根据下面两个图形 写出n边形内角和定理的两种推算方法

方法一：如图1

连接A1A2、A1A3、A1A4……A1An

可以得到（n-2）个三角形，每个三角形内角和是180°，

所以n边形的内角和是（n-2）×180°

方法一：如图2

在n边形内任取一点O，连接OA1、OA2、OA3、OA4……OAn

得到n个三角形，n边形的内角和是n个三角形的内角和与以 O为顶点的一个周角之差

所以n边形的内角和是n×180°-360°=（n-2）×180°

你说的是可以组成完整且不重叠的几何平面吗？

这相当于用正N边形的一个角来拼凑出一个完整的360°

正N边形的内角和公式180（n-2）

则每个角α=[180（n-2）]/n

要由α组成完整的360°且不发生重叠，

那么最少由三个角组成，因为由两个角组成的话α=180°（与正多边形内角＜180独发生冲突）

所以α≤360°/3

即[180°（n-2）]/n≤120°

解得n≤6

将n=4  n=5  n=6分别带入α=[180（n-2）]/n

得α=90° 或 108°  或 120°

360/90=4    360/108（不为整数，说明不能组成360）  360/120=3

所以只有边为4或者6的时候，可以组成完整的几何图形而不发生重叠。

参考图

n边形一共有n(n-3)/2条对角线。 

（n-3）是因为n边形共有n条边，从一个顶点出发，除了自己这个顶点和与自己相邻的两个顶点不能连成对角线，一共三条线，所以减去3，为（n-3）。

n(n-3)/2是因为从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，而n边形共有n条边，所以为n（n-3），但其中又有正好一半儿是重复的，所以就再除以2，为n(n-3)/2。

1、N边形的内角和等于（N-2）x180；

注：此定理适用所有的平面多边形，包括凸多边形和平面凹多边形。

2、在平面多边形中，边数相等的凸多边形和凹多边形内角和相等。但是空间多边形不适用。可逆用：

N边形的边=（内角和÷180°）+2；

过N边形一个顶点有（N-3）条对角线；

N边形共有N×（N-3）÷2=对角线；

3、N边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成N-2个三角形。

三角形内角和定理标明三角形的内角和等于180°。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。

f[x_]:=Graphics[Polygon[Table[{Cos[2 Pi k/x], Sin[2 Pi k/x]}, {k, 0, x}]]]
For[x = 3, x <= 20, x++, Print[f[x]]]

（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表：

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	25	3	4	…
各边上格点的个数和x	4	5	6	8	…

根据以上信息，多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=

1

2

x；

（2）如图所示：

根据图可知：
正方形的面积是6，它的各边上格点的个数和x是10，中间格点数是2，
6=10÷2+1；
三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和x是4，中间格点数是2，
3=4÷2+1；
梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是8，中间格点数是2，
5=8÷2+1；
那么S=

1

2

x+1；
故答案为：S=

1

2

x；S=

1

2

x+1．

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