RAS加解密详解

RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法，也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前，先熟悉下几个术语

根据密钥的使用方法，可以将密码分为对称密码和公钥密码

对称密码：加密和解密使用同一种密钥的方式

公钥密码碧锋：加密和解密使用不同的密码的方式，因此公钥密码通常也称为非对称密码。

RSA的加密过程可以使用一个通式来表达

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单？对，就是这么简单。

从通式可知，只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了，所以说E、N是RSA加密的瞎芦密钥，也就是说 E和N的组合就是公钥 ，我们用(E,N)来表示公钥

不过E和N不并不是随便什么数都可以的，它们都是经过严格的数学计算得出的，关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密（Encryption）的首字母，N是数字（Number）的首字母

RSA的解密同悔神晌样可以使用一个通式来表达

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文，这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了，所以D和N的组合就是私钥

从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的，加密是求“E次方的mod N”解密是求“D次方的mod N”

此处D是解密（Decryption）的首字母；N是数字（Number）的首字母。

小结下

既然公钥是（E，N），私钥是（D，N）所以密钥对即为（E，D，N）但密钥对是怎样生成的？步骤如下：

准备两个质数p，q。这两个数不能太小，太小则会容易破解，将p乘以q就是N

L 是 p－1 和 q－1的最小公倍数，可用如下表达式表示

E必须满足两个条件：E是一个比1大比L小的数，E和L的最大公约数为1

用gcd(X,Y)来表示X，Y的最大公约数则E条件如下(gcd释义：greatest common divisor>)：

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系：

只要D满足上述2个条件，则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。

简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。

现在私钥自然也已经生成了，密钥对也就自然生成了。

小结下：

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成，及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

我们准备两个很小对质数，

p ＝ 17

q ＝ 19

N ＝ p ＊ q ＝ 323

L ＝ lcm（p－1， q－1）＝ lcm(16，18） ＝ 144

144为16和18对最小公倍数

求E必须要满足2个条件：1 <E <L ，gcd（E，L）=1

即1 <E <144，gcd（E，144） ＝ 1

E和144互为质数，5显然满足上述2个条件

故E ＝ 5

此时 公钥=(E，N）＝ （5，323）

求D也必须满足2个条件：1 <D <L，E＊D mod L ＝ 1

即1 <D <144，5 ＊ D mod 144 ＝ 1

显然当D＝ 29 时满足上述两个条件

1 <29 <144

5＊29 mod 144 ＝ 145 mod 144 ＝ 1

此时 私钥＝（D，N）＝（29，323）

准备的明文必须时小于N的数，因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N

假设明文 ＝ 123

解密后的明文为123。

至此RSA的算法原理已经讲解完毕

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解析:

RAS加密算法简介

1978年就出现了这种算法，它是第一个既能用于数据加密

也能用于数字签名的算法。它易于理解和 *** 作，也很流行。算

法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和

Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。

RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都旅并掘是两个大素数

（ 大于 100个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文

推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。

密钥对的产生:选择两个大素数，p 和q 。计算：

n = p * q

然后随机选择加密密钥e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 )

互质。最后，利用Euclid 算法计算解密密钥d, 满足

e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )

其中n和d也要互质。数e和

n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任

何人知道。 加密信息 m（二进制表示）时，首先把m分成等长数据

块 m1 ,m2,..., mi ，块长s，其中 2^s <= n, s 尽可能的大。对

应的密文是：

ci = mi^e ( mod n ) ( a )

解密时作如下计算：

mi = ci^d ( mod n ) ( b )

RSA 可用于数字签名，方案是用 ( a ) 式签名拆核， ( b )

式验证。具体 *** 作时考虑到安全性和 m信息量较大等因素，一般是先

作 HASH 运算。

RSA 的安全性。

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理

论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在

一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前，

RSA的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显

然的攻击方法。现在，人们已能分解140多个十进制位的大素数。因此，

模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。

RSA的速度:

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上100倍，无论

是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据

加密。

RSA的选择密文攻击:

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信蔽派息作一下伪装

(Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信

息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保

留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征

--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有

两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体

任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不

对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way HashFunction

对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不

同类型的攻击方法。

RSA的公共模数攻击。

若系统 *** 有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险

的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互

质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥

为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数

的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它

成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享

模数n。

RSA的小指数攻击。 有一种提高

RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度

有所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和 *** 作。

RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各

种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。

RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难

度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性

能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。

RSA的缺点主要有：

A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次

一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits

以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；

且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。

目前，SET(Secure Electronic Transaction)协议中要求CA采用2048比特长

的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。

RSA是最流行的非对称加密算法之一。也被称为公钥加密。

RSA是非对称的，也就是用来加密的密钥和用来解密的密钥不是同一个。和DES一样的是，RSA也是分组加轮陪唯密算法，不同的是分组大小可以根据密钥的大小而改变。如果加密的数据不是分组大小的整数倍，则会根据具体的应用方式增加额腊培外的填充位。乱渣

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