高等数学二重积分求解，第10题求怎样去积分求面积

所求面积是心形线 ρ=a(1+cosθ)的面积，减去圆 ρ=acosθ 的面积，
由对称性只考虑x轴上方部分，再2倍即可，
S = 2{∫<0,π>(1/2)[a(1+cosθ)]^2dθ-∫<0,π/2>(1/2)(acosθ)^2dθ}
= a^2[∫<0,π>(1+cosθ)^2dθ-∫<0,π/2>(cosθ)^2dθ]
= a^2[∫<0,π>[1+2cosθ+(cosθ)^2]dθ-∫<0,π/2>(cosθ)^2dθ]
= a^2[∫<0,π>[3/2+2cosθ+(1/2)cos2θ]dθ-(1/2)∫<0,π/2>(1+cos2θ)dθ]
= a^2{3θ/2+2sinθ+(1/4)sin2θ]<0,π>-(1/2)[θ+(1/2)sin2θ]<0,π/2>}
= a^2{3π/2-(1/2)(π/2+1/2)] = (5π-1)a^2/4

二重积分下，被积函数为常数1，积分区域取xoy面上圆心为（0，0）且半径为R的圆。所求得的二重积分便是球体的表面积。（积分符号前乘以2是因为球面曲线Z有正负之分，所以要上半球面和下半球面分开积分。）

为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→ ∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi)如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即

∫∫f(x,y)dδ=limλ →0（Σf(ξi,ηi)Δδi）

这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫

黑色部分就是积分区域，这个建议先积分x后积分y，因为根号下y是二次方，不好积分（我试验了一下，超级难算），所以y是0→1，x是0→y²，下面省略积分区间

=∫dy√(y²-x)dx=-∫dy√(y²-x)d(y²-x)=-2/3 ∫dy(y²-x)^(3/2)

带入上下限0→y²，=-2/3∫dy[0-y³]=2/3∫y³dy=1/6 y^4

带入上下限0→1，=1/6

所以最后结果是1/6

1首先积分限有问题若是4倍,则第二个积分号的上下限应该分别为0到根号(R^2-x^2)这才是求面积这个积分式在直角坐标系内转化为三角函数是能积出来的
2若是按照你列的式子,应该理解为在圆形区域内的一个常数的积分结果自然是0

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