如何求一个正交矩阵

问题一：怎样求一个矩阵的正交矩阵 X是一个矩阵，正交投影。可以理解为把一个向量投影到X的列向量空间中。

对应的投影矩阵为：X(X'X)^(-1)X'，负一次方表示矩阵求逆。

问题二：以某一个特定的向量，做某个正交矩阵的行向量或列向量,怎么求这个正交矩阵啊 如果x是一个单位列向量（即x^Tx=1），要找一个以x为第1列的正交阵，可以这样

比较笨的办法，可以找一组线性无关的向量x,y1,,y(n-1)，然后做Gram-Schmidt正交化

快一点的办法，令w=x-e1（e1表示单位阵的第1列），不妨假定w≠0，那么Q=I-2ww^T/(w^Tw)满足要求

问题三：宇宙的尽头是什么 宇宙是有边界的，在宇宙中存在各种各样的物质。宇宙在向外扩散。在大爆炸的时候产生了时间和空间。在宇宙的外面不存在物质，既没有空间，也没有时间。

问题四：怎么求正交矩阵T，使T的负一次方AT为对角矩阵 再解出特征向量

下面对该矩阵列向量进行施密特正交化

得到此正交矩阵T

并可以使得

T^-1AT=diag(-3,-3,6)

在线性代数中，正交矩阵是指其列向量组成的矩阵中的每个列向量互相正交，并且每个列向量的模长为1。因此，求解正交矩阵的方法如下：

首先，选择一个线性无关的向量组成矩阵A，即A的列向量线性无关。这些列向量可以是随机的，也可以是基于特定问题的选择。

对矩阵A进行QR分解，将A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A=QR。QR分解的算法有多种，包括Gram-Schmidt算法、Householder变换和Givens旋转等。其中，Gram-Schmidt算法是最简单的方法之一，但是可能会导致数值稳定性问题。而Householder变换和Givens旋转算法则相对更为稳定。

通过Q矩阵得到正交矩阵O。因为Q矩阵是正交矩阵，所以将它的每个列向量除以其模长即可得到正交矩阵O。即：

O = Q / ||Q||

其中，||Q||表示Q矩阵的模长，即矩阵的每个列向量模长的平方和的平方根。

通过以上方法，我们可以得到一个正交矩阵O。需要注意的是，正交矩阵不一定是唯一的，因为存在多个正交矩阵可以满足同样的要求。

不能

一个矩阵经过初等行变换，可以化成单位矩阵, 说明这个矩阵的秩是n (满秩的)

这只是正交矩阵的一个必要条件

正交矩阵要求列向量组两两正交, 且长度都是1

比如 A=

1 2

0 1

就不是正交矩阵

首先实对称矩阵A,一定存在正交矩阵T,使得T^(-1)AT为对角阵,这是关于实对称矩阵的重要定理,证明书上都有设B为对角阵,则B=T^(-1)AT,从而A=TBT^(-1),由A^2=A,得TBT^(-1)TBT^(-1)=TBT^(-1),即B^2=B,由于B为对角阵,因此可设B=diag{b1,b2,bn},则B^2=diag{b1^2,b2^2,bn^2},由B^2=B可知bi^2=bi,bi=0或1,即B=T^(-1)AT=diag{1,1,1,0,0,0}

如果：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”）或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵

例如举一个最简单的例子

1 0 1 0

矩阵A：0 1 A的转置：0 1 此时 AA'=E

故A本身是正交矩阵

由于AA'=E 由逆矩阵定义 若AB=E 则B为A的逆矩阵 可以知道 A'为A的逆矩阵

也就是说正交矩阵本身必然是可逆矩阵

即

若A是正交矩阵则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基即线性不相关

一定等于1或－1。

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

简介

反射变换（refIection)又称为镜像反射或镜像变换，类似于一个对象在一面镜子中的影子。二维平面上给定一条直线，我们可以作关于直线的镜像反射。

三维空间中，给定一个平面，我们可以做关于这个平面的镜像反射。对于矩阵变换如图1所示。关于正交矩阵其他解释还有：旋转反演（rotoinversion)：轴（0,-3/5,4/5)，角度90°；置换坐标轴等。

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