求矩阵的广义逆 满秩分解

设A是矩mn阶矩阵,秩r(A)=r<=min(m,n),求出mr阶矩阵B,rn阶矩阵C,使得A=BC,其中r(B)=r(C)=r,即B是列满秩的,C是行满秩的,称为满秩分解,实现满秩分解的方法很多,常用的算法稳定的方法是正交化的方法,求出满秩分解后,此时B^TB,CC^T均是r阶非奇异矩阵,则C^T(CC^T)^-1(B^TB)^-1B^T就是A的Moore-Penrose广义逆矩阵如果A是复矩阵,将上面的转置改为共轭转置即可

如下：

线性方程组：A(mxn)X = b ------ (1)

A是m行n列(m>n)的行列式:A'是A的转置矩阵，将(1)变成

（A'A）X = A'b - - - - (2)

(A'A)是nxn阶方阵，它的逆矩阵称为广义逆矩阵。

(A'A)行列式不为零，方程组(2)有唯一解，且与(1)的最小二乘解相对应！此结论的证明也不复杂。

思想：

广义逆的思想可追溯到1903年（E）I弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。

1904年，D希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由EH穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。

不是方阵的矩阵没有逆矩阵的概念，逆矩阵只对方阵定义的。

逆矩阵的定义：假设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，他能够使得AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。

扩展资料：

对矩阵A施以初等行变换（初等列变换）就相当于在A的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以可以同时对A和B施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵A被变为时，就被变为A的逆矩阵。

广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，一种对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E H Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参考资料来源：百度百科——逆矩阵

一般来讲Moore-Penrose广义逆关于分量不连续，所以不要指望符号计算永远能解决问题，因为有时候参量不同的时候矩阵的秩也会不同
如果你能事先知道矩阵是行满秩或者列满秩的，比如你的例子，那么就可以直接用
A^+
=
A'(AA')^{-1}
或
A^+
=
(A'A)^{-1}A'
如果这些都没有保障，那么你得自己去实现满秩分解A=BC，然后A^+=C^+
B^+，这里满秩分解可以用Gauss消去法实现，很简单的循环，比QR分解或SVD容易多了，自己写一下就行，当然，在消去过程中前面提到的需要根据参量讨论的问题仍然无法避免，取决于你的具体问题

恰巧近几天正在做类似的事情。程序附上来太长了，告诉你方法吧。
对非奇异方阵，可使用初等变换计算矩阵的逆。具体就是：
在矩阵A右边添加一个同阶单位矩阵，变成(A|E)，对它进行行变换把左边变换成单位矩阵，得到(E|B)，B即是A的逆矩阵。行变换，即仅使用①交换两行、②某一行乘以一常数、③某一行乘以一常数后加到另一行 这三种方法，用C++编程实现应该不算太难。
对任意矩阵的广义逆，可先对矩阵进行满秩分解，设A=FG，则A^+=G^H (G G^H)^-1 (F^H F)^-1 F^H
上式中，A^+表示A的广义逆，G^H表示G的共轭转置，()^-1表示括号中矩阵的逆矩阵。
满秩分解可以通过初等变换编程实现，转置、矩阵乘法编程也不算太难。

在矩阵M的奇异值分解中
·U的列(columns)组成一套对M的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是MM的特征向量。
·V的列(columns)组成一套对M的正交"输出"的基向量。这些向量是MM的特征向量。
·Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是MM及MM的奇异值，并与U和V的列向量相对应。

别的你都可以自己看教材，我就告诉你怎么求Moore-Penrose广义逆
先利用消去法得到满秩分解A=FG，其中F列满秩，G行满秩
然后A^+=G^+F^+，所以归结为求F^+和G^+
对于列满秩矩阵F而言，F^+=(F^F)^{-1}F^，这本质上就是最小二乘法
类似地，对于行满秩矩阵G而言，G^+=G^(GG^)^{-1}

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