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波动方程偏移与绕射扫描叠加偏移相比有本质上的重大改进，是目前实际生产中使用的主要偏移方法，其中又以15°有限差分偏移最为典型。
1.15°度有限差分法波动方程偏移
15°度有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件，用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解得到地下各点波袜棚场值，并进而获得地下界面真实图像的一种偏移方法。其偏移的过程也是一个延拓和成像的过程。
1）延拓方程的推导
由下述二维波动方程出发
地震波场与地震勘探
根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用v/2代替v，可得：
地震波场与地震勘探
此方程有二个解，分别对应于上行波和下行波。地震记录是单纯的上行波记录，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似。第一步是坐标变换，令
地震波场与地震勘探
上式中第一个变换无任何改变；第二个变换只是将空间深度z换成时间深度τ，也无实质性变化。关键是第三个变换，它表示不再用传统的旧时钟计时告腊则，而是用一个运行速度与旧钟一样，但起始时刻各深度不同的新时钟计时。采用新时钟计时时，上、下行波就表现出差异。
因为坐标变换并不会改变实际波场，故原坐标系中的波场u（x，z，t）与新坐标系中的波场 是完全一样的，即
地震波场与地震勘探
由复合函数微分法，得：
地震波场与地震勘探
将上述二阶偏微分结果代入方程（4-4-3），整理后得：
地震波场与地震勘探
为书写方便，以u、x、t分别代替 ，则（4-4-5）式可写为
地震波场与地震勘探
式中uxx、uττ、uτt分别表示u的二次导数。注意。此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。
经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新的坐标系下上、下行波表现出差异，此差异主要表现为uττ的大小不同：当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时（小于15°），uττ可以忽略；而对下行波来说，uττ不能忽略。忽略掉uττ项，就得到只包含上行波的近似方程
地震波场与地震勘探
此即15°上行波近似方程（因为它只适用于运行方向与垂直方向间的夹角小于15°的上行波，或曰只有倾角小于15°的界面形成的上行反射波才能满足它），为常用的延拓方程。
为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可以给出如下定解条件：
a.测线两端外侧的波场为零，即
u（x，τ，t）≡0 当 x＞xmax或 x ＜ xmin时
b.记录最大时间以外的波场为零，即
u（x，τ，t）≡0 当 t＞tmax时
c.自激自收记录（水平叠加剖面）为给定的边界条件，即时间深度τ＝0处的波场值u（x，0，t）已知。
图4-4-5 12点差分格式
有了这些定解条件就可以对方程（4-4-7）式求解得到地下任意深度处的波场值u（x，τ，t），这是延拓过程。再根据前述成像原则，取传统旧时钟零时刻时的波场值，即新时钟时间t＝τ时刻的波场值u（x，τ，τ）就组成了偏移后的输出剖面。
2）差分方程的建立
为了求解微分方程（4-4-7）式，用差分近似微分，采用如图4-4-5所示的12点差分格式，可得：
地震波场与地震勘探
将（4-4-8）式和（4-4-9）式代入（4-4-7）式中得：
地震波场与地震勘探
地震波场与地震勘探
定义向量I、T：
I＝［0，1，0］ T＝［-1，2，-1］
令向量u （x，j，l）为
u（x，j，l）＝［u（i-1，j，l），u（i，j，l），u（i＋1，j，l）］
则（4-4-10）式可简写为
地震波场与地震勘探
又令
地震波场与地震勘探
则（4-4-11）式可写成如下形式：
［I-（α＋β）T］u（x，j＋1，l＋1）-［I＋（α-β）T］u（x，j，l＋1）＋［I-（α＋β）T］u（x，j，l）＝［I＋（α-β）T］u（x，j＋1，l）
因此有：
地震波场与地震勘探
此即适合计算机计算的差分方程。
3）计算步骤和偏移结果
差分方程（4-4-12）形式上是一个隐式方程，即时间深度τ＝（j＋1）Δτ处的波场值不能单独地用时间深度τ＝jΔτ处的波场值组合得到，局数方程右边仍然有τ＝（j＋1）Δτ的项。如图4-4-6所示，为了求得一排数据u（x，j＋1，l），必须用到三排数据u（x，j＋1，l＋1），u（x，j，l＋1）和u（x，j，l）。一般来说，隐式方程的求解必须用求解联立方程的方法进行，比较麻烦，但这里可以利用有利的定解条件，无须复杂的联立运算。
利用定解条件b，在计算新的深度τ＝（j＋1）Δτ处的波场值时，由最大时间开始，首先计算t＝tmax的那一排值。因u（x，j＋1，tmax＋Δt）≡0和u（x，j，tmax＋Δt）≡0，有：
地震波场与地震勘探
计算u（x，j＋1，tmax）只用到已知的u（x，j，tmax）值，十分容易。然后再利用（4-4-12）式递推地求τ＝（j＋1）Δτ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。
具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δτ处的波场值：首先计算此深度处在t＝tmax时的波场，然后向t减小的方向进行计算直至本深度处的全部波场值计算完。一个深度的波场值计算结束后，再向下延拓一个步长Δτ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。
如前所述，在新时钟t＝τ时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度τ处的波场值时，由t＝tmax向t减小的方向计算至t＝τ时就可以结束了，u （x，τ，τ）为该深度处的“像”。不同深度处的“像”组成偏移后的输出剖面。
图4-4-6 有限差分法偏移求解中的一步
①u（x，j，l＋1），②u（x，j，l），③u（x，j＋1，l＋1），④u（x，j＋1，l）
图4-4-7 偏移结果取值位置图
图4-4-7画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A表示地面观测到的叠加剖面，由A计算下一个深度Δτ处的波场值B，计算B时先算第1′排的数值（只用到A中第1排数值），再算第2′排数值（要用到A中第1、2排和B中第1′排的数值），依此类推进行计算，直到算出t＝Δτ的值为止，再由B计算下一个深度2Δτ处的波场值C，到算出t＝2Δτ的值为止……在二维空间（x，t＝τ）上呈现出需要的结果剖面信息。
当延拓计算步长Δτ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图4-4-7的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中Δτ不一定要与Δt相等，应当根据界面倾角大小确定Δτ，倾角较大时应取较小的Δτ，倾角较小时Δτ可取得大一些，以减少计算工作量，中间值用插值方法求得。
与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化、偏移噪声小、在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点，但15°有限差分法在界面倾角太大时不能得到好的偏移效果。因此，又发展了45°、60°甚至90°的有限差分偏移方法，有兴趣的读者可参阅有关文献。
2.频率波数域波动方程偏移
有限差分偏移方法是在时间空间域中进行计算的。利用傅里叶变换也可以使偏移在频率波数域中实现。
与有限差分法偏移的思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u（x，0，t），用它反求地下任一点的波场值u（x，z，t）是延拓过程。再根据成像原理，取其在t＝0时刻的值u（x，z，0），就组成了偏移后的输出剖面。
仍由速度减半后的波动方程（4-4-3）出发，对方程两边作关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程：
地震波场与地震勘探
式中：U＝U（kx，z，ω）是波场函数u（x，z，t）的二维傅里叶变换，ω＝2πf为角频率，kx为x方向上的空间波数。
（4-4-13）式是常微分方程，很容易求解。其解有二个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解
地震波场与地震勘探
其中U（kx，0，ω）是解的初值，即上行波在地面（z＝0）处记录的傅里叶变换。因此，式（4-4-14）表示由z＝0 处波场的傅里叶变换求出地下任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓。
通过傅里叶反变换可以由U（kx，z，ω）求出地下任何深度处的波场值：
地震波场与地震勘探
根据成像原理，偏移结果应是该深度处t＝0时刻的波场值：
地震波场与地震勘探
这就是频率波数域偏移的数学模型。其具体实现步骤就不赘述了。
如果求解常微分方程（4-4-13）时初值不取z＝0处波场值的傅里叶变换，而取任一较浅处的波场傅里叶变换值，则可得到：
地震波场与地震勘探
从而得到相移法偏移的数学模型：
地震波场与地震勘探
利用此式可逐步向下延拓成像，每延拓一次所用的速度均可改变，所以相移法能够适应速度的纵向变化。
由于快速傅里叶变换的应用，频率波数域偏移法效率十分高，运行时间少，是波动方程偏移算法中最经济的方法，且适用于大倾角地区。因为计算在频率波数域中进行，需要注意假频问题，且此法对横向速度变化的地区不太适应。
3.克希霍夫积分偏移
克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。
三维纵波波动方程的克希霍夫积分解（见第一章）为
地震波场与地震勘探
式中Q为包围点（x，y，z）的闭曲面，n为Q的外法线，r为由（x，y，z）点至Q面上各点的距离，［ ］表示延迟位， 。
此解的实质是由已知的闭曲面Q上各点波场值计算面内任一点处的波场值，它正是惠更斯原理的严格数学形式。
选择闭曲面Q由一个无限大的平地面Q0 和一个无限大的半球面Q1 所组成。Q1 面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零，因此仅由平地面Q0 上各点的波场值计算地下各点的波场值。在此条件下，地下任一点的波场值为
地震波场与地震勘探
此时，原公式中的 项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。
已知源函数，求取波传到某点的波场值是正问题。以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，是将地面接收到的波场值看作为二次震源，将时间“倒退”寻找地下波场值，取t＝0 时刻的波场值确定反射界面的问题。反问题也能用上式求解，差别仅在于［ ］不再是延迟位而是超前位， 。根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为
地震波场与地震勘探
按照成像原理，t＝0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略掉y坐标，将空间深度z转换为时间深度t0＝2z /v，得到克希霍夫积分偏移公式
地震波场与地震勘探
式中： ；xl为地面记录道横坐标；x为偏移后剖面道横坐标（见图4-4-8）。
图4-4-8 克希霍夫偏移公式中各量示意图
由 ，得：
地震波场与地震勘探
由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按照绕射双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于：
a.不仅要取各道的幅值，还要取各道幅值对时间的导数值 参加叠加；
b.各道相应幅值叠加时不是简单的相加，而是按（4-4-22）式的加权叠加。
正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分偏移法与绕射扫描叠加偏移类似，但二者有着本质的区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性；后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。
与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。
地震波实际上是在三维空间中传播的，故要实现完全的偏移必须是三维偏移。目前三维偏移方法已经得到了极大的发展，从二步法到分裂法，到目前已经实现了没有近似的一步法完全三维偏移。
上面介绍的叠后偏移有一个基本假设，即水平叠加剖面是自激自收剖面，实际在地下界面较复杂时这一假设是不成立的。为了实现真正的叠加和偏移，发展了叠前偏移方法，它将偏移与叠加同时进行，保证了能达到真正的共反射点叠加。但是，一次就完成偏移和叠加的任务对于求取速度参数是不利的。为此又发展了叠前部分偏移方法，它只进行部分偏移，使共中心点道集成为真正的共反射点道集，以保证实现共反射点叠加。叠前部分偏移方法加叠后偏移就等于叠前偏移。有了共反射点道集，就好进行速度分析。
目前大部分偏移还是时间偏移，即偏移后得到的是时间剖面。时间偏移没有考虑地震波穿过界面时的弯折现象。如果考虑这一现象，偏移后得到的就是深度剖面，这种偏移称为深度偏移。目前，三维叠前深度偏移是最先进的偏移方法。
地震波实际上是d性波。目前的偏移方法均使用声波方程，它只是一种声波偏移，要实现真正完全的偏移应当是d性波偏移。因为需要多波地震资料，目前d性波偏移还很少使用。
声波可以用复指数表示，复指数可以表示为 A*e^(-iwt)*e^(bx) 的形式，参数A，b，w由具体情况而定，用这个方程行羡对t，x（位移）求导，就是你所问的问题了这个问题属于分线性光学内誉埋容，在电子工业出版社的《非线性光学》中可以得庆带蚂到更详细的解答。
希望对楼主有所帮助
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