势函数怎么求

势函数的构造是人工势场方法中的关键问题，典型的势函数构造方法:P(θ)=f{d(θ,θ0),[dR(θ),O],dT}(1)，式中 θ，θ0--机器人当前位姿与目标位姿矢量d(θ,θ0)--θ与θ0间的某种广义距离函数dR(θ)，O--当前位姿下机器人与障碍物间的最小距离dT--给定的门限值P(θ)分别为变量d(θ,θ0)和dR(θ)，O的单调递答郑增函数和单调递减函数。从机器人的起始位姿开始沿着P(θ)的下降方向进行搜索可使机器人在避开障碍物的前提下向目标位姿运动。

中文名

势函数

方法

P(θ)=f{d(θ,θ0),dR(θ),O,dT}

θ，θ0

机器人当前位姿与目标位姿矢量

d(θ,θ0

θ与θ0间的某种广义距离函数

dR(θ)，O

当前姿下机器人与障碍物最小距离

元尊小说360百科数值分析高斯函数势函数的定义meam势函数格式氮钙势函数在流体力学中，为什么要引入速度势函数和流函数费用流DP算法图论

计算方法

凸多面体间的L1距离定义如下

⑵

式中 ‖a-b‖1-矢量a-b∈R3的L1范数

有界闭(后面均作此假设)凸多面体A，B?R3间的L1距离具有以下性质[11]。

⑴由式⑵定义的d1(A，B)存在且唯一，式⑵可等价成

⑶

⑵(与Euclidean距离的等价性)记A，B间的Euclidean距离为dE(A，B)，则有

⑷

⑶拓扑性质

⑸

⑷(Lipschitz性)以TA，TB∈SO⑶分别表示多面体A和B的旋转矩阵，rA，rB∈R3分别表示A和B平移矢量，记A′=TAA+rA，B′=TBB+rB，则有

⑹

式中 I∈R3×3--单位矩阵

‖T‖1--与矢量的L1范数相容的矩阵谱范

SO⑶--3阶特殊正交群

⑸d1(A，B)和dE(A，B)对于A和B的旋转和平移变量均不存在Frechet意义下的梯度。

上述结论表明，凸多面体间的L1距离和Euclidean距离具有相似的性质。

若A，B?R3的顶点集为VA={υAii=1，清氏颂…，nA}，VB={υBjj=1，…，nB}，则A，B可分别表示成VA和VB的凸包，即

d1(A，B)可通过求解如下线性规划问题核备计算

上述问题可由单纯形方法求解。尽管理论上单纯形法为非多项式算法，但经验表明，即使对于多约束线性规划问题，单纯形法也具有很高的计算效率。因此采用L1距离替代Euclidean距离构造势函数，可以简化无碰撞路径规划问题的计算复杂性。

前苏联学者H.K.Гиринский（吉林斯基）提出的求解层状非均质含水层中地下水流问题的方法，称之为吉林斯基势函数法（陈崇希，1966；Bear，1972）。

在研究均质含水层中地下水流动问题时，一些学者曾引用“势”的概念来表述地下水的流动。在均质、隔水底板水平的潜水含水层平面二维流中（引入Dupuit假定），势定义为

地下水动力学（第五版）

在均质、等厚的承压含水层平面二维流中，势定义为

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这里的φ是流量势，还有速度势，这里不介绍，有兴趣的读者可参阅Аравин等（1949）。显然，态核如此定义势，承压流和无压流的单宽流量q的微分形式可统一表示为

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而单宽流量则表示为

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若分别用（3-2-15）式和（3-2-16）式势的定义代入，则可得相应潜水流和承压流的单宽流量公式（3-1-10）式和（3-1-7）式。

（1）原理

Гиринский于1946年提出Гиринский势函数，来解决层状非均质含水层中的流量和水头计算问题。

Гиринский首先研究透水性在垂线上渐变的含水层中的地下水运动问题（图3-2-4）。假定隔水底板水平，基准面取在隔水底板上（z＝0）；渗透系数沿垂直方向变化，沿水平方向不变。当平面上流线彼此平行时，h＝h（x）。

在含水层任一铅垂线上，取微分厚度dz，对应的渗透系数为K＝K（z），如图3-2-4所示。水力坡度水平分量为 ，则通过dz断面的微分单宽流量dq为

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图3-2-4 Гиринский势函数定义图

整个断面的单宽流量q为

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式中：b为含水层的顶面高度。对于承压含水层，b＝M；对于无压含水层，b＝h。

Гиринский将渗透帆岩掘系数垂向变化的含水层中的流量势定义为

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对于承压含水层可写为

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对于潜水含水层可写为

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式中：φg为Гиринский势函数；H为水头值，从隔水层底板算起；M为承压含水层厚度；h为潜水面高度（从含水层底板起算），即潜水含水层厚度。

由莱布尼兹微分法则（对于无压流动引入Dupuit假定）对（3-2-20）式求导得

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得

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由此可见，对层状非均质含水层引入Гиринский势函数后，可以得到与均质含水层同样的单宽流量q的微分形式（3-2-17）式。

将吉林斯基势函数用于层状非均质含水层，则

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其中，M＝M1＋M2＋…＋Mn，而

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同理

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得

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式中：Ki为第i层的渗透系数；Mi为第i层的含水层厚度；zi为第i层含水层中点的高程，即

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根据（3-2-22）式，先求出1、2断面的Гиринский基势函数φg1和φg2，然后，利用流量公式（3-2-18）式求得流量。

（2）算例

有一水平层状含水层（图3-2-5）。已知：K1＝3m/d，M1＝6m；K2＝5m/d，M2＝2m；K3＝7m/d，M3＝4m；断面1的水头值H1＝13m；断面2的水头值H2＝4m。1、2断面之间的距离l＝600m，求含水层的单宽流量及水头线。

图3-2-5 Гиринский势函数法算例图

解一：求单宽流量。

根据Гиринский势函数定义，断面1的势为

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其中，z1＝3m，z2＝7m，z3＝10m，则

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而断面2的势为

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则

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解二：求任意断面的水头值。

首先，确定承压转向无压的断面位置。此断面的水头值Hr＝M1＋M2＋M3＝12m。接着求出Hr＝12m处的断面距离的r值为多少？

因为Hr已知，所以断面r处的φgr可求得

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则

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由于0～112m处属于承压段，则水头线为直线。112～600m范围内为无压段，该段的水头线可以这样确定：在此范围内，任设几个未知断面的水头值（可取在分层界面上），它的大小介于12～4m之间，然后按上述方法求出相应断面的距离，将这些求得的枣困值点在坐标纸上，把得到的点连接起来，即为无压段的水头线。

基于L1距离的人工势函数构造与无碰撞路径规划方法 以R（θ），O分别表示机器人及其 *** 作空间中的障碍物，其中R（θ）决定于机器人的C-空间位姿矢量θ。所谓无碰撞路径规划，就是确定一条连接C-空间中起始位姿θi和目标位姿θO的连续路径S（θi，θO），使得机器人沿该路径运动时，在其所有的中间位姿θ∈S（θi，θO）满足如下几何约束条件

⑽

为了将上述约束条件表示成便于计算机判别的形式，通常采用如下形式的凸多面体集合对机器人及其 *** 作空间中的障碍物进行几何逼近

⑾

式中Ri（θ）（i=1，…，m），Oj(j=1，…，l）为R3中的凸多面体。机器人与障碍物间的L1距离可按下式由各多面体对Ri（θ），Oj间的L1距离确定

⑿

且根据L1距离的拓扑性质，几何约束条件式⑽可等价地表示成

d1[R（θ），O]>0　⒀

以θi，θO∈Rn分别表示n自由度机器人的起始位姿和目标位姿。定义机器人运动过程中任意中间位姿θ∈Rn与目标位姿之间的广义距离为（W∈Rn×n为正定加权矩阵）

⒁

按如下方法构造C-空间中的势函数

⒂

由式⒂所确定的势函数p（θ）具有如下特点：

⑴当机器人与障碍物间的L1距离大于门限值dT时，势函数的值由当前位姿与目标位姿间的广义距离d（θ，θO）确定，此时机器人只受到目标位姿引力场的作用。

⑵当机器人与障碍物的L1距离小于门限值dT时，人工势场由目标位姿的引力场和障碍物的斥力场两部分组成，其中障碍物的斥力场所对应的势函数分量反比于机器人与障碍物间的L1距离，因此当机器人与障碍物间的L1距离趋于零时，该分量的值趋于无穷大。

⑶势函数的值可由式⑼、键肆橡⑿、⒁、⒂以及机器人正向运动学方程计算。 从机器人在C-空间中的起始位姿开始，沿着人工势函数p（θ）的下降方向进行搜索，可以得到C-空间中满足几何约束条件式⑽的连续路径。我们分d1[R（θ），O]>dT和d1[R（θ），O]?dT两种情况讨论无碰撞路径搜索方法。

⑴若d1[R（θ），O]>dT，则势函数p（θ）关于θ可微，并有

⒃

此时可按势函数的最速下降方向，即其负梯度方向-?p（θ）搜索机器人的下一个位姿点。对于搜索得到的位姿点，判断条件d1[R（θ），O]>dT是否满足，若是，则以该点作为起始点重复以上搜索过程，否则改用下面的方法进行搜雹源索。

⑵若d1[R（θ），O]?dT，则势函数p（θ）不存在Frechet意义下的梯度向量，此时由于得不到最速下降方向，因此采用如下的搜索策略；对于θ的各相邻位姿θ+δθ（δθ∈Δ），计算势函数p（θ+δθ）的值，其中

⒄

为容许的搜索步长集合。按下式确定

⒅

若，则终止搜索。若，判断条件?dT是否满足，若是则以作为起始点重复上述搜索，否则改用最速下降方法进行搜索。 采用以上搜索方法可能产生两种不同的结果：一是搜索过程终止于目标位姿，此时已经得到C-空间中的连接起始位姿和目标位姿的无碰撞路径，规划完成。另一种可能的结果是在到达目标位姿之前，搜索过程终止于人工势函数的局部极小点，此时势函数无下降方向，必须采用其他方法才能使搜索过程继续下去。有关人工势函数的局部极值处理目前已有许多研究，此处不再介绍。

一般说来，若搜索步长足够小，则尽管规划过程中只顺序搜索C-空间中一些离散位姿点，但L1距离的Lipschitz性足以保证规划出的路径满足几何约束条件。但减小搜索步长是以增加算法的计算复杂性为代价的，为简化计算，搜索过程中可以根据当前位姿下机器人与障碍物间的L1距离大小对步长进行调整。对于由上述方法规划出的C-空间位姿序列，采用适当的方法进行插补即可得稿旁到连续的无碰撞路径。

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