01背包问题，程序求解

把这一句：int f[maxn],t[maxn],v[maxn]

放到main()的前面去，或者定义后就立即赋值为0。

因为局部变量初始化的值镇中隐是不确定的，但保证全局变量都被初始化为0。

还有你最后：cout<<f[T]这个含义是否正确取决于题目怎么御厅说，如果培槐要求正好填满背包，那么这就是对的。

算法分析

对于背包问题，通常的处理方法是搜索。

用递归来完成搜索，算法设计如下：

function Make( i {处理到第i件物品} , j{剩余的空间为j}:integer) :integer

初始时i=m , j=背包总容量

begin

if i:=0 then

Make:=0

if j>=wi then (背包剩余空间可以放下物品 i )

r1:=Make(i-1,j-wi)+v(第i件物品放入所能得到的价值 )

r2:=Make(i-1,j)　(第i件物品不放所能得到的价值 )

Make:=max{r1,r2}

end

这个算法的时间复杂度是O(2^n)，我们可以做一些简单的优化。

由于本题中的所有物品的体积均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下散团慧来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。这是简单?quot以空间换时间"。

我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。

同时，可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话，那么第N-1次选择的结果一定也是一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的冲答性质。

考虑用动态规划的方法来解决，这里的：

阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中；

状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；

决策是：第N件物品放或者不放；

　由此可以写出动态转移方程：

我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。

　或晌这样，我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[m,w]

算法设计如下：

procedure Make

begin

for i:=0 to w do

f[0,i]:=0

for i:=1 to m do

for j:=0 to w do begin

f[i,j]:=f[i-1,j]

if (j>=w) and (f[i-1,j-w]+v>f[i,j]) then

f[i,j]:=f[i-1,j-w]+v

end

writeln(f[m,wt])

end

由于是用了一个二重循环，这个算法的时间复杂度是O（n*w)。而用搜索的时候，当出现最坏的情况，也就是所有的结点都没有重叠，那么它的时间复杂度是O（2^n)。看上去前者要快很多。但是，可以发现在搜索中计算过的结点在动态规划中也全都要计算，而且这里算得更多（有一些在最后没有派上用场的结点我们也必须计算），在这一点上好像是矛盾的。

事实上，由于我们定下的前提是：所有的结点都没有重叠。也就是说，任意N件物品的重量相加都不能相等，而所有物品的重量又都是整数，那末这个时候W的最小值是：1+2+2^2+2^3+……+2^n-1=2^n -1

此时n*w>2^n，动态规划比搜索还要慢~~|||||||所以，其实背包的总容量W和重叠的结点的个数是有关的。

考虑能不能不计算那些多余的结点……

优化时间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[v]呢？f[v]是由f[v]和f[v-c]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v-c]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c]保存的是状态f[v-c]的值。伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..0

f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c]}一句恰就相当于我们的转移方程f[v]=max{f[v],f[v-c]}，因为现在的f[v-c]就相当于原来的f[v-c]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[v]由f[v-c]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)

for v=V..cost

f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1]，这是显然的。

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1..N

ZeroOnePack(c,w)

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解

using System

using System.Collections.Generic

using System.Linq

using System.Text

namespace beibao

{

class np

{

private int c = 0//容量

private wp[] w//物品

private int cp = 0//当森纳前价值

private int cw = 0//当前重量

private int bestp = 0//当前最优值

///动态规划中/////////////

private int[] head //辅助数组

private int[,] p//辅助数组

public np(wp[] w,int c)

{

p = new int[9999, 2]

this.w = w

this.c = c

sort()

tanxin()

huisu()

dongtaiguihua()

}

public void sort()

{

wp wupin

for (int i = 0i <w.Length-1i++)

{//从余扰小到大冒泡排序

for (int j = 0j <w.Length-i-1j++)

{

if (w[i].danweizhongliang >w[i + 1].danweizhongliang)

{

wupin = w[i]

w[i] = w[i + 1]

w[i + 1] = wupin

}

}

}

}

public void tanxin()

{

cp = cw = bestp = 0

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

w[i].State = false

}

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

if (cw + w[i].Weight >c)

continue

cw += w[i].Weight

cp += w[i].Price

w[i].State = true

}

Console.WriteLine("贪竖春旦心算法:装入价值"+cp.ToString())

Console.WriteLine("装入物品号码:")

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

if (w[i].State == true) Console.Write(w[i].number.ToString() + "\t")

} Console.WriteLine()

}

public void huisu()

{

cp = cw = bestp = 0

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

w[i].State = false

}

Backtrack(0)

Console.WriteLine("回溯法:装入价值" + bestp.ToString())

Console.WriteLine("装入物品号码:")

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

if (w[i].State == true) Console.Write(w[i].number.ToString() + "\t")

} Console.WriteLine()

}

private void Backtrack(int i)

{

if (i >= w.Length)

{

bestp = cpreturn

}

if (cw + w[i].Weight <= c)

{

cw += w[i].Weight

cp += w[i].Price

w[i].State = true

Backtrack(i + 1)

cw -= w[i].Weight

cp -= w[i].Price

}

if (Bound(i + 1) >bestp)

{

Backtrack(i + 1)w[i].State = false

}

}

private double Bound(int i)

{

int cleft = c - cw

double b =(double ) cp

while (i <w.Length &&w[i].Weight <= cleft)

{

cleft -= w[i].Weight

b += w[i].Price

i++

}

if (i <w.Length)

{

b += (double)w[i].Price * (double)cleft / (double)w[i].Weight

}

return b

}

public void dongtaiguihua()

{

cp = cw = bestp = 0

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

w[i].State = false

}

int m= Knapsack(w.Length)

Console.WriteLine("动态规划:装入价值" + m.ToString())

Console.WriteLine("装入物品号码:")

for (int i = 0i <w.Lengthi++)

{

if (w[i].State == true) Console.Write(w[i].number.ToString() + "\t")

} Console.WriteLine()

}

private int Knapsack(int n)

{

head = new int[n + 2]

head[n + 1] = 0

p[0, 0] = 0

p[0, 1] = 0

int left = 0

int right = 0

int next = 1

head[n] = 1

for (int i =n-1i >= 0i--)

{

int k = left

for (int j = leftj <= rightj++)

{

if (p[j, 0] + w[i].Weight >c)

break

int y = p[j, 0] + w[i].Weight

int m = p[j, 1] + w[i].Price

while (k <= right &&p[k, 0] <y)

{

p[next, 0] = p[k, 0]

p[next++, 1] = p[k++, 1]

}

if (k <= right &&p[k, 0] == y)

{

if (m <p[k, 1]) m = p[k, 1]

k++

}

if (m >p[next - 1, 1])

{

p[next, 0] = y

p[next++, 1] = m

}

while (k <= right &&p[k, 1] <= p[next - 1, 1])

k++

}

while (k <= right)

{

p[next, 0] = p[k, 0]

p[next++, 1] = p[k++, 1]

}

left = right + 1

right = next - 1

head[i] = next

}

Traceback(n)

return p[next - 1, 1]

}

private void Traceback(int n)

{

int j = p[head[0] - 1, 0]

int m = p[head[0] - 1, 1]

for (int i = 0i <ni++)

{

w[i].State = false

for (int k = head[i + 1]k <= head[i] - 1k++)

{

if (p[k, 0] + w[i].Weight == j &&p[k, 1] + w[i].Price == m)

{

w[i].State = true

j = p[k, 0]

m = p[k, 1]

break

}

}

}

}

}

/// <summary>

/// 物品类

/// </summary>

class wp

{

private int w = 0

private int p = 0

private int num

private bool state=false

public wp(int w,int p,int n)

{

this.w = w

this.p = p

num = n

}

public int Weight

{

get

{

return w

}

}

public int Price

{

get

{

return p

}

}

public bool State

{

set

{

state = value

}

get

{

return state

}

}

public double danweizhongliang

{

get

{

return (double)p / (double)w

}

}

public int number

{

get

{

return num

}

}

}

}

//////////////////////////////////////////////////

using System

using System.Collections.Generic

using System.Linq

using System.Text

namespace beibao

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

np beobap

int n = 0

Console.WriteLine("物品数量")

n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine())

wp[] wupin = new wp[n]

int c = 0

Console.WriteLine("背包容积")

c = Convert.ToInt32(Console.ReadLine())

for (int i = 0i <ni++)

{//初始化

int w = 0int p = 0

Console.WriteLine("物品" + (i + 1) + "的重量")

w = Convert.ToInt32(Console.ReadLine())

Console.WriteLine("物品" + (i + 1) + "的价值")

p = Convert.ToInt32(Console.ReadLine())

wupin[i] = new wp(w, p, i)

}

beobap = new np(wupin, c)

}

}

}

这是当初我上学的时候做的，应该没什么问题，你看看还可以修改修改，有什么问题可以再问我

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