程序员算法基础——贪心算法

贪心是人类自带的能力，贪心算法是在贪心决策上进行统筹规划的统称。

比如一道常见的算法笔试题---- 跳一跳 ：

我们自然而然能产生一种解法：尽可能的往右跳，看最后是否能到达。

本文即是对这种贪心决策的介绍。

狭义的贪心算法指的是解最优化问题的一种特殊方法，解决过程中总是做出当下最好的选择，因为具有最优子结构的特点，局部最优解可以得到全局最优解；这种贪心算法是动态规划的一种特例。 能用贪心解决的问题，也可以用动态规划解决。

而广义的贪心指的是一种通用的贪心策略，基于当前局面而进行贪心决策。以 跳一跳 的题目为例：

我们发现的题目的核心在于 向右能到达的最远距离 ，我们用maxRight来表示；

此时有一种贪心的策略：从第1个盒子开始向右遍历，对于每个经过的盒子，不断更新maxRight的值。

贪心的思考过程类似动态规划，依旧是两步： 大事化小 ， 小事化了 。

大事化小：

一个较大的问题，通过找到与子问题的重叠，把复杂的问题划分为多个小问题；

小事化了：

从小问题找到决策的核心，确定一种得到最优解的策略，比如跳一跳中的 向右能到达的最远距离 ；

在证明局部的最优解是否可以推出全局最优解的时候，常会用到数学的证明方式。

如果是动态规划：

要凑出m元，必须先凑出m-1、m-2、m-5、m-10元，我们用dp[i]表示凑出i元的最少纸币数；

有 dp[i]=min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5], dp[i-10]) + 1

容易知道 dp[1]=dp[2]=dp[5]=dp[10]=1 ；

根据以上递推方程和初始化信息，可以容易推出dp[1~m]的所有值。

似乎有些不对？ 平时我们找零钱有这么复杂吗？

从贪心算法角度出发，当m>10且我们有10元纸币，我们优先使用10元纸币，然后再是5元、2元、1元纸币。

从日常生活的经验知道，这么做是正确的，但是为什么？

假如我们把题目变成这样，原来的策略还能生效吗？

接下来我们来分析这种策略：

已知对于m元纸币，1，2，5元纸币使用了a，b，c张，我们有a+2b+5c=m；

假设存在一种情况，1、2、5元纸币使用数是x，y，z张，使用了更少的5元纸币（z<c），且纸币张数更少（x+y+z<a+b+c），即是用更少5元纸币得到最优解。

我们令k=5*(c-z)，k元纸币需要floor(k/2)张2元纸币，k%2张1元纸币；（因为如果有2张1元纸币，可以使用1张2元纸币来替代，故而1元纸币只能是0张或者1张）

容易知道，减少(c-z)张5元纸币，需要增加floor(5*(c-z)/2)张2元纸币和(5*(c-z))%2张纸币，而这使得x+y+z必然大于a+b+c。

由此我们知道不可能存在使用更少5元纸币的更优解。

所以优先使用大额纸币是一种正确的贪心选择。

对于1、5、7元纸币，比如说要凑出10元，如果优先使用7元纸币，则张数是4；（1+1+1+7）

但如果只使用5元纸币，则张数是2；（5+5）

在这种情况下，优先使用大额纸币是不正确的贪心选择。（但用动态规划仍能得到最优解）

如果是动态规划：

前i秒的完成的任务数，可以由前面1~i-1秒的任务完成数推过来。

我们用 dp[i]表示前i秒能完成的任务数 ；

在计算前i秒能完成的任务数时，对于第j个任务，我们有两种决策：

1、不执行这个任务，那么dp[i]没有变化；

2、执行这个任务，那么必须腾出来(Sj, Tj)这段时间，那么 dp[i] = max(dp[i], dp[ S[j] ] ) + 1 ；

比如说对于任务j如果是第5秒开始第10秒结束，如果i>=10，那么有 dp[i]=max(dp[i], dp[5] + 1)； （相当于把第5秒到第i秒的时间分配给任务j）

再考虑贪心的策略，现实生活中人们是如何安排这种多任务的事情？我换一种描述方式：

我们自然而然会想到一个策略： 先把结束时间早的兼职给做了！

为什么？

因为先做完这个结束时间早的，能留出更多的时间做其他兼职。

我们天生具备了这种优化决策的能力。

这是一道 LeetCode题目 。

这个题目不能直接用动态规划去解，比如用dp[i]表示前i个人需要的最少糖果数。

因为（前i个人的最少糖果数）这种状态表示会收到第i+1个人的影响，如果a[i]>a[i+1]，那么第i个人应该比第i+1个人多。

即是 这种状态表示不具备无后效性。

如果是我们分配糖果，我们应该怎么分配？

答案是： 从分数最低的开始。

按照分数排序，从最低开始分，每次判断是否比左右的分数高。

假设每个人分c[i]个糖果，那么对于第i个人有 c[i]=max(c[i-1],c[c+1])+1 （c[i]默认为0，如果在计算i的时候,c[i-1]为0，表示i-1的分数比i高）

但是，这样解决的时间复杂度为 O(NLogN) ，主要瓶颈是在排序。

如果提交，会得到 Time Limit Exceeded 的提示。

我们需要对贪心的策略进行优化：

我们把左右两种情况分开看。

如果只考虑比左边的人分数高时，容易得到策略：

从左到右遍历，如果a[i]>a[i-1]，则有c[i]=c[i-1]+1；否则c[i]=1。

再考虑比右边的人分数高时，此时我们要从数组的最右边，向左开始遍历：

如果a[i]>a[i+1], 则有c[i]=c[i+1]+1；否则c[i]不变；

这样讲过两次遍历，我们可以得到一个分配方案，并且时间复杂度是 O(N) 。

题目给出关键信息：1、两个人过河，耗时为较长的时间；

还有隐藏的信息：2、两个人过河后，需要有一个人把船开回去；

要保证总时间尽可能小，这里有两个关键原则： 应该使得两个人时间差尽可能小（减少浪费），同时船回去的时间也尽可能小（减少等待）。

先不考虑空船回来的情况，如果有无限多的船，那么应该怎么分配？

答案： 每次从剩下的人选择耗时最长的人，再选择与他耗时最接近的人。

再考虑只有一条船的情况，假设有A/B/C三个人，并且耗时A<B<C。

那么最快的方案是：A+B去, A回；A+C去；总耗时是A+B+C。（因为A是最快的，让其他人来回时间只会更长， 减少等待的原则 ）

如果有A/B/C/D四个人，且耗时A<B<C<D，这时有两种方案：

1、最快的来回送人方式，A+B去；A回；A+C去，A回；A+D去； 总耗时是B+C+D+2A （减少等待原则）

2、最快和次快一起送人方式，A+B先去，A回；C+D去，B回；A+B去；总耗时是 3B+D+A （减少浪费原则）

对比方案1、2的选择，我们发现差别仅在A+C和2B；

为何方案1、2差别里没有D？

因为D最终一定要过河，且耗时一定为D。

如果有A/B/C/D/E 5个人，且耗时A<B<C<D<E，这时如何抉择？

仍是从最慢的E看。（参考我们无限多船的情况）

方案1，减少等待；先送E过去，然后接着考虑四个人的情况；

方案2，减少浪费；先送E/D过去，然后接着考虑A/B/C三个人的情况；（4人的时候的方案2）

到5个人的时候，我们已经明显发了一个特点：问题是重复，且可以由子问题去解决。

根据5个人的情况，我们可以推出状态转移方程 dp[i] = min(dp[i - 1] + a[i] + a[1], dp[i - 2] + a[2] + a[1] + a[i] + a[2])

再根据我们考虑的1、2、3、4个人的情况，我们分别可以算出dp[i]的初始化值：

dp[1] = a[1]

dp[2] = a[2]

dp[3] = a[2]+a[1]+a[3]

dp[4] = min(dp[3] + a[4] + a[1], dp[2]+a[2]+a[1]+a[4]+a[2])

由上述的状态转移方程和初始化值，我们可以推出dp[n]的值。

贪心的学习过程，就是对自己的思考进行优化。

是把握已有信息，进行最优化决策。

这里还有一些收集的 贪心练习题 ，可以实践练习。

这里 还有在线分享，欢迎报名。

经典C源程序100例

【程序1】

题目：有1、2、3、4个数字，能组成多少个互不相同且无重复数字的三位数？都是多少？

1.程序分析：可填在百位、十位、个位的数字都是1、2、3、4。组成所有的排列后再去

掉不满足条件的排列。

2.程序源代码：

main()

{

int i,j,k

printf("\n")

for(i=1i<5i++)／*以下为三重循环*/

for(j=1j<5j++)

for (k=1k<5k++)

{

if (i!=k&&i!=j&&j!=k)/*确保i、j、k三位互不相同*/

printf("%d,%d,%d\n",i,j,k)

}

}

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【程序2】

题目：企业发放的奖金根据利润提成。利润(I)低于或等于10万元时，奖金可提10%；利润高

于10万元，低于20万元时，低于10万元的部分按10%提成，高于10万元的部分，可可提

成7.5%；20万到40万之间时，高于20万元的部分，可提成5%；40万到60万之间时高于

40万元的部分，可提成3%；60万到100万之间时，高于60万元的部分，可提成1.5%，高于

100万元时，超过100万元的部分按1%提成，从键盘输入当月利润I，求应发放奖金总数？

1.程序分析：请利用数轴来分界，定位。注意定义时需把奖金定义成长整型。

2.程序源代码：

main()

{

long int i

int bonus1,bonus2,bonus4,bonus6,bonus10,bonus

scanf("%ld",&i)

bonus1=100000*0.1bonus2=bonus1+100000*0.75

bonus4=bonus2+200000*0.5

bonus6=bonus4+200000*0.3

bonus10=bonus6+400000*0.15

if(i<=100000)

bonus=i*0.1

else if(i<=200000)

bonus=bonus1+(i-100000)*0.075

else if(i<=400000)

bonus=bonus2+(i-200000)*0.05

else if(i<=600000)

bonus=bonus4+(i-400000)*0.03

else if(i<=1000000)

bonus=bonus6+(i-600000)*0.015

else

bonus=bonus10+(i-1000000)*0.01

printf("bonus=%d",bonus)

}

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【程序3】

题目：一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

1.程序分析：在10万以内判断，先将该数加上100后再开方，再将该数加上268后再开方，如果开方后

的结果满足如下条件，即是结果。请看具体分析：

2.程序源代码：

#include "math.h"

main()

{

long int i,x,y,z

for (i=1i<100000i++)

{ x=sqrt(i+100) /*x为加上100后开方后的结果*/

y=sqrt(i+268) /*y为再加上168后开方后的结果*/

if(x*x==i+100&&y*y==i+268)/*如果一个数的平方根的平方等于该数，这说明此数是完全平方数*/

printf("\n%ld\n",i)

}

}

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【程序4】

题目：输入某年某月某日，判断这一天是这一年的第几天？

1.程序分析：以3月5日为例，应该先把前两个月的加起来，然后再加上5天即本年的第几天，特殊

情况，闰年且输入月份大于3时需考虑多加一天。

2.程序源代码：

main()

{

int day,month,year,sum,leap

printf("\nplease input year,month,day\n")

scanf("%d,%d,%d",&year,&month,&day)

switch(month)/*先计算某月以前月份的总天数*/

{

case 1:sum=0break

case 2:sum=31break

case 3:sum=59break

case 4:sum=90break

case 5:sum=120break

case 6:sum=151break

case 7:sum=181break

case 8:sum=212break

case 9:sum=243break

作者： zhlei81 2005-1-22 11:29 回复此发言

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2 经典C源程序100例

case 10:sum=273break

case 11:sum=304break

case 12:sum=334break

default:printf("data error")break

}

sum=sum+day /*再加上某天的天数*/

if(year%400==0||(year%4==0&&year%100!=0))/*判断是不是闰年*/

leap=1

else

leap=0

if(leap==1&&month>2)/*如果是闰年且月份大于2,总天数应该加一天*/

sum++

printf("It is the %dth day.",sum)}

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【程序5】

题目：输入三个整数x,y,z，请把这三个数由小到大输出。

1.程序分析：我们想办法把最小的数放到x上，先将x与y进行比较，如果x>y则将x与y的值进行交换，

然后再用x与z进行比较，如果x>z则将x与z的值进行交换，这样能使x最小。

2.程序源代码：

main()

{

int x,y,z,t

scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)

if (x>y)

{t=xx=yy=t} /*交换x,y的值*/

if(x>z)

{t=zz=xx=t}/*交换x,z的值*/

if(y>z)

{t=yy=zz=t}/*交换z,y的值*/

printf("small to big: %d %d %d\n",x,y,z)

}

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【程序6】

题目：用*号输出字母C的图案。

1.程序分析：可先用'*'号在纸上写出字母C，再分行输出。

2.程序源代码：

#include "stdio.h"

main()

{

printf("Hello C-world!\n")

printf(" ****\n")

printf(" *\n")

printf(" * \n")

printf(" ****\n")

}

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【程序7】

题目：输出特殊图案，请在c环境中运行，看一看，Very Beautiful!

1.程序分析：字符共有256个。不同字符，图形不一样。

2.程序源代码：

#include "stdio.h"

main()

{

char a=176,b=219

printf("%c%c%c%c%c\n",b,a,a,a,b)

printf("%c%c%c%c%c\n",a,b,a,b,a)

printf("%c%c%c%c%c\n",a,a,b,a,a)

printf("%c%c%c%c%c\n",a,b,a,b,a)

printf("%c%c%c%c%c\n",b,a,a,a,b)}

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【程序8】

题目：输出9*9口诀。

1.程序分析：分行与列考虑，共9行9列，i控制行，j控制列。

2.程序源代码：

#include "stdio.h"

main()

{

int i,j,result

printf("\n")

for (i=1i<10i++)

{ for(j=1j<10j++)

{

result=i*j

printf("%d*%d=%-3d",i,j,result)/*-3d表示左对齐，占3位*/

}

printf("\n")/*每一行后换行*/

}

}

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【程序9】

题目：要求输出国际象棋棋盘。

1.程序分析：用i控制行，j来控制列，根据i+j的和的变化来控制输出黑方格，还是白方格。

2.程序源代码：

#include "stdio.h"

main()

{

int i,j

for(i=0i<8i++)

{

for(j=0j<8j++)

if((i+j)%2==0)

printf("%c%c",219,219)

else

printf(" ")

printf("\n")

}

}

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【程序10】

题目：打印楼梯，同时在楼梯上方打印两个笑脸。

1.程序分析：用i控制行，j来控制列，j根据i的变化来控制输出黑方格的个数。

2.程序源代码：

#include "stdio.h"

main()

{

int i,j

printf("\1\1\n")/*输出两个笑脸*/

for(i=1i<11i++)

{

for(j=1j<=ij++)

printf("%c%c",219,219)

printf("\n")

}

}

作者： zhlei81 2005-1-22 11:29 回复此发言

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3 回复：经典C源程序100例

【程序11】

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月

后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？

1.程序分析： 兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21....

2.程序源代码：

main()

{

long f1,f2

int i

f1=f2=1

for(i=1i<=20i++)

{ printf("%12ld %12ld",f1,f2)

if(i%2==0) printf("\n")/*控制输出，每行四个*/

f1=f1+f2/*前两个月加起来赋值给第三个月*/

f2=f1+f2/*前两个月加起来赋值给第三个月*/

}

}

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【程序12】

题目：判断101-200之间有多少个素数，并输出所有素数。

1.程序分析：判断素数的方法：用一个数分别去除2到sqrt(这个数)，如果能被整除，

则表明此数不是素数，反之是素数。

2.程序源代码：

#include "math.h"

main()

{

int m,i,k,h=0,leap=1

printf("\n")

for(m=101m<=200m++)

{ k=sqrt(m+1)

for(i=2i<=ki++)

if(m%i==0)

{leap=0break}

if(leap) {printf("%-4d",m)h++

if(h%10==0)

printf("\n")

}

leap=1

}

printf("\nThe total is %d",h)

}

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【程序13】

题目：打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数

本身。例如：153是一个“水仙花数”，因为153=1的三次方＋5的三次方＋3的三次方。

1.程序分析：利用for循环控制100-999个数，每个数分解出个位，十位，百位。

2.程序源代码：

main()

{

int i,j,k,n

printf("'water flower'number is:")

for(n=100n<1000n++)

{

i=n/100/*分解出百位*/

j=n/10%10/*分解出十位*/

k=n%10/*分解出个位*/

if(i*100+j*10+k==i*i*i+j*j*j+k*k*k)

{

printf("%-5d",n)

}

}

printf("\n")

}

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【程序14】

题目：将一个正整数分解质因数。例如：输入90,打印出90=2*3*3*5。

程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：

(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。

(2)如果n<>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n,

重复执行第一步。

(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

2.程序源代码：

/* zheng int is divided yinshu*/

main()

{

int n,i

printf("\nplease input a number:\n")

scanf("%d",&n)

printf("%d=",n)

for(i=2i<=ni++)

{

while(n!=i)

{

if(n%i==0)

{ printf("%d*",i)

n=n/i

}

else

break

}

}

printf("%d",n)}

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【程序15】

题目：利用条件运算符的嵌套来完成此题：学习成绩>=90分的同学用A表示，60-89分之间的用B表示，

60分以下的用C表示。

1.程序分析：(a>b)?a:b这是条件运算符的基本例子。

2.程序源代码：

main()

{

int score

char grade

printf("please input a score\n")

scanf("%d",&score)

grade=score>=90?'A':(score>=60?'B':'C')

printf("%d belongs to %c",score,grade)

}

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【程序16】

题目：输入两个正整数m和n，求其最大公约数和最小公倍数。

作者： zhlei81 2005-1-22 11:30 回复此发言

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4 回复：经典C源程序100例

1.程序分析：利用辗除法。

2.程序源代码：

main()

{

int a,b,num1,num2,temp

printf("please input two numbers:\n")

scanf("%d,%d",&num1,&num2)

if(num1 { temp=num1

num1=num2

num2=temp

}

a=num1b=num2

while(b!=0)/*利用辗除法，直到b为0为止*/

{

temp=a%b

a=b

b=temp

}

printf("gongyueshu:%d\n",a)

printf("gongbeishu:%d\n",num1*num2/a)

}

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【程序17】

题目：输入一行字符，分别统计出其中英文字母、空格、数字和其它字符的个数。

1.程序分析：利用while语句,条件为输入的字符不为'\n'.

2.程序源代码：

#include "stdio.h"

main()

{char c

int letters=0,space=0,digit=0,others=0

printf("please input some characters\n")

while((c=getchar())!='\n')

{

if(c>='a'&&c<='z'||c>='A'&&c<='Z')

letters++

else if(c==' ')

space++

else if(c>='0'&&c<='9')

digit++

else

others++

}

printf("all in all:char=%d space=%d digit=%d others=%d\n",letters,

space,digit,others)

}

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【程序18】

题目：求s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a的值，其中a是一个数字。例如2+22+222+2222+22222(此时

共有5个数相加)，几个数相加有键盘控制。

1.程序分析：关键是计算出每一项的值。

2.程序源代码：

main()

{

int a,n,count=1

long int sn=0,tn=0

printf("please input a and n\n")

scanf("%d,%d",&a,&n)

printf("a=%d,n=%d\n",a,n)

while(count<=n)

{

tn=tn+a

sn=sn+tn

a=a*10

++count

}

printf("a+aa+...=%ld\n",sn)

}

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【程序19】

题目：一个数如果恰好等于它的因子之和，这个数就称为“完数”。例如6=1＋2＋3.编程

找出1000以内的所有完数。

1. 程序分析：请参照程序<--上页程序14.

2.程序源代码：

main()

{

static int k[10]

int i,j,n,s

for(j=2j<1000j++)

{

n=-1

s=j

for(i=1i {

if((j%i)==0)

{ n++

s=s-i

k[n]=i

}

}

if(s==0)

{

printf("%d is a wanshu",j)

for(i=0i printf("%d,",k[i])

printf("%d\n",k[n])

}

}

}

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【程序20】

题目：一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半；再落下，求它在

第10次落地时，共经过多少米？第10次反d多高？

1.程序分析：见下面注释

2.程序源代码：

main()

{

float sn=100.0,hn=sn/2

int n

for(n=2n<=10n++)

{

sn=sn+2*hn/*第n次落地时共经过的米数*/

hn=hn/2/*第n次反跳高度*/

}

printf("the total of road is %f\n",sn)

printf("the tenth is %f meter\n",hn)

}

作者： zhlei81 2005-1-22 11:30 回复此发言

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别等了，没人能写出程序的。因为你没说无向图怎么输入，也没有数据格式。

图的顶点是数字还是字符串表示，完全不知道。总之，描述的条件太少了。

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大致思路：顶点Vertex用Struct或者Class来表示吧。实现两个顶点相等的判断函数。

C++的话，可以用基于树的map，或者哈希的unorderd_map

Map<Vertex, Integer>记录每个点的度。每读一条边，两端点的度数就更新+1。最后遍历Map输出值为2的Vertex即可。

C的话，自己手写哈希表或者平衡树吧。这题数据范围不大，才是10个点，存数组也行。然后暴力遍历数组更新。

如果顶点是数字来标记的话，比如1~10，那么完美哈希就可以了。直接开个长度10的数组。5就哈希到地址5，6就哈希到地址6。

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