灰色聚类分析的原理和步骤

灰色聚类分析的原理和步骤,第1张

(1)给出聚类白化数:选取n个聚类对象,得到m个聚类指标,构造一个n×m表;(2)将聚类白化数输入计算机,进入灰色聚类分析评价的算法,包括将聚类白化数进行均值化无量纲化处理;确定每个聚类对液洞象各个聚类指标值所属的灰类;采用估值法或插值闹枝枯法求出各个灰类的白化权函数值;标定聚类权灰数矩阵;构造聚类矩阵;(3)搭亏根据步骤(2)的结果进行灰色评价。

聚类分析,亦称群分析或点分析,是研究多要素事物分类问题的数量方法。其基本原理是,根据样本自身的属性,用数学方法按照某些相似性或差异性指标,定量地确定样本之间的亲疏关系,并按亲疏关系的程度对样本进行聚类(徐建华,1994)。

聚类分析方法,应用在地下水中,是在各种指标和质量级别标准约束条件下,通过样品的各项指标监测值综合聚类,以判别地下水质量的级别。常见的聚类分析方法有系统聚类法、模糊聚类法和灰色聚类法等。

(一)系统聚类法

系统聚类法的主要步骤有:数据标准化、相似性统计量计算和聚类。

1.数据标准化

在聚类分析中,聚类要素的选择是十分重要的,它直接影响分类结果的准确性和可靠性。在地下水质量研究中,被聚类的对象常常是多个要素构成的。不同要素的数据差异可能很大,这会对分类结果产生影响。因此当分类要素的对象确定之后,在进行聚类分析之前,首先对聚类要素进行数据标准化处理。

假设把所考虑的水质分析点(G)作为聚类对象(有m个),用i表示(i=1,2,…,m);把影响水质的主要因素作为聚类指标(有n个),用j表示(j=1,2,…,n),它们所对应的要素数据可用表4-3给出。在聚类分析中,聚类要素的数据标准化的方法较多,一般采用标准差法和极差法。

表4-3 聚类对象与要素数据

对于第j个变量进行标准化,就是将xij变换为x′ij。

(1)总和标准化

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这种标准化方法所得的新数据x′ij满足

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(2)标准差标准化

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式中: ;

由这种标准化方法所得的新数据x′ij,各要素的平均值为0,标准差为1,即有

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(3)极差标准化

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经过这种标准化所得的新数据,各要素的极大值为1,极小值为0,其余的数值均在[0,1]闭区间内。

上述式中:xij为j变量实测值;xj为j变量的样本平均值;sj为样本标准差。

2.相似性统计量

系统聚类法要求给出一个能反映样品间相似程度的一个数字指标,需要找到能量度相似关系的统计量,这是系统聚类法的高宏誉关键。

相似性统计量一般使用距离系数和相似系数进行计算。距离系数是把样品看成多维空间的点,用点间的距离来表示研究对象的紧密关系,距离越小,表明关系越密切。相似系数值表明样本和变量间的相似程度。

(1)距离系数

常采用欧几里得绝对距离,其中i样品与j样品距离dij为

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dij越小,表示i,j样品越相似。

(2)相似系数

常见的相似系数有夹角余弦和相关系数,计算公式为

1)夹角余弦

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在式(4-20)中:-1≤cosθij≤1。

2)相关系数

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式中:dij为i样品与j样品的欧几里得距离;cosθij为i样品与j样品的相似系数;rij为i样品与j样品的相关系数;xik为i样品第k个因子的实测值或标准化值;xjk为j样品第k个因子的实测值或标准化值; 为i样品第k个因子的均值, ; 为j样品第k个因子的均值, ;n为样品的数目;k为因子(变量)数。

3.聚类

在选定相似性统计量之戚段后,根据计算结果构成距离或相似性系数矩阵(n×n),然后通过一定的方法把n个样品组合成不同等级的分类单位,对类进行并类,即将最相似的样品归为一组,然后,把次相似的样品归为分类级别较高的组。聚类主要有直接聚类法、距离聚类法(最短距离聚类法、最远距离聚类法)。

(1)直接聚类法

直接聚类法,是根据距离或相似系数矩阵的结构一次并类得到结果,是一种简便的聚类方法。它首先把各个分类对象单独视为一类,然后根据距离最小或相似系数最大的原则,依次选出一对分类对象,并成新类。如果一对分类对象正好属于绝猛已归的两类,则把这两类并为一类。每一次归并,都划去该对象所在的列与列序相同的行。经过n-1次把全部分类对象归为一类,最后根据归并的先后顺序作出聚类分析谱系图。

(2)距离聚类法

距离聚类法包括最短距离聚类法和最远距离聚类法。最短距离聚类法具有空间压缩性,而最远距离聚类法具有空间扩张性。这两种聚类方法关于类之间的距离计算可以用一个统一的公式表示:

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当γ=-0.5时,式(4-22)计算类之间的距离最短;当γ=0.5时,式(4-22)计算类之间的距离最远。

最短、最远距离法,是在原来的n×n距离矩阵的非对角元素中找出dpq=min(dij)或dpq=max(dij),把分类对象Gp和Gq归并为一新类Gr,然后按计算公式:

dpq=min(dpk,dqk)(k≠ p,q) (4-23)

dpq=max(dpk,dqk)(k≠ p,q) (4-24)

计算原来各类与新类之间的距离,这样就得到一个新的(n-1)阶的距离矩阵;再从新的距离矩阵中选出最小或最大的dij,把Gi和Gj归并成新类;再计算各类与新类的距离,直至各分类对象被归为一类为止。最后综合整个聚类过程,作出最短距离或最远距离聚类谱系图(图4-1)。

图4-1 地下水质量评价的聚类谱系图

(二)模糊聚类法

模糊聚类法是普通聚类方法的一种拓展,它是在聚类方法中引入模糊概念形成的。该方法评价地下水质量的主要步骤,包括数据标准化、标定和聚类3个方面(付雁鹏等,1987)。

1.数据标准化

在进行聚类过程中,由于所研究的各个变量绝对值不一样,所以直接使用原始数据进行计算就会突出绝对值大的变量,而降低绝对值小的变量作用,特别是在进行模糊聚类分析中,模糊运算要求必须将数据压缩在[0,1]之间。因此,模糊聚类计算的首要工作是解决数据标准化问题。数据标准化的方法见系统聚类分析法。

2.标定与聚类

所谓标定就是计算出被分类对象间的相似系数rij,从而确定论域集U上的模糊相似关系Rij。相似系数的求取,与系统聚类分析法相同。

聚类就是在已建立的模糊关系矩阵Rij上,给出不同的置信水平λ(λ∈[0,1])进行截取,进而得到不同的分类。

聚类方法较多,主要有基于模糊等价关系基础上的聚类与基于最大树的聚类。

(1)模糊等价关系方法

所谓模糊等价关系,是指具有自反性(rii=1)、对称性(rij=rji)与传递性(R·R⊆R)的模糊关系。

基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是:由于模糊等价关系R是论域集U与自己的直积U×U上的一个模糊子集,因此可以对R进行分解,当用λ-水平对R作截集时,截得的U×U的普通子集Rλ就是U上的一个普通等价关系,也就是得到了关于U中被分类对象元素的一种。当λ由1下降到0时,所得的分类由细变粗,逐渐归并,从而形成一个动态聚类谱系图(徐建华,1994)。此类分析方法的具体步骤如下。

第一步:模糊相似关系的建立,即计算各分类对象之间相似性统计量。

第二步:将模糊相似关系R改造为模糊等价关系R′。模糊等价关系要求满足自反性、对称性与传递性。一般而言,模糊相似关系满足自反性和对称性,但不满足传递性。因此,需要采用传递闭合的性质将模糊相似关系改造为模糊等价关系。改造的方法是将相似关系R自乘,即

R2=R·R

R4=R2·R2

这样计算下去,直到:R2k=Rk·Rk=Rk,则R′=Rk便是一个模糊等价关系。

第三步:在不同的截集水平下进行聚类。

(2)最大树聚类方法

基于最大树的模糊聚类分析方法的基本思路是:最大树是一个不包含回路的连通图(图4-2);选取λ水平对树枝进行截取,砍去权重低于λ 的枝,形成几个孤立的子树,每一棵子树就是一个类的集合。此类分析方法的具体步骤如下。

图4-2 最大聚类支撑树图

第一步:计算分类对象之间的模糊相似性统计量rij,构建最大树。

以所有被分类的对象为顶点,当两点间rij不等于0时,两点间可以用树干连接,这种连接是按rij从大到小的顺序依次进行的,从而构成最大树。

第二步:由最大树进行聚类分析。

选择某一λ值作截集,将树中小于λ值的树干砍断,使相连的结点构成一类,即子树,当λ由1到0时,所得到的分类由细变粗,各结点所代表的分类对象逐渐归并,从而形成一个动态聚类谱系图。

在聚类方法中,模糊聚类法比普通聚类法有较大的突破,简化了运算过程,使聚类法更易于掌握。

(三)灰色聚类法

灰色聚类是根据不同聚类指标所拥有的白化数,按几个灰类将聚类对象进行归纳,以判断该聚类对象属于哪一类。

灰色聚类应用于地下水水质评价中,是把所考虑的水质分析点作为聚类对象,用i表示(i=1,2,…,n);把影响水质的主要因素作为聚类指标,用j表示(j=1,2,…,m),把水质级别作为聚类灰数(灰类),用k表示(k=1,2,3)即一级、二级、三级3个灰类(罗定贵等,1995)。

灰色聚类的主要步骤:确定聚类白化数、确定各灰色白化函数fjk、求标定聚类权重ηjk、求聚类系数和按最大原则确定聚类对象分类。

1.确定聚类白化数

当各灰类白化数在数量上相差悬殊时,为保证各指标间的可比性与等效性,必须进行白化数的无量纲化处理。即给出第i个聚类对象中第j个聚类指标所拥有的白化数,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。

2.确定各灰色白化函数

建立满足各指标、级别区间为最大白化函数值(等于1),偏离此区间愈远,白化函数愈小(趋于0)的功效函数fij(x)。根据监测值Cki,可在图上(图4-3)解析出相应的白化函数值fjk(Cik),j=1,2,…,m;k=1,2,3。

3.求标定聚类权重

根据式(4-25),计算得出聚类权重ηjk的矩阵(n×m)。

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式中:ηjk为第j个指标对第k个灰类的权重;λjk为白化函数的阈值(根据标准浓度而定)。

图4-3 白化函数图

注:图4-3白化函数f(x)∈[0,1],具有下述特点:①平顶部分,表示该量的最佳程度。这部分的值为最佳值,即系数(权)为1,f(x)=max=1(峰值),x∈[x2,x3]。②白化函数是单调变化的,左边部分f(x)=L(x),单调增,x∈(x1,x2],称为白化的左支函数;右边部分f(x)=R(x),单调减,x∈[x3,x4),称为白化的右支函数。③白化函数左右支函数对称。④白化函数,为了简便,一般是直线。⑤白化函数的起点和终点,一般来说是人为凭经验确定。

4.求聚类系数

σik=∑fjk(dij)ηjk (4-26)

式中:σik为第i个聚类对象属于第k个灰类的系数,i=1,2,…,n;k=1,2,3。

5.按最大原则确定聚类对象分类

由σik构造聚类向量矩阵,行向量最大者,确定k样品属于j级对应的级别。

用灰色聚类方法进行地下水水质评价,能最大限度地避免因人为因素而造成的“失真、失效”现象。

聚类方法计算相对复杂,但是计算结果与地下水质量标准级别对应性明显,能够较全面反映地下水质量状况,也是较高层次定量研究地下水质量的重要方法。


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