离差平方和最小推导

先随机编一组统计样本：某班第一学习小组概率论与数理统计学科的考试成绩的分数是：X=87、81、85、79、74、92、85、90、77、88、75、80、 1，样本容量个数n=12 2，样本总和=∑x=993 3，样本平均值xˉ=（∑x）/n=993/12=82。
75 4，离差也叫偏差——某一子样值与平均值之差（绝对离差），即x-xˉ 如90－82。75=7。25 相对离差——（x-xˉ）/xˉ×100％， 上数值中，（7。25/82。75）×100％=8。
76％ 相对离差，即为变异系数或离差系数 5，平均离差——d=（∑|x-xˉ|）/n=61/12=5。08 相对平均离差——[（∑|x-xˉ|）/n]/xˉ×100％ 上数值中，5。08/82。
75×100％=6。14％=0。0614， 6，极差——x（最大值）－x（最小值）=92－74=8 7，偏（离）差平方和——∑（x-xˉ）2，2是方指数。 8，标准偏差s=√[∑（x-xˉ）2/（n-1）]=5。
94 9，样本标准偏差σ=√[∑（x-xˉ）2/n]=5。688 10，方差——方差等于平方的均值减去均值的平方，记为D（x），于是 D（x）=∑（x2）/n－（xˉ）2=82559/12－6847。
6=6879。9=－32。3 =∑（x）2/n－[（∑x）/n]2，2是方指数。
又如：
平均数为Y-----相当于一个车轮的重心轴。 离差平方和----相当于这个车轮的转动惯量。 显然，当车轮以重心转轴旋转时，转动惯量最小。 -------------------------------------------- 以下是数学证明： Z=(X1-M)^2 (X2-M)^2 …… (Xn-M)^2 dZ/dM = -2[(X1-M) (X2-M) …… (Xn-M)] = 0 M = (X1 X2 。
。。 Xn)/n = Y (d^2)Z/dm^2 = 2n > 0 (二阶导数为正，极小。) 当M=Y时,Z=(X1-M)^2 (X2-M)^2 …… (Xn-M)^2 取极小值。

用公式求。
组间平方和SSA：=第一组平均值与总体平均值的平方和×第一组样本数+第二组平均值与总体平均值的平方和×第二组样本数。
SST=SSE+SSTR，即总平方和=组内平方和+组间平方和。组间平方和=总平方和-组内平方和。

通过对离差平方和的分解进行方差分析。统计学的实践表明, 于某一特性量经过多次试验的结对果, 般不会是同一数值, 是彼此有差异, 种差异反映了一而这试验受各种条件( 称为因素) 制约 差平方和就反映了也的离某因素引起的差异大小 解决此问题, 英国统计学家Fisher提 出了方差分析的方法, 基本思想是将总的离差平方和分解为几个部分, 每一部分反映了方差的一种来源, 后每然利用F分布进行检验
离差平方和的分解类似于物理学的平行轴定理
单因素方差分析，离差平方和的分解：
其中代表误差平方和，代表总离差平方和，代表处理A的不同水平间的离差平方和
将所有数据用Varp求方差，
A的每个水平都有若干个数据，假设A有k个水平，对这k个组求各自的离差平方和，得到组内误差：
各个组的误差相加得到总的误差平方和：
最后根据求出A的处理平方和
这是方差分析的第一步。
如果每个分组的数据一样多，也可以这样做：
求出每个组的平均值，对这些平均值求方差，再乘以N，得到
试想，如果每个分组只有一个数据，此时没有组内平方和，所以，分组平均值的离差平方和就是。
对于两因素无交互的方差分析（假设共有N个数据）
和单因素相同，求出
先按照A的水平分组，求出每个组的平均值，对这些平均值求方差，再乘以N，得到
同理得到
最后求
接下来的F检验参见方差分析。
可以借助EXCEL 电子表格 SPSS、SAS进行方差分析

1、首先将数据在SPSS中打开，鼠标点击上方文件选项卡——打开——数据选项。

2、然后在上方的导航栏中找到“分析”鼠标点击打开，在下拉菜单中找到比较均值，点击均值。

3、这里要比较一下不同性别中睡眠时间的均值情况，点击睡眠时间将其放入因变量中。

4、然后在左侧的参数框中找到性别标签，将性别标签拖拽到自变量的框中。

5、然后鼠标点击下方的确定按钮。这时软件就会自动运算好，生成所需要的结果生成一个表格以供查看和统计分析。

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