如何找到距离一个数最近的质数

上小学的时候，我们就知道所有的自然数可以分为质数（素数）和合数两类，当然还特别规定了“1既不是质数，也不是合数”。100以内的质数，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了，你一定会背下来。那么质数的个数是不是有限多的呢？

在解决这个问题之前，我们先来看看另一个问题：怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如，143是不是质数？

你一定会按照下面这个步骤去判断： 先用最小的质数2去除143，不能整除；再用3去试试，还是不行；再依次用5、7试试，还是不行；11呢？行！143＝11×13，所以143不是质数，而是合数。所以，判断一个数是不是质数，只需用比这个数小的所有质数，依次去除它即可，如果都不能整除的话，这个数就一定是质数；相反，只要这个数能够被某一个质数整除，这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是：每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说，这叫做“分解质因数”，也是小学数学的知识。

我们先假设质数的个数是有限多的，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：

2×3×5×7×11×13×……×N

把这个连乘积再加上1，得到一个相当大的数M：

M＝2×3×5×7×11×13×……×N＋1

那么这个M是质数还是合数呢？ 乍一想，不难判断，既然N是最大的质数，而且M＞N，那么M就应该是合数。既然M是合数，就可以对M分解质因数。可是试一下就会发现，我们用从1到N之间的任何一个质数去除M，总是余1！这个现实，又表明M一定是质数。

这个自相矛盾的结果，无非说明： 最大的质数是不存在的！如果有一个足够大的质数N，一定可以像上面那样，找到一个比N更大的质数M。既然不存在最大的质数，就可以推知自然数中的质数应该有无限多个。

设第n个质数为p(n)，显然当n≥2时，p(n+1)≥p(n)+2

当n=1时原命题显然成立

当n≥2时

设小于A(n)的最大的完全平方数为k²，则(k+1)²≥A(n)，要证原命题，只需证(k+1)²≤A(n+1)

又A(n+1)=A(n)+p(n+1)，(k+1)²=k²+2k+1＜A(n)+2k+1，故又只需证p(n+1)≥2k+1。而p(n+1)≥p(n)+2，故又只需证p(n)≥2k-1

下用反证法证明p(n)≥2k-1

假设p(n)＜2k-1，则2k-1＞p(2)=3，所以k＞2，即k≥3。

那么A(n)=p(1)+p(2)++p(n)=2+p(2)+p(3)++p(n)

而p(2),p(3),,p(n)为(2,2k-1)上的互不相同的奇数，故它们的和不超过(2,2k-1)上所有奇数的和，即p(2)+p(3)++p(n)≤3+5++2k-3=k(k-2)=k²-2k

故A(n)≤k²-2k+2，又A(n)＞k²，则k²＜k²-2k+2，得k＜1。

这与k≥3矛盾！说明假设不成立，即p(n)≥2k-1得证

于是原命题得证

一到一百的质数有25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 这些都是只能被他本身和1整除的数。

质数又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。否则称为合数。

质数的个数是无穷的。 欧几里得的《 几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法： 反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p 1，p 2，，p n，设N=p 1×p 2××p n，那么，p n加一是素数或者不是素数。

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