, 8, 3, 50, 37, 89 }的哈希函数为：

Hash(key)=key mod 11，

用拉链法处理冲突，则建表如图所示。

Hi=RHi(key) i=1, 2, …，k

RHi均是不同的哈希函数，当产生冲突时就计算另一个哈希函数，直到冲突不再发生。

优点：不易产生聚集；

缺点：增加了计算时间。

思路：除设立哈希基本表外，另设立一个溢出向量表。

所有关键字和基本表中关键字为同义词的记录，不管它们由哈希函数得到的地址是什么，一旦发生冲突，都填入溢出表。

明确：散列函数没有“万能”通式（杂凑法），要根据元素集合的特性而分别构造。

讨论：哈希查找的速度是否为真正的O（1）？

不是。由于冲突的产生，使得哈希表的查找过程仍然要进行比较，仍然要以平均查找长度ASL来衡量。

一般地，ASL依赖于哈希表的装填因子α,它标志着哈希表的装满程度。

0≤α≤1

α 越大，表中记录数越多，说明表装得越满，发生冲突的可能性就越大，查找时比较次数就越多。

例已知一组关键字(19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)

哈希函数为：H(key)=key MOD 13, 哈希表长为m=16，

设每个记录的查找概率相等

(1) 用线性探测再散列处理冲突，即Hi=(H(key)+di) MOD m

(2) 用二次探测再散列处理冲突，即Hi=(H(key)+di) MOD m

(3) 用链地址法处理冲突

1） 散列存储的查找效率到底是多少？

答：ASL与装填因子α有关！既不是严格的O(1)，也不是O(n)

2）“冲突”是不是特别讨厌？

答：不一定！正因为有冲突，使得文件加密后无法破译！（单向散列函数不可逆，常用于数字签名和间接加密）。

利用了哈希表性质：源文件稍稍改动，会导致哈希表变动很大。

根据设定的 哈希函数H（key） 和 处理冲突的方法 将一组关键字影像到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“像”作为记录在表中的存储位置，这种表便成为 哈希表 ，这一映像过程称为哈希造表或 散列 ，所得存储位置称 哈希地址 或 散列地址 。

上面所提到的 哈希函数 是指：有一个对应关系 f ，使得每个关键字和结构中一个唯一的存储位置相对应，这样在查找时，我们不需要像传统的烂码查找算法那样进行比较，而是根据这个对应关系 f 找到给定值K的像 f（K） 。

哈希函数也可叫哈希算法，它可以用于检验信息是否相同（ 文件校验 ），或兆历裤者检验信息的拥有者是否真实（ 数字签名 ）。

下面分别就哈希函数和族简处理冲突的方法进行讨论

构造哈希函数的方法有很多。在介绍各种方法前，首先需要明确什么是“好” 的哈希算法。若对于关键字集合中的任一个关键字，经哈希函数映像到地址集合中任何一个地址的概率是相等的，则称此类哈希函数是 均匀的 （Uniform）哈希函数。换句话说，就是使关键字经过哈希函数得到一个“随机的地址”，以便使一组关键字的哈希地址均匀分布在整个地址区间中，从而减少冲突。

常用的构造哈希函数的方法有：

理论研究表明， 除留余数法的模 p 取不大于表长且最接近表长 m 的素数效果最好，且 p 最好取1.1 n ~ 1.7 n 之间的一个素数（n为存在的数据元素个数） 。

以上便是常用的6种构造哈希函数的方法，实际工作中需视不同的情况采用采用不同的哈希函数，通常考虑的因素有：

前面有提到过 均匀的哈希函数可以减少冲突，但不能避免 ，因此，如何处理冲突是哈希造表不可缺少的另一方面。

通常用的处理冲突的方法有下列几种：

在哈希表上进行查找的过程和哈希建表的过程基本一致。 给定K值，根据建表时设定的哈希函数求得哈希地址，若表中此位置上没有记录，则查找不成功；否则比较关键字，若和给定值相等，则查找成功；否则根据造表时设定的处理冲突的方案找“下一地址” ，直到找到为止。

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