三角函数和对数的问题

对数的：
1、不等式等价于2^(1-2x)≥2^3
∵2＞1
∴不等式又等价于1-2x≥3
∴x≤-1
2、原方程化为(lgX)＾2-3lg(10X)-1=0
即：(lgX)＾2-3（lgX+lg10）-1=0
亦即：(lgX)＾2-3lgX-4=0
设Z=lgX，原方程化为Z^2-3Z-4=0
算得Z1=4 Z2=-1
即当lgX=4时，X=10000；当㏒X=-1时，X=01
三角函数的：
（1）方程等价于 2sinXcosX=2cosX
即2cosX（sinX-1）=0
cosX=0或sinX-1=0
∴X=π/2或3π/2
（2）方程等价于 cosx=cos3x
根据余弦函数的性质有四种情况符合
x+π/2=3x
x+3π/2=3x或
x+2π=3x或
x+（2π+3π/2）=3x
分别解得x=π/4，x=3π/4，x=π，x=7π/4
（3）cosx+√3（sinx-1）≥0等价于
2（1/2cosx+√3/2sinx）≥√3
即sinx（x+π/6）≥√3/2
∴π/3≤x+π/6≤2π/3
∴π/6≤x≤π/2
（4）原式=cos35°sin35°/sin10°+cos(10°+30°）
=1/2sin70°/sin10°+（√3/2cos10°-1/2sin10°）
=1/2sin70°/（1/2sin10°+√3/2cos10°)
=1/2sin70°/sin70°
=1/2
下面的求最值问题给开头提示，过程自己搞定，没耐心了
（5）设y=sinx+cosx即y=√2sin（x+45°）
答案：√2 ， -√2
（6）设y=3sinx+√3cosx化为y=2√3sin（x+π/3）
答案：2√3 ，-2√3
（7）设Y=2cosx，Z=3sinx
最值归结为D=Y-Z利用作图法在[0,2π)求出最值
结果3 ，-3
（8）化简后同（5）
答案：√3 ，-√3
（9）原式=-sin(x- π/4) cos(x- π/4)
=-1/2sin（2x-π/2）
=1/2cos2x
答案：1/2 ，-1/2
建议不要把这样的题目拿上来，最好去找同学帮忙

如下：
log10=1log1=0
一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因
变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
定义域：（0，+∞）
值域：实数集R，显然对数函数无界；
奇偶性：非奇非偶函数
周期性：不是周期函数

由于指数函数y=ax在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数
我们把指数函数y=ax(a＞0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a＞0,a≠1)
因为指数函数y=ax的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)
2对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质
为了研究对数函数y=logax(a＞0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log x,y=log x的草图
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0,a≠1)的图像的特征和性质见下表
图
象
a＞1
a＜1
性
质
(1)定义域为x＞0
(2)当x=1时,y=0
(3)当x＞1时,y＞0
0＜x＜1时,y＜0
(3)当x＞1时,y＜0
0＜x＜1时,y＞0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
补充
性质
设y1=logax y2=logbx其中a＞1,b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1＝
当x＞1时“底大图低”即若a＞b＞1则y1＞y2
当0＜x＜1时“底大图高”即若1＞a＞b＞0,则y1＞y2
利用函数的单调性可进行对数大小的比较比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较
3指数函数与对数函数对比
为了揭示对数函数与指数函数之间的内在联系,下面列出这两种函数的对照表
指数函数与对数函数对照表
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a＞0,a≠1)
y=logax(a＞0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
函
数
值
变
化
情
况
当a＞1时,
当0＜a＜1时,
当a＞1时
当0＜a＜1时,
单调性
当a＞1时,ax是增函数；
当0＜a＜1时,ax是减函数
当a＞1时,logax是增函数；
当0＜a＜1时,logax是减函数
图像
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称

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