如何解释错位重排问题？

1、D（1）=0

2、D（2）=1

3、D（3）=2

4、D（4）=9

5、D（5）=44

6、D（6）=265

7、D（7）=1854

由来：

错位重排问题是一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

错位重排问题的通项公式：

已经D1=0，D2=1，Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1），求Dn。

Dn = (n-1)Dn-1 + (n-1)Dn-2

Dn-nDn-1 = -[Dn-1 - (n-1)Dn-2]

设Dn-nDn-1=Cn

Cn=(-1)^n

则 Dn = (-1)^n + nDn-1

两边同除(-1)^n

设Dn/(-1)^n=Bn

Bn = 1 - nBn

两边同除n!

设Bn/n!=An

An+An-1=1/n!(1)

An-1+An-2=1/(n-1)!(2)

A2+A1=1/2!(n-1)

A1=D1=0(n)

(1)-(2)+(3)(n)得

乱序问题是一种排列组合问题，它要求把一组物品按照一定的规则进行排列组合，以达到某种特定的结果。乱序问题的公式是：n!/(n-m)!，其中n表示物品的总数，m表示每组物品的数量。乱序问题的解法有两种：一种是暴力搜索法，即把所有可能的排列组合都列出来，然后逐一检查，看是否满足要求；另一种是利用数学原理，通过计算排列组合的数量来求解。

一个供参考的简化后的公式是D(n) = [n!/e+05] ，其中e是自然对数的底，[x]为x的整数部分。

证明：

由于1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - + (-1)^n/n! + Rn(-1),

其中Rn(-1)是余项，等于(-1)^(n+1) e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0)

所以，D(n) = n! e^(-1) - (-1)^(n+1) e^u / (n+1), u∈(-1, 0)

而|n! Rn| = |(-1)^(n+1) e^u / (n+1)| = e^u / (n+1) ∈ (1/[e(n+1)], 1/(n+1))，可知即使在n=1时，该余项（的绝对值）也小于1/2。

因此，无论n! Rn是正是负，n! / e + 1/2的整数部分都一定与M(n)相同。

对于比较小的n，结果及简单解释是：

D(0) = 0（所有的元素都放回原位、没有摆错的情况）

D(1) = 0（只剩下一个元素，无论如何也不可能摆错）

D(2) = 1（两者互换位置）

D(3) = 2（ABC变成BCA或CAB）

D(4) = 9

D(5) = 44

D(6) = 265

D(7) = 1854

D(8) = 14833

D(9) = 133496

D(10) = 1334961

扩展资料

用容斥原理也可以推出错排公式：

正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上。

在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^nn!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k n! / k!,

即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + + (-1)^n/n!]

其中，∑表示连加符号，k=2~n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。

参考资料来源：百度百科-错排公式

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